原来数学是这样的 - 高斯（上）

Wang Wei

上一篇我们讲了菲波那契数列，结尾的游戏里留下了一个埋伏，说到明眼人能看出这篇文章中要请出“数学王子” - 高斯（Carl Friedrich Gauss）。先来介绍一下高斯的家庭背景，再讲述他和数列求和的联系。

高斯是数学史上少有的天才，如果说欧洲史是一部活生生的战争史，以此类比，那数学史却是一个个天才组成的故事。高斯的的生平更是永世的传奇。

普遍认知告诉我们，伟大的学者和才子大都出自书香门第。因为家人可以对孩子进行较早的智力开发，所谓的“不让孩子输在起跑线上”，而高斯的出身正好推翻了这一论断。

我在写这篇文章时候政审了他祖上三代，从档案里看，没有一个先人可以说明为什么这个家庭会出高斯这样的天才。只能说他是科学发展史上的奇迹 ; 也可以认为这是一个必然结果，因为那个时代需要这么一个高斯。

高斯的祖父是个没有土地的贫下中农。他父亲早年当过园丁，也做过砌砖，护堤等各种杂务。人到中年之际才逆袭，当上了包工头，好歹也算是个基层干部。

他的母亲是一个石匠的女儿，因为贫穷直到34岁时才续弦给他爹，差点当了自梳女。她虽然非常聪颖，却没有接受过教育，是个半文盲，嫁人前的专业是当女佣。

解释一下为什么说是半文盲。西方文字是拼音文字，不同于我们的象形文字。一般会说就能读，当然读得很慢 ; 会读就能写，但写起来变位和文法错误百出，一眼就能被看出是没文化的人。

本该是世袭屌丝的高斯却以他惊人的数学才华给自己的家谱添写了华丽的一页。

话说1777年，这是一个伟大的时代。美国在法国人的帮助下开打独立战争（法国人玩阴的竟然玩到了最阴的英国人头上），英国在开战的同时又轰轰烈烈地搞工业革命，跑步进入了机器时代。

而在一个既无天光闪现、又无惊雷炸响、也无乌云盖顶、更无苍龙盘空的夜晚，高斯就这样在德意志（当时还叫神圣罗马帝国）西北部的布伦瑞克公国（Duchy of Brunswick-Lüneburg，现属德国的下萨克森州）静悄悄地出生了。

他那半文盲的母亲连他出生日期都没有记住，只隐约地记得那是在星期三，耶稣升天节（复活节后四十天）的前八天。原本是一个可以让后世考古学者们写论文考证的题材，却让聪明的高斯自己用复活节日期表册中的高斯演算法自己解决了。

确定复活节日期在中世纪一直是个让人头痛蛋疼的问题，是要观察月亮的阴历，就像如今确定斋月里作息时间，谁都想有话语权。这类推算的拉丁文称作Computus，好像和我们今天的电脑有点关系耶。

钞票上的高斯（1993年版的德国10马克纸币），这是世俗社会给予科学家的最高荣耀。据我所知，印上钞票的数学家有四位。

有道是自古英雄出少年，此话用在高斯身上一点不为言过。

高斯的传奇始于三岁，相传那年的他就能纠正当拿摩温的父亲计算工人工资时的错误，直到他爸算对才破涕为笑。不过这个传奇被他后来与其反目并移民美国的儿子Eugene戳穿，这只不过是他长子Joseph传播开来的杜撰。

纵观中国古代，不妨也能找到这些套上光环的神童故事。如王安石笔下的方仲永，祖辈都是种田人，长到五岁时，还未曾见过纸墨笔砚。一日忽然哭着要书写工具。父亲对此感到惊异，从邻家借来给他，他当即写下四句诗，并题上自己的名字。许多神童虽然在长大后也颇有成就，却失去了小时候的光芒，这位仲永同学算是个反面典型。

还有那个与王安石政见相左的旧党司马光，在六岁时，原想给那个被他推入水缸的死对头下块石头。结果因人小石重，走步不稳，一个踉跄砸歪了而成为会变通方法肯动脑筋的小英雄，给“歪打正着”这个成语作了最贴切的诠释。

高斯和莫扎特可能是神童们长大后最成功的两位。而高斯更有名的传奇还是他十岁那年，高斯虽然是只牛蛙，可是以他的家境是上不了四大民办小学的。本着就近入学的原则在七岁时去了村子里的公立学校上学。这下省了他父母不少心，既不用托人情，也不用交赞助，更不用备战“幼升小”。

其实他父亲并不认为读书有什么用处，男孩只要力气大，能像他那样搬砖就成。反而他那个半文盲的妈妈倒是很支持孩子学习，希望他成材并珍视其才华。因而她对这个总要“打破砂锅问到底”的孩子非常有耐心，当高斯他爹为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。

任何事物都有其两面性（Ogni medaglia ha il suo rovescio），虽然高斯上的是个三不用的小学，可是却摊上了个奇葩老师。要知道欧洲的小学老师是每个点都要踩一下的Home run，而不是像我们术业有专攻的小学老师，每个人都有自己所教的科目。

这位来自城市只是为了混个简历的支教老师叫布特纳（Büttner），总认为乡下的孩子都很蠢笨，感叹自己的才华无法施展。自命不凡的人会有一个通病，就是发脾气。说他奇葩是因为他上课时喜欢布置繁琐的练习，这样一来可以不用花功夫讲课，二来学生容易犯错，一犯错就又能训斥他们，为他自感屈才的忧愤找到发泄的途径。

三年级时，布特纳对学生们又发了一通脾气后，在黑板上写下了一个长长的算式 ：

1 + 2 + 3 + ... + 49 + 50 + 51 +52 + ... + 98 +99 +100 = ？

一个等差数列的求和问题。然后坐回自己的椅子，准备闭目养神，蓄势待发。

布特纳原以为能让这帮熊孩子们苦思冥想一个小时，可是刚叙述完题目，高斯就算完并把写有正确答案的小石板交了上去。

现在给出高斯的计算方法 ：

1 + 100

2 + 99

3 + 98

...

...

49 + 52

50 + 51

共50次，总和是101乘以50，得5050。

公式是 ：

和 = (首项 + 末项) x 项数 / 2

没看懂的朋友可以想象把一根一米长的软尺对折，头尾刻度相叠，那只有一半长了（50个刻度），每个刻度是两半之和（101），那总和不就是5050了吗？

对一位年仅十岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属不平常，这也反映出高斯从小就能注意把握更本质的数学方法这一特点。

之所以称之为传奇是因为故事出自于高斯追悼会上哥廷根大学（Georg August Universität Göttingen））校方代表也是高斯的故友Wolfgang Sartorius von Waltershausen教授的致辞而广为流传。

此人是个地理学家，徐霞客式的人物，云游欧洲四方著书等身，曾提出了冰河期是因地球表面构造改变而引起的观点。其父也是同校的教授，曾翻译过亚当史密斯（Adam Smith）的«国富论»（The Wealth of Nations），严复级别的大家，因而被册封为贵族 - von Waltershausen。

再自命不凡的人也有震精的时候，他意识到了这个学生的非同寻常。于是从汉堡买来许多数学书给高斯读，当高斯在以很短的时间读完那些书之后，对数学的认识已经超出布特纳老师很多了。

读到这里，我们真会相信有的人来到这个世界是承担着使命的，而高斯与数学的关系就如鱼在水中游，鸟在天上飞一般自然。神马遗传，胎教，早育，补习，名校对他来说都是片片浮云。

十二岁时，小学毕业的高斯视野已经很开阔了，他开始对统治了数学二千年的«几何原本»中几何真理的唯一性产生了怀疑。

就在高斯以等差数列求和放倒了布特纳老师的同时，他非凡的数学才华也引起了另一个人的注意，此人是个助教 - 巴特尔斯（Johann Martin Bartels） 。那个时期德国小学老师也配助教，主要工作就是帮助孩子们练练字，削削鹅毛笔，课间管管次序，偶尔也代代课。

这个巴特尔斯后来也成为一名大学教授。十九世纪初还曾混迹于瑞士，在阿劳州立学校（Cantonal School in Aarau）任教。

不要小看这所中学，它曾经是瑞士第一所世俗文理学校。世俗是什么概念？以前文理学校（Gymnasium）多半是教会主办的，因为他们觉得办学和传播教义是天经地义的事。但政府拿着纳税人的钱去搞教育在那个时代有点名不正，言不顺。

就是在这瑞士第一所无宗教背景的学校里出了大名鼎鼎的爱因斯坦，保罗卡勒（Paul Karrer），维纳阿伯（Werner Arber，此人还是我的校友）等诺奖获得者 ; 还有建筑大师Karl Moser，作家韦德金德（Frank Wedekind），作曲家János Tamás以及四位瑞士联邦主席团成员。

这张图就是他们的爱因斯坦教学楼。

高斯和这位长他十岁的助教来往密切，因为他们对数学有着共同的爱好，他拿出许多代数分析书，如当时的权威著作 - 大数学家欧拉的«代数的完整介绍»和高斯分享。使得高斯对二项式定理产生浓厚兴趣。

高斯小学毕业后，那位觉得读书顶个球的“大老粗”父亲决定让他一起去搬砖。经过布特纳和巴特尔斯的再三劝说才同意让高斯升学。一开始，两人负担高斯的学费。在中学期间，高斯直接上二年级，免修数学。他的古德语，拉丁语和古希腊语的成绩也非常出众，因为在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文还是数学高斯还苦恼了一阵子。

十四岁时，通过巴特尔斯的介绍，高斯认识了卡罗琳学院的教授Zimmermann，再经教授的引荐而晋见了公国的废敌难公爵（Karl II. Wilhelm Ferdinand），公爵很喜欢这个羞涩和聪颖的小男孩，决定资助他接受高等教育。

还有一个版本说是高斯惜时如金，走路也不忘看书，不知不觉地走入公爵的花园（过分专心而忘掉周遭的一切是天才的一个特性），被夫人撞见。一问，竟然在读欧拉的«微分学原理»。乖乖隆地咚，这个小巴辣子八得了。于是告诉公爵而得以相见。感觉这个传说的可信度不高，即使有这个场景估计也是芝麻人教授安排的一场戏。

威武的废敌难公爵。

十五岁的高斯在公爵的经济帮助下进入卡罗琳学院（Collegium Carolinum，今布伦瑞克工业大学）。在那里，高斯开始对高等数学作研究。

高斯对二项式定理很有兴趣，在上篇文章里我们讲到过杨辉三角 : 每个数是其上方紧邻数之和，称为二项式系数。

在欧洲，一直等到1544年德国修士Stifel才想到把系数提取出来为了方便研究。

还要等一百多年后，即1654年法国人帕斯卡（Blaise Pascal，另一个上钞票的数学家）才得出规律，称为通项公式。

1713年，瑞士人伯努利给出这个公式的证明（Johann Bernoulli，瑞士伯努利家族是赫赫有名的数学世家，此人是大数学家欧拉 - 也是一位上钞票的数学家 - 的老师）。

在墓里已经躺了三百多年的杨辉急得直敲棺材盖 : 你们这些洋人太蠢笨，我早就写成书了，你们还在折腾，没有文化真可怕。

1665年，这个公式引起牛顿（还有一个上钞票的数学家）的注意，改写了二项式定理并大胆猜想这个新形式对任何有理指数都成立。匈牙利数学家波利亚 （György Pólya）说过：“要成为一个好的数学家，。。。，你必须首先是一个好的猜想家 (To be a good mathematician,…, you must be a good guesser)”。历史上一流的数学家都是伟大的猜想家，会揣度神的意图。

这次牛顿有点册烂污了，他只给出了几个指数的验证。认为足够了，无需再证明，而数学怎么能仅凭有限的验证就能保证结论的普遍正确性呢？

高斯决定对其做了严格的证明并导出的二项式定理一般形式，而且将其成功的运用在无穷级数，发展了数学分析的理论。

这也反映出他治学的严谨，在数学界，高斯是公认的第一个严格证明论者，他对分析的严密性要求影响整个现代数学。如今，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数。

这是以几何的方式来解释二项式定理。

到十六岁时，高斯已清楚地看到非欧几何的曙光，他预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几里德几何学。

这里讲得有点空洞，其实欧式几何就是我们学过的平面几何（图中）。而非欧几何呢，是其他几何系统的统称，譬如罗巴切夫斯基的曲面几何（图左）或高斯的学生黎曼搞出的球面几何（图右）等。

在卡罗琳学院读书期间，高斯还独立发现了数论（他有过一句关于数论的名言 : 数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.）上的二次互反律（被他称为黄金定理，算术之宝。顺便提一下，这个定理被称为所有数学定理中最漂亮的一个，有两大优点：简洁; 对称）、素数定理（寻找质数出现的规律）、及算术-几何平均数（这个算法反复替换两个数值的算术平均数和几何平均数，以迅速收敛著称，只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字）。

在十八岁时，高斯进入哥廷根大学（Georg August Universität Göttingen）。几个月后的一门作业题使他打定主意投身数学界了。

话说1796年3月30日晚，高斯吃完晚饭从食堂里出来，路过澡堂时发现他没有带洗浴券，于是决定先回宿舍把老师布置的作业完成了。共三题数学作业的前两道题，他顺利完成。而第三题使他感到有点吃力：用圆规和直尺，画出一个正十七边形（heptadecagon）。

时间慢慢的过去了，竟毫无进展，这时熄灯时间到了。于是他只能移去可以通宵自修的逸夫楼继续完成他的作业。这时高斯发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。但是已经没有退路了，他发狠说 : “如果做不出来，我这个'高'字就左右反着写！” 直到破晓曙光渐出，他才搞定。

交作业时，他还半带撒娇地对老师说：“您那最后一题，我竟然做了一个通宵，还耽误了今天的早锻炼”。导师接过他的作业一看，用怀疑的语调问：“你没有用带刻度的尺子吧？”。高斯有点不屑地说 : “我高斯还没有如此下三滥，用刻度尺作图可是君子不齿的事啊”。

老师请他坐下，取出圆规和直尺等文房四宝，在书桌上摆好，铺开宣纸，退身在边上磨墨，让他当着自己的面再画出一个正十七边形，高斯不出意外地完成了。

这时老师有点不蛋定了：“知道吗？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然用一个晚上就解出来了。天才啊，天才！早锻炼呢以后就免了。”

各位看到这里就会说了 : 不就是画了一个正十七边形嘛，用得着上纲上线地说他得到了数学史上一个极重要的结果。再说画个正多边形有什么用吗？

唉，话不能这么讲。人哥玩的不是劲舞团，是寂寞。而高斯做的不只是尺规作图，是对代数的研究。

数学家是一种奇怪的动物：越是看上去不太能有大作为的论题，越要看看它能有多大的作为。一开始是为了好玩，但是中途有了意外的收获时，他们开始爱上了这种惊喜感，所以又越来越多的产生好奇。

他们对数学的研究不仅仅是基于“需要”，更多时是因为“有趣”。某种意义上，是兴趣支撑着大部分学科分支的发展：数学家如果只研究物理上需要的偏微分方程、立体解析几何，未免太枯燥了点；但把这二者的部分内容抽象出来，产生了实变函数、拓扑学，则相对来说就有意思的多了。就是说，数学的研究对象，如果不好玩，如果不能让数学家产生研究的兴趣，那么数学某些分支的发展肯定不会到今天这个地步。

用尺规画正多边形也是一个例子，这是个非常古老的数学问题，早在两千多年前的古希腊时期就开始研究了。人们好奇什么样的图形可以用尺规作图的方法得到，什么样的图形不可以。相对于同时期的其他文明，古希腊数学更富思辨精神。尽管当时的数学问题都是源于生活，但古希腊数学家并不立足于解决生活问题，而是考虑一般的理想情形。多边数的多边形在实际问题中几乎不会出现，但他们仍然对这些多边形的尺规作图乐此不彼，并且还执着地规定直尺不能带刻度。这是一种注重过程而不是结果的智力享受。

现在给出高斯画的动图，不要去理会具体如何作图，要领会它的精神。尺规作图的过程全部蕴含在代数式里了，画正多边形就是解分圆方程，或者说解四元二次方程组。只要能把cos(2π / n)或2sin(π / n)用有理数的四则运算（和差积商）和平方根的组合表达出来，正多边形就可以尺规作图，反之则无解。

现在我们看看尺规作图的基本工具。

记录器 : 圆规可以量取任意已存在的长度，并把它转移到直线上。那直线就能记录已存在长度的集合。

加法器。

除法器。

开根器。

反复使用记录器,加法器,除法器,开根器就能计算出一条长度正好为2sin(π / 17)的线段。

然后找出圆心角和所对弦的关系。于是只要一个个圆接下去就能得到正十七边形的所有点了，连起来即得正十七边形。

高斯事后回忆时总说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来”。

高斯年纪轻轻就引起数学界的重视，他颇为得意，他在日记中写道 ：“这么干净利落， 周密漂亮。我死后在墓碑上一定要镌刻一个正十七边形，来纪念我在少年时代的伟大发现”。但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星。因为那悲催的刻碑石匠认为，正十七边形和圆太接近了，大家一定分辨不出来。

这是一个思想和载体不匹配的典型例子，所以说共产主义这个伟大的理想也只有在一定的历史条件下才能得以实现。

这里就是高斯的墓碑，我怎么没有看见十七角星，真是一个传说纷纭的社会啊。

1797年时高斯在他的日记上写道：他有许多数学想法出现在脑海中，由于时间不定，因此只能记录一小部份。幸亏他把研究的成果写成一本叫«算学研究»（Disquisitiones Arithmeticae），并且在他二十四岁时出版。此书用拉丁文写成，是一本“天书”。原来有八章，但因经费不够，只印了七章，被人称为“加了七道封印”的书，直到今天都令人望而生畏，可以说是数论第一本有系统的著作。

1799年，高斯完成了他的博士论文，题目是«关于每一单变量有理整函数都可分解为一阶或二阶实因子之积的一个新证明»。这篇论文证明了代数一个重要的定理：任何一个一元复系数方程式都至少有一个复数根。这结果数学上称为“代数基本定理”（The fundamental theorem of algebra）。事实上在高斯之前有许多数学家如欧拉（Leonhard Euler），拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）等都试图给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。只有高斯的证明是完整的，但是其论文题目是错误的，错在哪儿呢？这不是一个新证明，这是人类数学史上关于这个论题的第一个证明。

高斯认为这个定理很重要，在他一生中给了一共四个不同的证明，他给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。

1801年，他二十四岁的时候，高斯觉得再这样把数学玩下去的话，小伙伴们都没得玩了。于是就放弃在纯数学的研究，改去研究天文学了。

写到这里，我们是不是应该停下了。不是说好讲“原来数学是这样的”这个题目的嘛，既然现在高斯转到天体物理学上去了，那就打住吧？

其实物理和数学是紧密结合的。数学是一种理论体系，而物理是一种现实解释。物理是定量的科学，而最基本也是最核心的数学对象就是数量。

之前，西方的物质科学基本上是定性的和图形化的，当时的数学也是被几何主导着的。而在我们古老的中国，物质科学处在思辨和经验状态，数学被算学主导着。但除了简单的数字迷信以外，物质科学与算学基本上没有什么关系。自从出了牛顿之后，物理和数学就一起捆绑了起来。

简而言之：数学之于物理，就像手淫之与性爱（Physics is to mathematics like sex is to masturbation）。

马上就有人会站出来怒道：哎，这位同志，你怎么说着说着就不像话了呢？

其实这句话可不是我讲的，是费曼（Richard Feynman）讲得的。此人被西方视为有史以来最伟大的十位物理学家之一，量子电动力学创始人，纳米技术之父，诺奖得主。

当年有个记者要求费曼在两分钟内解释一下他做了什么而获奖时，他的回答是：嗨，如果我能够在两分钟之内解释给你听，那我就不该得这个奖了。

费曼还参加过美军制造原子弹的曼哈顿计划。原子弹首次试爆时，他决定不带护目镜，成为当时第一个用肉眼观察全过程的人，属于心大北大不如胆大的家伙。

他在麻省理工开始读的就是数学系，后产生了转到电机工程专业的想法。又觉得电机工程与数学差距过大，又决定选择折衷的物理学。这样既可以动手做实验，又可以学到很多高深的理论。一个朝三暮四，见异思迁的人，还是我们的第三代核心有毅力，从电机工程一直读到了党和国家领导人的位置。

我再揭发一下这个坏分子，他当年还讲过这样的谬论：“物理就如同性爱：它可能会给出些实际结果，但并不是我们要去做的根本原因（Physics is like sex : it may give some practical results, but that’s not why we do it）”。

费曼总说，他研究物理学不是为了国家荣誉，也不是为了个人获奖，而是因为好玩，纯粹是为了一种发现的快乐。完全是一个纨跨子弟生活态度和作风。

杨教授是不是在那个时期就被费曼教坏了呢？

这人还写过一本回忆录叫«别闹了，费曼先生！：一个科学顽童的故事»（“Surely You're Joking, Mr. Feynman!”: Adventures of a Curious Character）。里面还有很多反动言论，仅供批判用。

还有一本«费曼物理学讲义»（The Feynman Lectures on Physics）。因为看不起广大工农兵群众的知识水平，把其中最易懂的六章单独成书：«简单的六章：由最出色的教师解释的物理学的基本知识»，随后次易懂的六章编为：«不太容易的六章：爱因斯坦相对论，对称性和时空»。妄图写一部书，变相收两次费。

这是费曼和史上最年轻物理诺奖得主（31岁）狄拉克（英语：Paul Dirac）讨论量子数学。

接着来讲高斯，按照国人的思维，高手或牛人的定义须是“上知天文，下晓地理，通各国语言，明股市行情”。高斯就完全符合这样的标准，在niubility上和他的本家高晓松有得一比。感觉高斯还略胜一筹，他为人谨慎，不懂时不胡说八道而误人子弟。甚至因为高斯过于低调严谨而闹出学术官司。

具体发生些什么事，我们在下一篇继续侃。