五下数学因数和倍数单元概念梳理

画堂春

知识点一：理解因数和倍数的关系。

因数和倍数不能单独存在，它们是相互依存的关系。不单独说谁是因数，也不能单独说谁是倍数，一般说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

例如：6是12的因数，12是6的倍数，而不说6是因数，12是倍数。

知识点二：明确0的特殊性。

0是一个特殊的数，0乘任何一个数都等于0，所以0是任何一个非0自然数的倍数，任何非0自然数都是0的因数。为了方便，在研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。

知识点三：找一个数的因数。

1.找一个数的因数的方法：

（1）列乘法算式找，有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，两个乘数都是这个数的因数。

(2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。

2.一个数的因数的表示方法：

（1）列举法表示。

（2）集合圈表示。

3.一个数的因数的特征：

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

知识点四：找一个数的倍数的方法

1.找一个数的倍数的方法：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。

2.一个数的倍数的表示方法：

(1）列举法表示。（2）集合圈表示。

3.一个数的倍数的特征：

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

知识点五:2、5、3的倍数特征

2的倍数，个位上是0、2、4、6、8。

5的倍数，个位上是0或5。

3的倍数，各个数位上的数字之和是3的倍数。

（注:三个连续的自然数、三个连续的奇数三个连续的偶数或三个相同数字组成的数，也是3的倍数。如:123、135、246、111等）

拓展:9的倍数特征，各个数位上的数字之和是9的倍数。

知识点六:自然数的两种分类

根据是否是2的倍数，自然数可以分为奇数和偶数。

根据因数的个数，自然数可以分为1、质数和合数。

知识点七:公因数和最大公因数

1、几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。公因数的个数是有限的。

2、求两个数的公因数方法:

①可以先用列举法分别找出每个数的因数，再找出两个数的公因数。

②可以先找出一个数的因数，再从这些因数中找另一个数的因数，就是这两个数的公因数。

③把两个数分解质因数后，两个公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数。

④可以用短除法求两个数的最大公因数，同时除以两个数的公因数，直到除得的两个数只有公因数1为止，最后把几次作除数的公因数相乘得到的积就是两个数的最大公因数。

3.两个数的最大公因数可以用“( )”表示。例如12和18的最大公因数是6，可以表示为(12，18)=6。

知识点八:公倍数和最小公倍数

1、几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个就是这几个数的最小公倍数。公倍数的个数是无限的。

2、求两个数的公倍数的方法:

①可以先分别列举出这两个数的若干个倍数，再从中找出这两个数的公倍数。

②也可以先列举出较大数的若干个倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，从而找出这两个数的公倍数。

③用分解质因数的方法，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘。

例如:求30和42的最小公倍数。

30=2x3x5 42=2x3x7

30和42的最小公倍数:2x3x5x7=210

④用短除法求两个数的最小公倍数。同时除以两个数的公因数，直到除得的两个数只有公因数1为止，最后把几次作除数的公因数和商相乘得到的积就是两个数的最小公倍数。

如:求8和12的最小公倍数。用8和12的公因数2作除数，得到的商分别是4和6。

用4和6的公因数2作除数，得到的商分别是2和3。

2和3只有公因数1，到此为止。

最后把所有的除数和所得的两个商连乘起来，就能得到8和12的最小公倍数。

8和12的最小公倍数是2x2x2 x3=24。

3、两个数的最小公倍数可以用“[ ]”表示。

例如:12和18的最小公倍数是36，可以表示为 [12，18] =36

知识点九:最大公因数和最小公倍数的几种特殊情况:

1、在有倍数关系的两个数中，较小的数就是这两个数的最大公因数;较大的数就是这两个数的最小公倍数。

例如:13和65，65是13的倍数，13就是13和65的最大公因数;65就是13和65的最小公倍数。

2.如果两个数互质，它们的最大公因数就是1;最小公倍数是两个数的乘积。

例如:5和9互质，1就是5和9的最大公数;5x9=45就是5和9的最小公倍数。

3.两个数的最大公因数✖️最小公倍数＝这两个数的乘积。

知识点十:质数与合数

只有1和它本身两个因数，像这样的数叫做质数或素数。（100以内的25个质数要牢记；2是唯一的偶质数）

除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫做合数。（最小的合数是4）

知识点十一:质因数与分解质因数

如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

分解质因数可以用树状图，也可以用短除法，短除法比较常用。

短除法的规范步骤:

先用最小的质数（2、3、5等）试除，直至商为质数。

分解结果需写成质因数连乘形式，例如：

39 = 3 × 13（不可仅写出分解过程，必须明确乘积结果）。

易错点提醒：

漏写最后一步的乘积形式，如分解后只写出短除法步骤，未完成最终答案；

混淆质数与合数，例如将1误认为质数。

分解质因数的两大常见错例如下:

知识点十二:互质数

1、互质数的概念:

公因数只有1的两个非0自然数是互质数。

2、常见的互质数:

(1) 两个不相同的质数一定是互质数，例如2与7、13与19。

(2) 相邻的两个非0自然数是互质数，例如 15与 16，8与9.

(3)相邻的两个奇数(1除外)是互质数。

例如 49与51，7和9。

(4) 2和任何奇数是互质数。

例如2和87。

(5)1和任意大于1的自然数都是互质数。

(6) 当一个数是合数，而另一个数是质数，且合数不是质数的倍数时，这两个数也是互质数。

本单元思维导图