18陈洪杰：“数学步道”可以这样玩儿！

云端

数学

步道

可以

实景

孩子

测量

老师

设计

不同

单位

简单地说，数学步道不是一条道，而是在实景中设计的一系列数学挑战性任务。不过，这个定义却不能涵盖数学步道的一些特质。自然，实景性、在地化是显性的，但由此带来的学生对数学问题的看法，数学眼光、数学多元智能发展、问题解决和创新能力的发展则是隐性的，是在数学步道的展开过程中实现的。展开的过程不同，会产生不一样的教学效益（效果）。其中，需要警惕的是"反教育"的负面作用。

笔者最早对数学步道的认知来自于民国时期的课标。1923年俞子夷操刀的小学数学课标就有教学环境的建议，其中提到，可在墙上做不同面积的图形，窗台放不同容量的瓶瓶罐罐，廊下挂不同重量的沙袋。再之后，看到台湾有数学步道，在我眼里，自然觉得是接民国之风。视野所及，林福来教授、黄敏晃教授似有相关论述。杭州唐彩斌老师赴台交流，也带回来相关信息，后来他在六和塔下上了一堂数学课。不过，至少在2010年的时候，国内谈数学步道的不多。有一次在南京，我向台湾房昔梅老师请教数学步道在台湾的情况，旁边国内的两位特级问：什么是数学步道？

2014年，在《当代教育家》发了一篇数学步道的文章，是请何凤珠老师推荐的作者，但此时，我忘了作者是谁了。但这次发的文章却是现在大陆刚起步在做的数学步道的升级版：实景+人为的结合。基于实景，辅以绘画、装置材料设计数学任务。

2014年暑假，有幸请到洪雪芬老师在"新经典"大讲坛讲数学步道。2015年再请洪老师来悦远教育核心素养活动做了讲座+现场数学步道设计与任务体验。反响热烈！不少地方请洪老师讲课，更有不少学校开始实践。由此，算是有一点点小小波澜（当然，也是个人眼界所及）。

个人认为，观念一变天地宽。数学步道的设计，入门不难，但要做出"育人"的品质，获得数学能力之外的增值效益，却并不容易。

11月8日，在北京亦庄实验小学，张宏伟老师指明希望我讲讲"数学好玩"，于是利用中午饭后时间，到操场周围拍照。下午，做了简单的交流。今日，机场候机，航班延误，实属无聊，不如做点不让自己烧脑的事情：写下当时所想，求教于方家。

——2016.11.23，记于虹桥机场T2航站楼

测量：电线杆以及屏幕下的柱子有多高？

请注意，直接给出测量任务，让学生在实景中测量自然也是可以的。但，如果考虑到学生的年段特点，可以设计人物游学校，每一个数学步道实景之前，设计一点情境（对话、故事、动作）。这主要是为了考虑最后步道任务的呈现方式：以纸质任务单方式呈现的时候，有情境、有故事、有照片（实景），让孩子有角色代入。比如，创设喜羊羊、懒羊羊、美羊羊，熊大、熊二、光头强游校园的情景，不同角色可以说不同思维层次水平的话，引发互动、增强趣味。当然，我那天是直接说：陈编和c校长、h老师游亦庄。

已知陈编的身高，可以估计电线杆有多高吗？

请注意，这里面有仰角的问题，拍照越近、蹲得越低，则误差越大。孩子未必会发现这一点，教师要注意。如此，如果是测大屏幕下的柱子高度，数砖头更靠谱，因为在照片中，角度问题是系统变化。

陈编：亦庄的"百米沙道"赫赫有名，可是，我觉得没有100米呀！

注意：同样是测量沙道的长度，提问方式不一样，孩子操作的性质就有可能不一样。如果我问：从这头走到那头，有多长？这是指向测量和之后量感的建立。但我说"没有100米"其实是推动学生去验证。

学生会怎么测量？怎么来论证？不同的孩子有不同的选择——这是必然的，因为孩子没办法一样，孩子也不需要一样。那么，沙道旁的石板会不会成为度量的工具？测一块，数一数。如果有几种石板呢？则分别求和。

孩子们恰好在玩这个"门"字形框架，框架是可以折叠的，可以变成一把"尺子"。当然，孩子们会选其他工具。在学习长度单位时，我们会让孩子经历从"非标准测量"（比如用铅笔、文具盒、本子量出桌子长）到"标准测量"（统一长度单位）的过程，但这并不说明"非标准测量"（借实物一边）不重要了，在具体的情境中，灵活地借助不同东西的长度，恰恰是一种能力。

认识校园中的正多边形，测体积。如果知道深度，则更加生活化：装了多少"立方"的土？（"土方"一词的生活含义）之前的沙道自然也是可以测装了多少"吨"沙的。——生活中，不同场景进行计量有时用体积单位，有时用重量单位。

远处的矮圆柱，近处的黑圆柱，测体积，培养量感。先猜，再测。猜不是随意地猜，可以猜一维长度，二维底面积，计算着猜。猜多了，计算自动化，凭"眼力"和感觉猜。这里有不精确—计算精确—直觉精确（敏感）的过程，这个过程也是课堂教学可以关注的。

由规则推断不规则：月牙形的怎么办？孩子们能体会体积计算的"底面积Ｘ高"的共通之处吗？

亦小的喷泉池。在这里可以讲12兽首的故事（个人不喜欢在爱国主义这一块煽情，比较客观地讲）：圆明园里的"水龙头"，我们太在乎，人家反而卖高价了！（博弈论啊！）请问：要把他们装箱打包运回国内，要做多大的一个方木箱？这个任务，兽首是不规则的，却要孩子找到规则的长宽高，难度在高。——羊首，其羊角的范围是超过底座的，和其他的还不一样。现实情境有一个特点：复杂！

海报栏，当然是：面积多大？广告公司喷绘是x元一平方米，总价是多少？

孩子们在关注海报栏，里面有校长讲话的照片。由此提出论证题：校长讲话的照片和整块展板，形状是一样的吗？（证明形状的相似性，比例）

从反面看橱窗，出面积的题目更合适，无关因素干扰少。银杏叶子已经掉落了，如果你学过《一片叶子掉下来》，那么能不能统计一下大树是怎么掉叶子的？每天掉的数量一样吗？你可以像观察大蒜一样画图哦！（这个工作量比较大，可以小组合作。）

树、影子，作为老师的你有没有想到测金字塔高度的故事？

这个地方可以躲雨遮阳。一块板下可以躲几个小朋友？（量感）没有那么多小朋友来站到下面来做实验，怎么办？（抽样，局部-整体）。

阳光撒下来，其实是投影。落雪之后，也是如此。北京已经落雪，可否直观地渗透投影呢？（正投影）

"这有多少鹅卵石？""我们一颗一颗数一数吧！""太麻烦了！我有好办法…我要一张A4纸。"

估算，局部推测整体。

数图形，有多少个平行四边形？

分享交流时，追问：怎么数，不重复，不遗漏？（培养目标在于：思维的全面、有序）

数图形，对顶角相等，三角形的相似。

井盖是圆的，这一圈围着井盖的路牙子也是圆的吗？验证。会涉及对怎样算是"圆的"标准的讨论。因为每块砖头是方的，论证可以有实际测量、推理两种方式。不同的孩子对此必然会有不同的观点。

化圆为方，以及以方建圆的案例补充：比如烟囱、割圆术、清真寺的穹顶。把知识还原为解决问题的状态，还原为对古人智慧的"体贴"。

亦小的专业轮滑场，转角是圆的一部分吗？（圆弧）验证。

小柯老师和孩子们一起玩足球。可以设计这样的场景，定点射门：球门分区域，简单地可以用两根绳子分成左、中、右，三块区域，中间区域小一些，踢入中间5分，踢入两边3分。——为什么这么设计？和轮盘转抽奖活动有什么相似之处？

小花坛的灯，自然可以设计：测量圆面，计算圆柱体积。但我会拍它是因为看到灰尘比较厚和浅的部分有明显的界限，顶部的圆面分成大小两部分。由此设计沿着上面的分解线垂直切下去，会是什么形状？（空间想象，截面）进一步，可以再画几条线，包括直径，让孩子想一想会是什么形状，然后组织验证。

进一步，斜着在灯柱上扎几根皮筋或绳子，让孩子想象截面形状。

这里也提醒我们，为了数学的目的，可以对实景进行部分的人为改造。

洗手间的一面墙。组合图形的面积，可以拍照，然后在照片上圈出一块面积，让孩子在实景中计算。也可以在实景中用不干胶粘出图形（可以不沿着原来的边线），让孩子计算不干胶内的区域（设计到测量、图新割补）。

洗手间的地板，同样可以如墙那样处理，但也可以让孩子简单地测瓷砖变长边长、面积，1块的、4块的、其他数量的。目的在于建立量感。可以追问，测量教室的话，可以选哪一块（1块、4块或其他的）作为测量单位。——面积单位，以及其他单位都有共同的特点：有不同大小的单位，以应对不同的测量需求；不同单位有进率且有跳跃（米到前面，百分数到ppm，千克到吨），以达到单位互通和单位数量适中的目的。

学校教学楼之间的雕塑。三视图、投影！让人想到一堂数学实验课，邢佳立老师的"图形穿越"：立体王国的穿墙术。（可以设计立体王国发生盗窃案的情景，监控拍下了三视图，抓罪犯——这恰恰又可以和涉及面在体上的数学绘本《谁偷走了西瓜》沟通起来。）

横看成岭侧成峰！数学与语文自然可以沟通。

正大综艺里的一个游戏不也正是如此吗？

陈编：漂亮的台阶！我喜欢梵高的《星空》，孩子们能画吗？【情境好久没出现了，怕大家忘了。哈哈】

实作任务：让孩子自己搭建项目团队（超越课堂教学意义上的小组合作），装饰学校的一段台阶。——这可以做成一个"项目学习"（PBL）的任务。

室内，孩子们种的蒜苗。统计。

南瓜灯，体积。如果是自己制作的话，让孩子用自己的方法算球体的表面积。——难吗？难才有意思！

早上在餐厅看到这个桌子可把我乐的！——在侧面加了一把凳子，就和下面图中的题目一致了。

桌子a和凳子b是什么关系？（函数）如果有N张桌子，多少人？如果有N个人，多少桌子？（顺逆）

在课本上、试卷上、习题上看到这道题目，和在食堂中基于实景来探究规律，感觉是不一样的。尤其是学生对知识的"真实感"和"应用性"的感受。

下午分享前拍的照片，和灯柱的截面有异曲同工之处。只是，这个实景研究投影、截面有时效性。不过，如果研究时间呢？（时间的定义常常需要一种稳定的运动作为"尺子"，因此，年月日既是时间单位，也是运动的主体，"年"甲骨文是背着稻谷的人，是指一年一熟的意思，本质上是太阳的运动。）

"中国瓷"项目化学习的一个课程作品，测量面积的"蒙特卡洛法"！如果觉得蒙特卡洛法太远，那么这样一种思想是古今相通的：规则排列黄豆、瓷片等，根据落入不规则图形（此处的大碗）和全部黄豆、瓷片的比例获得不规则图形的面具。比如，测量圆面积，可以用黄豆铺满整个外界正方形面积，然后数数圆内黄豆的占比，数量比推出面积比。

不再设计了。可以列出一些注意点：

1、同一个实景可以设计不同年级、学科指向的题目。2、数学步道的参与者不仅仅是学生，更可以是老师、亲子。老师的参与可以拓展对学科的认识，这何尝不是专业素养的一部分？（很多老师眼里只有教材，缺失了很重要一项审美品质：数学可以玩儿！）亲子互动的意义不多言，"奢望"是亲子在学校之外，以数学的眼光看问题，自己设计、自己玩儿。3、留下一些场景给孩子来设计题目，可以给出指定的场景（拍好一些照片），也可以让孩子自己选择场景。4、步道的评价要注意，可以参考一些评价量表。5、孩子的解题成果可以作品化，进行展示。6、可以和写作、美术等学科整合，以项目学习的方式来做。7、数学步道可以作为数学学科的创意课程，以课程的力量赋予数学冷峻之外的脉脉温情。

历史步道，给文化以时空纬度。数学步道，观世界以数学眼光。

word大哥，这能见度9999米怎么来的？！

有时过分的精确恰恰带来了反作用，比如大家熟知的：此地无银300两，隔壁阿二不曾偷。

——2016年11月23日，机场、机上，27日修改补充。