课后的反思——“比例尺”教材的比较研究 王永

大雁飞过

3月24日，在闽侯县东南学校听了六年级“比例尺”（人教版课本第53页）一课，这节课由施燕老师执教。课后，施老师说她这节课的教学设计借鉴了其他小学数学教材的设计。这证实了我听课时的一种感觉，这节课的课题引入不像是人教版编者的初衷。施燕老师是一位钟爱教学研究的优秀教师，她的选择一定有她的道理。这促使笔者产生了动机——做“比例尺”的教材比较研究。
《课程标准（2011年）》对比例尺的具体学习目标是，“了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算”。了解比例尺，是这节课（第一课时）必须实现的学习目标。怎样创设学习情境呢?
北师大版是创设下面的情境问题引发学习的。

这个情境问题，没有要求学生画平面图，但它要求学生评价淘气和笑笑所画的平面图的合理性。通过评价，发现淘气的图不合理，因为他没有把实际距离按一定的比缩小；笑笑的图合理，因为她确定了图上距离与实际距离的比。
苏教版是创设怎样画足球场（长95米，宽60米）的平面图的合作探究活动
展开学习的。通过探究足球场平面图画不像的原因，发现必须确定图上距离与实际距离的比。但是从教材上还是看不到两者的因果联系，揭示其中的因果联系，需要经过如下的运算和推理。
假设足球场的实际的长和宽为a和b，足球场平面图的长和宽为m和n。
足球场的平面图与足球场形状相同的充分必要条件是m︰n=a︰b。
因为m︰n=a︰b，所以m×b=n×a；
把m×b=n×a的两边同除以(a×b)得,m︰a=n︰b。
同理，由m︰a=n︰b，也可推出m︰n=a︰b。
因此，确定了图上距离与实际距离的比，就决定了图上长方形与实际长方形的长和宽的比相等，也就决定了图上长方形与实际长方形的形状相同。
对于上述运算和推理的过程，小学六年级学生难以理解的。因此，怎样画平面图的合作探究的活动，学生本身缺乏达到探究目的的可能性。这样的探究活动既费时也无效。这也许就是为什么《课程标准》只要求了解比例尺的原因。不需要理解比例尺，意味着不需要描述比例尺的由来，也不需要阐明比例尺与图上的图形像不像实际的图形之间的本质联系。
人教版是通过陈述事实和举例来说明学习比例尺的必要性以及比例尺的有关特征。
"在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小（或扩大），再画在纸上。这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。"这是人教版教材开头陈述的事实，这个陈述明确地交代了在什么时候需要比例尺。接着，分别以一幅中国地图的比例尺和一幅北京地图的比例尺为例，说明数值比例尺与线段比例尺的特征，以及两者可以相互转换。
相比较而言，人教版关于比例尺的教材编写更符合学习目标的要求。《课标标准》对描述结果目标的行为动词——"了解"的解释是"从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征"。教材的正文更具有可读性。所谓"可读性"主要指信息量比较丰富，也比较系统，有助于深入思考和理解作为数学符号的比例尺的涵义。
比如，教材中的思考：比例尺1︰5000000表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？可以提升到一般化的水平：比例尺1︰k表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？
已知：图上距离︰实际距离=1︰k。
根据比例基本性质得，实际距离=图上距离×k ………… ①
把①的两边同乘得，图上距离=实际距离× ………… ②
1 式表示实际距离是图上距离的K倍；②式表示图上距离是实际距离的。
由此可见，比例尺实际上是表示图上距离与实际距离之间的数量关系。
教材正文最后一段的陈述是与开头的陈述相呼应的。强调指出在绘制比较精细的零件时，经常需要把零件的尺寸按一定的比例放大。这时零件图纸的比例尺是：图上距离︰实际距离=k︰1。对于放大的比例尺，同理可知，图上距离是实际距离的K倍，实际距离是图上距离的。
比较北师大版、苏教版和人教版关于比例尺的课题引入，风格迥异：北师大版由问题情境引入，苏教版由画图活动引入，人教版由陈述事实引入。笔者比较认可北师大版和人教版的引入方式，因为两者都能让学生有效地了解学习比例尺的必要性；北师大版期待学生从问题情境中发现的东西，正是人教版所陈述的事实。作为数学教材，除了提供现实的和数学的问题，让学生亲身经历数学的产生、发展和应用的过程之外，也要重视提供可读性的材料，培养学生阅读数学文本，丰富阅历，扩大视野，获得间接经验的能力。因此，笔者是认同人教版"比例尺"这一节教材的编写意图和文本结构的。
笔者认为，教师必须根据学生所使用的课本进行教学活动。这样做是站在学生的立场，为学生着想，不但让学生的"学"有"本"可依，而且有利于培养和发展他们以独立阅读和思考为核心的独立学习能力。所以，借鉴其他版本教材的时候，切忌另起炉灶，吸取别人的精华必须有助于理解自己手中的教材。

（王永 2017.3.25）

《课后的反思——“比例尺”教材的比较研究》读后感

读罢王老师《课后的反思——“比例尺”教材的比较研究》一文，深为一个老教育工作者严谨的治学态度而肃然起敬。本文要表达的中心意思：一是如何精准把握比例尺的具体学习目标；二是“借鉴其他版本教材的时候，切忌另起炉灶，吸取别人的精华必须有助于理解自己手中的教材。”拜读数遍，受益匪浅。笔者深谙王老师个性，谈点学习体会，权作雁过留声，以求续教。
——关于对目标行为动词“了解”与“理解”内涵的理解。《数学课程标准》（2011年版）对数学课程总体目标的论述采用了两类行为动词来体现目标。一类是描述结果目标的词汇 “了解、理解，掌握、运用”；另一类属于过程性的用语“经历、体验，探索”，这些“动词”在四个领域不同学段中频繁出现。从文本含义上释义与分析，“了解、理解”共性在于重在“知”，而有别于“掌握、运用”重在“用”。 “了解”在词典的解释是“打听、调查”，首先是“过程”，其次才是“知道得清楚”，强调的是打听、调查的结果。 “理解”的释义是指通过说理分析从道理上了解。了解是开始，理解是目的。从了解开始，然后就有了理解。
——关于人教版“比例尺”第一课时教学目标定位思考。既然“了解”有“打听、调查”之意，那么伴随出现的数学“了解”同义词就有：体会，知道,识别，感知，认识，初步体会，初步学会，初步理解，举例说明等等。固然《课程标准（2011年）》对比例尺的具体学习目标是，“了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算”，但这是对整个小学阶段而言。此“了解”应建立在本节课“初步理解”经验基础上。且看人教版教材编写者目标定位提法：

因此，笔者认为，本课学习目标应定位在：经历实践操作体会学习比例尺的必要性，初步理解比例尺的含义。
——关于如何选择载体组织教学。教学目标决定教学方式。教学有法，教无定法，贵在得法。在集体备课时，我们对三个版本教材进行了分析。的确象王永老师所说的那样，人教版突出“先学后教”，先入为主。教材开篇通过陈述事实来说明学习比例尺的必要性以及比例尺的有关特征：“在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小（或扩大），再画在纸上。这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。”接着，分别以一幅中国地图的比例尺和一幅北京地图的比例尺为例，说明数值比例尺与线段比例尺的特征，以及两者可以相互转换。北师大版是出示情境问题，没有要求学生画平面图，但它要求学生评价平面图的合理性。通过评价，期待学生从问题情境中发现的比例尺特征。苏教版则是创设怎样画足球场平面图的合作探究活动展开学习的。通过探究足球场平面图画不像的原因，发现必须确定图上距离与实际距离的比。我们认为，虽然北师大版、苏教版和人教版关于比例尺的课题引入，风格迥异，但完全是可以取其精华深度融合的。为此，我们选择了以“问题”为线索的“线形”教学模式：操作发现问题引发学习比例尺的必要性——绘制平面图遇到问题初步理解比例尺含义——列举地图发现线段比例尺体会两种比例尺的联系——提供练习认识放大的比例尺——比例尺模型在生活中解释。
综上所术，世界是我们的教科书，而教科书不一定是我们唯一的世界。倘若如此，我们便可以以自己的思想主宰我们的行为方式。
以上是笔者匆匆草就，粗陋的解释与体会不尽我意，以期抛砖引玉，敬请王老师与各位同行不吝赐教！
陈炳建草拟于 3．26清晨

比例尺的导学案

【学习内容】人教版六下第53页，例1。
【学习目标】
1 了解比例尺，知道数值比例尺与线段比例尺之间的联系。
2 理解比例尺与比例的关系，会按给定比例进行图上距离与实际距离的换算。
【课题引入】
通过本单元“比例”的学习，我们知道表示两个相等的比的式子叫做比例。如果两个长方形的长与宽成比例，那么这两个长方形的形状相同；换句话说，长方形的长与宽的比一旦确定，长方形的形状也就确定了。我们还知道比例的基本性质，以及求比例中的未知项，叫做解比例；解比例的本质就是解方程。今天，我们继续学习比例在现实生活中的应用——比例尺。
【学习单】
1 小明家的长方形的客厅长9米，宽6米。装修时需要画一张客厅的平面图，如果长
画成6厘米的线段，那么相应地宽要画多少厘米？
注：客厅的平面图要画得像实际客厅的形状，它们长与宽的比必须相等。设宽要画x厘米，则6︰x=9︰6，解得x=4（厘米）。
2 阅读课本第53页，了解什么是比例尺后，请你说明小明客厅平面图的比例尺是什
么？
注：比例尺就是图上距离与实际距离的比。
客厅平面图的长=6厘米，客厅实际的长=9米=900厘米。
图上距离︰实际距离=6厘米︰900厘米=1︰150。
所以，客厅平面图的比例尺是1︰150。
3 如果按上述比例尺画客厅平面图，客厅实际的宽6米，画平面图时应该画多少厘米？
注：设平面图的宽为x厘米，则x︰600=1︰150，解得x=4（厘米）。
根据比例尺求得的宽也是4厘米，使得平面图的长、宽与客厅实际的长、宽成比例，即客厅平面图与
客厅实际的形状一样。
4 想一想：比例尺1︰k表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离
的多少倍？如果比例尺k︰1呢？
5 研读课本第53页例1，完成例1后面的“做一做”（要求按例1书写格式进行解答）。
（王永 2017.3.28）

后记：陈炳建校长“读后感”又引发了我的思考。所谓比例尺，用一句话说，就是图上距离与实际距离的比，比如，这幅地图的比例尺是1∶1500000。所谓理解比例尺是理解比例尺与比例的关系，只有理解比例尺与比例的关系，即图上距离∶实际距离=1∶1500000，才会按给定的比进行图上距离与实际距离的换算。于是，又作了比例尺第一课时导学案的设计。这个设计加强了两个紧密联系，一是比例尺与画平面图的紧密联系，二是比例尺与比例的紧密联系；只要求学生动脑思考，不动手画图。