3.24 紧扣分数的意义在数轴上表示分数

叩问童心

　 “分数的意义”是人教版5年级数学下册第4单元《分数的意义和性质》中的重要内容。其价值主要体现在两个方面:其一、聚焦数学意义深度理解分数的读法和写法；第二、以该意义为指南解决数学问题。

教学实践证明，学生对后者存在的认知困难更大一些。尤其，凸显在如下练习题中。

一、数轴表示真分数的抽象性

真分数是学生在三年级上册学习《分数的初步认识》时，最先接触到的分数，也是在本单元深度认识分数的起始分数。

通常，学生在用一个圆形、长方形或其它形式的直观图表示真分数时，并不困难。而他们要把一些物体看做一个整体，通过平均分表示分数时却会思维受阻。若将这些直观图抽象为一条数轴的时候，学生在表示起来就不大容易。

　 面对该情况，教师可以引导学生基于对分数意义的深度理解，利用数轴呈现该分数。学生要在上图中的第一条数轴上表示1/4和3/4是相对容易的，他们可以明显感知到在这里是把0~1之间的这条线段平均分成4份。第1份的位置就表示1/4，第3份的位置就是3/4。而要表示1/2的时候，学生的思维就会受阻。那么，怎样在4份当中选出1/2呢?教师应引导学生理解1/2是什么意思。它表示，把单位“1”平均分成两份。即，把原来呈现的包含了4份的单位“1”，重新再平均分。4÷2=2，也就是每2段为1份，所以1/2表示的就是第1个2份处。

二、数轴表示真、假分数的易混性

当学生对真分数和假分数都有了解的时候，他们则会出现易混点。即，有的学生把真分数标在假分数的位置，表示假分数时更一头雾水。究其原因，仍是他们对分数的意义理解得不透彻。

　 比如，5/6 指的是把单位“1”平均分成6份，表示其中的5份。在这里，平均分的份数多，要表示的份数少，所以它应该在小于1的区间。如第1题图中，在数轴中，0~1之间的长度被平均分成了6份，第5份处就是5/6。

学生思维认知中的最大困难点是表示假分数。他们常会基于生活经验偏颇地认为，无论把单位“1”平均分成多少份，要表示的份数不大于它才正常，取的极限最多等于平均分的份数。否则，在逻辑上或实际操作中都是不可思议的。它相当于“打死和尚要和尚”那样的不成逻辑。因此，学生能够表示分数的范围，就被局限在真分数和分子与分母相等的假分数。

学生在表示7/6和13/6时，大部分就会陷入困惑。此时，教师可以引导他们借助数轴直观感知自然数的呈现特点。继而，逐步引进对假分数的理解。在0－1的这个单位“1”中，分数表示的极值是6/6。如果要表示7/6，就意味着自然数“1”的数域范围需要拓展和延伸。以1为界限，就可以表示出6/6。此时，还有1份未表示出来。学生就可以顺着数轴向右查找“又1/6”的位置。它在数字1－数学2的区域里，只需在该范围内平均分的6份中取出1份，就能够连同前面的6/6共同组够7/6。它实际表示的是6/6+1/6的结果。此时，学生若基于数轴直观表示出带分数一又六分之一，也并不困难。

三、数轴表示假、带分数的多元性

假分数和带分数之间有着密切关系，学生如果通过圆片、长方形等直观图表示尚不困难。若由此迁移到数轴，则会存在二者的融合性认知基础薄弱的情况。

教师引导学生在假分数和带分数(可以化成整数的情况除外)之间建立一一对应关系是基础，通过对比性思考体悟二者分数表示的一致性特点是归宿。

　 10/5表示把单位“1”平均分成5份，要表示10份，就是表示两个5/5。一个5/5是1，所以，两个就是2。

无论要表示假分数还是带分数时，学生只需紧扣分数的意义理解即可。0－1的区域就是单位“1”，数轴上呈现几个这样的单位，就是数字几。单位“1”平均分成多少份，分母就是几。分子是几，就是要表示多少份。要12/5只需从左到右数出12份，这时取得份数已经超出了单位“1”的边界。当学生借助数轴自主打破原有的认知偏见的时候，就会发现取的份数超出单位“1”平均分的份数很正常。若将之以带分数的形式表示，直观性则更强一些。该位置在2－3之间，它比2多一些且不到3。因此，整数部分是2，零头所在的该区域也可以表示为单位“1”。它占了平均分成的5份中的2份，因此就是2/5。两部分合起来就是二又五分之二。

基于以上理解可知，分数的意义是学生在数轴上正确表示分数的重要工具。这是学生紧扣分数学习的根本，寻求解决数学问题的有效策略，教师引导学生读懂、会用很有价值。