20171223【二次函数中的三角形面积最值问题】

王天学工作坊

解法

对称轴

面积

表达式

三角形

直线

交点

小结

抛物线

如上图

【思路分析】

第一问，求表达式和对称轴。

1.（1）求表达式：

解法一：已知三点求表达式，通常会想到用一般式，把三点代入一般式，利用待定系数法列、解三元一次方程组即可。

解法二：注意到有B、C两点是与x轴的交点，因此选用交点式（两根式）方便。

（2）求对称轴：

解法一：把已得的函数表达式——交点式化成一般式，再利用求对称轴的公式（直线x=-b/2a）求得；

解法二：注意到B、C两点关于对称轴对称，因此求其中点即可，方法是：x=½（x1+x2）=½（1+5）=3

2.在对称轴上找一点P，使得△PAB周长最小，并求出点P的坐标

△PAB的周长=AB+PA+PB，而AB为定值，只需要使PA+PB最小，线段之和最小自然联想到“将军饮马”模型，为此思路便打开了。具体作图如下：找到B点的对称点C，连接AC，与对称轴交于点P，点P即为所求。

解法一：（解析式法）求出直线AC的表达式，令x=3，就可求出点P的纵坐标。

解法二：（相似法）易知△PMC相似于△AOC，得到PM/AO=CM/OC，即PM/4=2/5，∴PM=8/5 ∴P（3,8/5）

【小结】考虑以上两种解法，都还不错，请读者自行筛选。

3.在AC下方的抛物线上，求一点N，使△ACN面积最大？

解法一：考虑把不规则（三角形的边不与坐标轴平行或重合）△ACN进行分割，变成两个有公共边NG的三角形，然后再分别表示各自的面积，最后相加。详细解的过程如上图。

小结：这种方法还可以总结为：三角形的面积等于1/2×水平宽×铅垂高。（此题中，水平宽指OC长，铅垂高指NG的长）

解法二：如果把△ACN的底看作是AC，平移直线AC到A′N，使其刚与抛物线相交于一点N，此时两条平行线间的距离就是△ACN底边AC上的高，△ACN的面积就是所求的最大面积。由于直线A′N与抛物线只有一个交点，那么△=0；两直线平行，所以k值相等。详解如上图：

解法三：由于△ANC“斜”放在坐标系中，不规则（边不与坐标系平行或重合），因此考虑用割补法，即用一个矩形把△ANC“框”起来，再用矩形的面积减去另外三个三角形的面积，具体如上图。

【小结】从最优化思想考虑，以上三种方法中，第一种是常用方法，请读者务必掌握；第二种“△=0法”求点N的坐标最简洁，但弊端是求面积最值时稍麻烦，需要构造直角三角形，利用相似求两平行线间的距离（即高），因此不提倡；第三种最麻烦，不建议使用。

热热身吧，做道练习：

【参考答案】（1）解析式是：y=-x²-2x+3；

（2）当P（-3/2,15/4）时，△PBC有最大面积，最大面积是27/8

【参考答案】1.m=1,n=-9

2.面积的最大值是75/8