三角形五心

小米

重心口诀‌：三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好。

‌垂心口诀‌：三角形上作三高，三高必交于垂心，高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。

‌内心口诀‌：三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源，点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。

‌外心口诀‌：三角形有六元素，三个内角有三边，作三边的中垂线，相交共一点，此点为外心，用它可作外接圆。内心外心莫记混，内切外接是关键。

三角形五心的定义和性质

‌重心‌：三角形三边中线的交点。重心将每条中线分为2:1的比例，且重心到三角形任意一边的中点连线与该边平行且等于该边的一半。

‌外心‌：三角形三边外接圆的圆心。外心到三角形任意一边的距离等于该边的长度除以该边对应的正弦值。

‌内心‌：三角形三条角平分线的交点，即内切圆的圆心。内心到三角形任意一边的距离等于该边的长度乘以该边对应的正弦值的一半，再除以三角形的周长。

‌垂心‌：三角形三边上的高的交点。垂心到三角形任意一边的垂线与该边垂直且等于该边的一半。

‌旁心‌：三角形每一条内角平分线（所在直线）与另外两角的外角平分线相交于一点。旁心在三角形内部，且到三角形任意一边的距离等于该边的长度除以该边对应的正弦值的一半。

三角形五心的应用和定理

‌欧拉线定理‌：重心、外心、垂心三点共线，且重心到垂心的距离等于外心到垂心的距离的两倍。

‌五点共圆定理‌：重心、外心、内心、垂心在三角形中五点共圆，且这个圆的半径等于外接圆半径的一半。