原来数学是这样的 - 黄金分割

Wang Wei

黄金分割

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黄金

数学

就是

矩形

我们

一个

这个

古希腊

开场白

前一段时间在日内瓦中文学校群里讨论了些关于数学教育的话题，引起了不同的反响。

既然是大家都感兴趣的话题，于是就有了一个想法，能不能陆陆续续地把自己了解到的一些关于数学家们的生平、定理推导的由来以及数学与我们生活的联系写成短篇故事。

其宗旨不是教如何学习数学，而是想与有同样兴趣的朋友们一起分享这些趣事和感受。如果能让大家对这门貌似枯燥的学科有所新的认知，使那些愿意更进一步去了解的人觉得它不完全是形象呆板的而是有血有肉的一门学科，我的目标也算是达到了。

定位有点高了，努力一下，看看有没有可能够及。暂且定名这个系列为«原来数学是这样的»。

首先想讲讲我们为什么要学习数学？这个问题困扰了我很久。其实小学里学的四则运算足够我们去应付在生活中所遇到的数学问题了（实际上这只能称算术，还不能算真正意义的数学）。更何况现在已经是智能手机普及时代了，一机在手，即便不会算术也能横行天下。那为什么初中、高中甚至大学里还要学还要考数学呢？

在上古时期，男耕女织的年代，人们以物易物，只要会数数就可以了。随着社会分工的精细，贸易交换的发达，人的活动范围增大，和世界接触更多。这时会觉得具体的描述不够用，会有用概念表述的需求。人通过观察和思考而学会了概括，从而形成创造能力，这就是社会进步的源泉。

而学习数学的真正意义就是在于一个对逻辑思维和抽象提取的训练过程，这种训练对日后在实际工作和生活中获得解决问题的技巧能有所帮助。

既然一定要学，为什么不把它学得有意思一点，生动一点呢？

这张照片是我上周在雅典一家饭馆的露台上拍摄的 - 卫城上的帕特农（Parthenon）- 古希腊奉祀女神雅典娜的神庙。

它是现存最重要的古希腊时代建筑物，无论从建筑还是从装饰上来看都被公认为古希腊艺术的顶端。是举世闻名的人类共同文化遗产之一，也就是说帕特农是他们的，也是我们的，但是归根结底是他们的。

看到它时，有个数学名词从我脑中掠过 - 黄金分割率。

我们再来看看它的正面图。大家或许会好奇地问：那上面绿色的线条是什么？

这就是我们今天要讲的黄金分割（Golden Ratio）。

先声明一下，黄金分割不是指如何去分割黄金,这是一种比喻的说法，而是说如此比例的分割像黄金一样高贵永久。

黄金分割，就是黄金分割率，又称黄金比例。和过节送礼的黄金搭档没有什么关系。“孩子个子长高不感冒！老人腰好腿好精神好！”，那只是骗人的广告词。此地赞一下央视的职业操守，什么人给钱都卖命地吆喝，比光收钱不出声的要强好多。

其实最坏的品行是收钱不办事，不讲游戏规则。在资源有限又一切以金钱衡量的社会里，要得到别人也想要的资源，花钱获取是天经地义的，譬如现在进一个村子都要给门票。给国家，给集体给个人都是给，如果有些掌握这些的人收了钱但不落实，那就没品了。好比某个旅游景点收了门票不给进入。

扯得有点远了，赶紧把话题收回来，黄金分割是一个非常奇妙和神秘的数字，有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。其涉及范围不光是几何学，还有建筑，美术，自然现象甚至涉及到金融界。

这个无理数的数值是1.618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041 ...

通常我们只取1.618 ; 就象其他数学常数，如圆周率，在实际应用中我们取3.14。

它的数学符号是φ，希腊文的第21个字母，读作phi。取这个符号是为了纪念古希腊的雕塑家菲迪亚斯（Phidias，和阿迪达斯仅差二字），公认的最伟大的古典雕刻家。巴特农神庙的装饰雕刻就是在他领导设计和监督下完成的，被认为是古希腊雕刻全盛时期的代表作。

其中两件作品最为著名，一是奥林匹亚的宙斯神像，建造于公元前五百年，但毁于大火，是古代世界七大奇迹之一（现在仅存胡夫金字塔）。

二是巴特农神庙里的雅典娜巨像，以黄金和象牙制成。我在上一篇的微信朋友圈里介绍过，巨像在公元五百年被罗马帝国皇帝掠走至拜占庭，后在十字军东征时被战火毁灭。

下图是公元二世纪时制作的大理石复制品。复制品本身就是一件稀世珍宝。

黄金分割的代数定义是，

(a + b) / a = a / b = φ (a > b > 0)

也就是说，如果上面的等式成立，两个数值a和b构成黄金比例φ。

一个得出φ数值的方法是从左边的分数式入手。经过简化和代入，

(a + b) / a = 1 + b / a = 1 + 1 / φ

于是：

1 + 1 / φ = φ

两边乘以φ就得到：

φ + 1 = φ^2

即是φ^2 - φ - 1 = 0

找出该方程的正解，

φ = (1 + sqrt(5)) / 2 = 1.6180339887...

sqrt(5)是5的平方根的意思，读作square root of 5 。

从上面的推导中我们可以看到黄金比例还有一个很奇妙的地方。

它的倒数为它的自身减1

1 / φ = φ - 1 = 0.618...

它的平方为它的自身加1

φ^2 = φ + 1 = 2.618...

数学上称作黄金比例共轭，听过就算了，不用去记住。反正我们在日常生活中也不需要画多项式曲线图。

读到这里大家可能已经没有耐心了吧？既然是在科普数学知识，不得不说点正经的东西。起码得画几个等号和括弧，不然通篇是插科打诨会被学问高深的人鄙视的。但我保证本篇短文最晦涩的部分已经过了。

现在如果有人点左上角的X退出的话，就如同在解放前夕脱了党，放弃以后作威作福的好日子啊。

学习知识是一种历程，在取经路上一定要跟唐僧学，不要看猪八戒的样。而在革命的道路上就要紧跟着毛泽东，不要学张国涛。

现在我们从几何角度来看这个常数，下图就是一个黄金矩形。

据说这个比例的矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。

1876年，德国的哲学家和心理学家费希纳（Gustav Fechner）做过一个实验，让人们任意地画一个矩形，所画的图中有75%很接近黄金矩形。或许这个比例是大家最习惯而且最能接受的比例。在很多艺术品中都能找到它，上面巴特农神庙的图就是一个很好的例子。

既然数学公式令人头疼，那我们来增加一点历史知识。

黄金比例是属于数学领域的一个专有名词，但是它最后涵盖的内容不只是有关数学领域的研究。

公元前六世纪古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos）研究过正五边形和正十边形的作图，当时他已经触及甚至掌握了黄金分割的一些规则，也发现了无理数。

说到无理数的发现，是毕达哥拉斯以几何方法证明了√2无法用整数及分数表示，并引发了第一次数学危机。当他发现无理数时，大为震惊，不承认其存在。后来在他的学生希帕索斯（Hippasus）触犯学派章程，向外人透露无理数的存在后，毕达哥拉斯下令将其淹死。中世纪教会里发生的那些事原来都是传承了希腊哲学士大夫的门规。

毕达哥拉斯侧重于从数学关系去探讨美的规律，并认为美就是和谐与比例，按照这种比例关系就可以组成美的图案。

公元前四世纪，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前三百欧几里得（Euclid of Alexandria）撰写«几何原本»（Elements）时吸收了欧多克索斯的研究成果，在第六册里进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论者（即中末比 - in extreme and mean ratio）。

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，达芬奇有个好友而且也是他的几何老师叫帕乔利（Fra Luca Pacioli）。这人是方济会的修士，复式记账法就是他发明的，算是会计学的鼻祖。这位意大利数学家称中末比为神圣比例（sectio divina），并为此着书立说。

其实很多宗教都喜欢和这个奇妙又神秘的数字拉关系，如果诸位去谷歌黄金分割与麦加或者黄金分割与古兰经，能找出一大堆资料来。

下图就是达芬奇为他著作«De divina proportione»画的插图 - 小斜方截半立方体（small rhombicuboctahedron），这个词有点拗口，记不住就算了。

可以说是达芬奇深受这个帕乔利修士的毒害，搞出了这幅不朽之作。

还有他画的这些乌七八糟的光身子男人（L'Uomo Vitruviano）。

在十九世纪的德国，有个叫柴薪（Adolf Zeising）的心理学家总结过 ：一个人的身高对比从脚底到肚脐，如果等于下半身（以肚脐为分界点）与上半身的比例，那这个人就有着黄金身段（der goldene Schnitt）。

也被称作卡侬比例（Le proporzioni del corpo umano secondo Vitruvio），想确认的朋友可以发一张全身照片来，我帮您算一算，不过得露出肚脐啊，哈哈。

日本人也来凑这个热闹。

成为梵高之«星空»创作灵感并启发了印象派作曲家德彪西（Achille-Claude Debussy）创作了交响诗«海»（La Mer）的浮世绘作品«冨嶽三十六景•神奈川沖浪裏»。

在音乐界，英国音乐学家霍华特（Roy Howat）表示，德彪西在专业杂志上参与了许多关于黄金比例的评论。并通过«海»（La Mer）或«水光»（Reflets dans l'eau）等作品反映出这一作曲方法。

超现实派也落入这个俗套，达利（Salvador Dalí ）创作的«圣礼最后的晚餐»（The Sacrament of the Last Supper）。

直到十七世纪，著名德国天文学家开普勒（Johannes Kepler）提出开普勒三角形时，才把神圣比例称为黄金分割。

开普勒可不是个能一笔带过的人，他是那个时代科学革命的关键人物。他最为人知的成就是他那三条定律，没有这些，牛顿要等下辈子才有可能导出万有引力定律。有时间的话，我们专门开一篇讲讲他。

据说埃及人的金字塔就是根据开普勒的理论建造的。

怎么感觉有点不对劲？嗨，不管那么多了。

看看它在建筑学里的影响。

了解一下法国人是如何把握黄金比例的。雨果笔下的吉普赛少女爱丝梅拉达（Esmeralda）在这和谐平衡的背景陪衬下，更显得妩媚娇人。

想要建造一座塔，看似简单，但很难绕过黄金比例。

在黄金比例面前，印度人也变得那么不淡定。

纽约联合国大厦的每十层就是一个黄金矩形。

大厦的设计师之一，功能主义建筑的泰斗，Le Corbusier。他竟然在1945年把他的建筑理念Le Modulor（模块加黄金分割，module et nombre d'or）注册了专利。

不认识Le Corbusier没有关系，这张10瑞士法朗的钞票总认得吧？

左边的头像就是他，右边的图案就是纪念他的建筑设计思想Le modulor。

我们来看看黄金螺旋。

画面由一个大的黄金矩形构成。从大黄金矩形里我们取走大方块，得到的是一个小的黄金矩形。然后，将小方块移除，又到一个更小的黄金矩形，可以进行无限重复的操作。

每个正方形里都可以画一个四分之一圆，就可以得到黄金螺旋。

我们可以发现，这个黄金螺旋线在自然界中无处不在。

一个五角星线条间的比例都是黄金比例。看来要画好国旗，不了解黄金比例也是不行的。

让我们从三角函数的角度看黄金分割。

φ = 2cos(36°)

难怪庞加莱（Henri Poincaré）说过 ：数学是给不同的东西赋予同一个名称的艺术 - la mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes.

此人是法国最伟大的数学家之一，理论科学家和科学哲学家。与他名字相关联的有一个“庞加莱猜想”，是Clay Mathematics Institute悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由一位俄罗斯数学家完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖（Fields Medal）。

要知道诺贝尔奖是不设数学奖项的，这个每四年颁发一次的菲尔兹奖就是数学界的最高荣誉。

其实我们也可以用自己的双眼去观察生活中的黄金分割。但是要一个框架，就是我们的相机或者手机。16:9的屏幕非常接近黄金比例，是个简化的格式。

有点摄影基础知识的人应该知道什么是九宫格吧？这就是个简化版的黄金分割。所以，在相机或手机里有这个功能的朋友，请调节显示出来，方便大家应用黄金分割的原理。

下面照片里的线叫黄金分割线，那四个点叫黄金分割点，把被摄的重点放在这四个点的其中一个试试。再没人敢说你照片拍得不好了。如果有，你就可以理直气壮地鄙视他：你懂个球，这叫黄金分割。逼格就是这样慢慢提高的。

在给个温馨提示，画面尽量要简洁一下，可以让观者的视线不用在照片上乱跑，直接停留在黄金分割点上。摄影是一门减法的艺术。

现在知道«琅琊榜»为什么拍得那么耐看了吧？其中就有黄金分割构图的功劳。

据说懂黄金分割率还能不劳而获，不过要小心别做刻舟求剑的傻事。

数学家们是最不甘寂寞的一个物种。有了一项式就一定要搞出多项式，如果参数是1，那一定要看看n时的变化。其实是他们的好奇心作怪，正因为这种好奇心才会使他们有意外的惊喜。我们常人和他们的差别可能就是缺乏这种好奇心。

有了黄金分割，他们就要倒腾出一个贵金属分割。这里只给出代数公式，

(n + sqrt(n^2 + 4)) / 2

n = 1时为黄金分割，

n = 2时为白银分割，

n = 3时为青铜分割，

以此类推。。。

下图是它的循环连分数表达形式。

在出版方面，德国有一位字体设计师，书籍装帧师，其本人也是作家，名字叫奇肖尔德（Jan Tschichold）介绍说 ：

“以前，书籍页面比例是2：3或者1：√3，黄金分割是很罕见的。但1550年至1770年间出版的许多书籍都把这个比例精确到半毫米以内。”

我们现在使用的A4纸比例很顺眼。就因为是有和黄金分割相似的比例，如果把纸张分成一半，得到的纸的长宽比等于原来的长宽比。A4纸是白银比例，它的短边被加了一英寸。

我们使用的信用卡倒是用了黄金比例。

黄金分割并不是设计的唯一依据，但实际上是人类认知美学里一个普遍存在的现象，是结果而不是原因。

所以我在文章的前面会把开普勒三角和埃及金字塔的关系搞混了。

有了黄金比例，一张原来令人嗤之以鼻的图片有时会让人在心里端庄了许多。

早在“广阔天地，大有作为”的年代，一帮知青在配农药时拿捏不住该兑多少水，于是异想天开地用了黄金比例，竟然得到出乎意料的效果。那时还没有“城会玩”之类的流星雨，朴实的贫下中农们唯一的表达方式就是无比激动地振臂高呼：“感谢毛主席，为我们穷山沟里带来了知识和青年” 。

看来黄金分割就是一种类似万金油（或者是泰国的青草药膏）的东西，有事没事都可以抹一点。

今天讲了不少数学和艺术的关系，这时想起很久前在德国纽伦堡老城（Nürnberg Altstadt）参加的啤酒节。顺道去看了文艺复兴时期的德国艺术家丢勒的故居（Albrecht-Dürer-Haus），里面有一幅名画叫«祈祷之手»（Betende Hände）很具有震撼力，细腻的素描绘画出动人的故事，合掌的粗糙双手却道出最真诚的祷告。

这个人是自拍流的老祖宗，用的神器就是他那支画笔，想怎么美图秀秀，就怎么美图秀秀。丢勒早在自己十三岁时（1484）就给自己画了一幅自画像，比达芬奇创作的那幅有名的自画像还要早二十多年。

绕了半天是想让大家听听他说过的这么一段话。

“没有什么东西比一张毫无技巧笨拙的图片更让健全的判断力所讨厌了，尽管花费了许多心思和努力。现在这类画家没有意识到它们自身错误的唯一原因就是，他们没有学过几何学。没有几何学知识，任何人都不可能是成为一名纯粹的艺术家，但是应该谴责他们的老师，他们自己对这种艺术是无知的。”

— 丢勒 «Of the Just Shaping of Letters»

黄金分割律作为一种重要的形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，经久不衰。

既然讲到黄金分割，就不能不提及菲波那契数列（Successione di Fibonacci）。限于篇幅，将在下一篇里细说。谢谢大家的耐心。

注：资料来源于网络，版权不归我所有。