儿童学会加减法前必备的六个数量概念

甘霞

人类经历矇昧无知逐步到文明时代，每一个领域的第一里程碑都耗费了极长时间。对于一个儿童来讲，终于理解"数量概念"，跨出了抽象思维的一大步，其意义和难度来讲，不亚于人类登月之创举。

人类的思维演化，具有"不可逆"的过程，一旦进化了，就不会在退到矇昧时代去思考问题。所以，对于成人来讲，孩子就是另一种他们不可理解的生物，为什么理解"12345678910"就这么费劲呢？虽然自己也同样经历过认识数字的过程，但是成人早就忘记自己的思维过程是怎样的了，在元认知方面（思考自己思考过程的能力）也并非大部分人长项。

今天我要来讲讲孩子是怎么理解"数量"的，这个过程都需要经历什么，要掌握哪些概念，帮家长来分析一下，应该如何做数学启蒙。

第一个概念：表征

最初孩子从日常生活中接触到数字，他们从三块糖，三个碗，三级台阶中，开始理解事物具有某种共性。他们开始理解"更多"的意义，如果经常性进行一一对应，通过这种配对他们开始学会"数数"，这也是计数的第一步。通常父母发现，孩子有时候能够比较数字大小，甚至2，3岁孩子，妈妈也会发现指着一堆2个物体，一堆3个物体，孩子可以分辨出3个物体的一堆更多，但是问2和3哪个大，就分辨不清，只能靠50%的正确率来猜测了。

这个最初阶段，父母往往会产生一些错觉，以为孩子认识数字了，接下去就可以开始教加减法了。且慢，先看看接下去会发生什么吧～

第二个概念：顺序

在学会"数数"后，孩子可能在数我跳了几个格子的时候发现，必须先数4，才有5，他们开始去记住这些数字的固定顺序。我们要注意，孩子能够背出1-100，并不代表孩子理解了数字的顺序，我们所指的"顺序"亦包含了大小的序列，即，孩子知道后面出现的数字比前一个数字大1，而要知道这点，孩子必须把数字始终与其对应的物体数量关联起来。所以，我们可以这样理解，"数数字"与"计数数量"是截然不同的。

第三个概念：守恒性

对于"数量"的理解，首先是理解基数，基数五大原则告诉我们，"计数数量"时，不仅需要一一对应去数，更需要不受"干扰"的数，不论物体怎么排列，数量是不会变化的。今天孩子正儿八经坐在教室里数10颗珠子，明天，当我们让孩子数数街上白色的汽车有几辆时，可能就尴尬地发现孩子重复在数，或者漏掉。当我们把一堆糖果分散放着的时候，虽然数量没有变，但是孩子偏偏认为这堆糖果变多了。这些都需要较长的时间，才能让儿童理解，守恒性之重要。

第四个概念：集合

很多孩子可能在父母的熏陶下，2岁多就开始数数了，但是成人可能没有察觉到一点的是，尽管孩子嘴上在数，甚至对于3-4岁的孩子来讲，要求一一对应数也并不困难，但是他们并不"走心"，因为他们其实并不知道自己数到最后的这个数字就是代表这堆物体的集合。年幼的孩子还没有这个概念，要把数字与物体数量联结起来。如果孩子没有把5和5个物体这个集合联结起来理解的话，那么他们始终不能真正理解5+4=？的问题。

下面这个故事来自于《学生是如何学习的——课堂中的数学》一书

幼儿园小朋友对下面这个问题的回答："如果你有四块巧克力，别人又给了你三块，现在你一共有多少块巧克力？"

Alex皱了下眉，然后说"7"。当问他是如何算出来的时候，他说："4+4是8（一个手伸出四个手指，另一个手也伸出四个手指来表示）。但是我们只需要加三个（从一只手收回一个手指来表示），所以我得到7，7比8少1。所以答案是7."

Sean举起一只手的四个手指，然后低声说，"4，再加3个，5，6，7"，Sean用正常的音调说"7"。当问他是如何算出来的时候，Sean能够清楚地表达他的策略，他说，"我从4开始，然后数5，6，7"（当他往上数的时候，轻轻地敲了三下桌子，表示他在最初的集合中增加的数量）。

对于幼儿园老师来讲，两个孩子的表现都非常棒，都体现了很好的数感，但是他们可能并不知道两个孩子在思维层面上的差异。这本书中详细分析了象Alex和Sean这样的五岁儿童在这个问题中能够表现出来的最核心的五个部分，我现在用下图来表示：

第四个概念极为重要，当孩子可以在最后一个物体的"计数"和整个集合的"数量"之间形成联系，他们才开始真正理解数字是不同于他们日常所说的其他物体的"名称"。归根结底，孩子们需要既能理解10由10个物体（10个1）构成，又可以看成一个整体，一个集合（即1个10）。

第五个概念：抽象

可以想象，孩子需要经历多长时间，才能掌握上面四个概念，而期间，还有一个渗透在各个时期的重要概念在悄悄演化，这就是"抽象"能力。看上面的基数五大原则中最后一项是：适用于任何数量的集合物体。简单来讲，就是指"什么东西是可数的"，我们需要提供很多经验给孩子，来扩大他们对此的理解，不仅仅是三个苹果可以数，拍三下手也可数，听到"咄咄咄"的敲门声也可以数，这件事完全可以在学龄前完成，如果你并不急于教孩子加减法的话，其实你有足够多的时间让孩子接触各种不同物体的数数，以便于他们可以从中抽象出计数的抽象原则。

在《如何培养学生的数感》一书中，史蒂夫（1983）提出了可数物体的概念，区分了五个难度等级：

感知单元：分散的可数物体，如孩子们会树一堆纽扣。

图像单元：不能实际应用，但是可以通过回忆或想象进行计数的物体（如孩子们在家所养的宠物）

行为单元：具体行为动作，如"手指的动作或上楼梯的动作"。

语言单元：读数字的声音（如读8，9，10时所发出的声音，根据声音知道数了三个数字）。

抽象单元：要求孩子们为给定的数字和物体进行配对。

在我们彩色花启蒙馆的数学思维课中，设计了丰富生动的游戏和动手操作环节，从六个维度上来引导儿童学习数量的表征与类比的。

第六个概念：结构

对数的理解是一个漫长而渐进的过程，发展到这里，对于一般儿童来讲至少需要1-2年时间，也就是说假如你3岁开始让孩子懵懵懂懂接触数字，直到5岁的时候，他们才弄懂了"数字"与"数量"的区别，要是象上面故事中Alex或Sean那样可以清晰说出自己思考过程的，则还需要在这两年里有较好的元认知能力的发展，同时还有关于语言能力的发展等等，儿童并非按部就班地在发展各个领域，他们总是穿插着不同能力以不同的速度在往前进，能力相互之间还会有影响与互补。

如果我们希望儿童在学龄后可以轻松搞定四则运算，甚至各种各样的附加题，参加奥数竞赛。就先不要急于将孩子投入题海中，这里有一个关键性概念需要好好搞清楚：结构。

并不是到了运算里面，我们才来谈结构，事实上，当儿童开始接触数量概念的时候，就已经在结构中了。我们前面谈到集合概念，当儿童知道5不仅仅是数五个物体，5本身就是一个整体，一个集合的时候，他们的思维就已经在心理层面上勾画"数的结构"了，而这部分通过成人以图式的方式展示出来，儿童就可以逐步内化，并形成自己的心理意象了。

有一个标志性的心理意象就是"数轴"，关于数轴可以有各种各样的表示方法，并不一定是水平线，儿童在头脑中假如具有数字不仅仅是一个固定的点，而且仿佛有一根线，数字之间是串联的，可以通过移动使得数量变化，他们可以通过空间的表征，来理解物理上的增减意味着空间上的前后、上下或左右移动。这被称之为真正的"心理运算"。

到了这里，孩子们已经具有真正进行符号计算的能力了，而关于计算，才刚刚开始，我们将在以后继续介绍，儿童在加减法领域里，是如何一步步走过来的，他们必须先从1-10开始，从＋1开始，到＋2，如同今天我们看到的以上分解，儿童从开始理解从一个数字往上累加计数开始，到他们知道14+13=27，整个过程中，可分解的单元。

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