初中数学五日一题(3)(21--30)解法与解析集锦

海阔天空

文字:海阔天空

题目:主要源于绩优学派同步练习册

我的两个初衷

自从2024年9月1日开学起，九年制义务教育阶段的一、七年级同时开始使用新教材。我的大孙女也正好进入七年级，这让我毫无疑问的在关注着她的学习动向，特别是数学这一学科。

本级学生数学科统一使用的是名为绩优学案的同步练习册，这应该是小学阶段的学习与评价改了个名称。虽然我没有也没必要给她经常性的辅导，但我始终会一如既往的坚持一个做法，就是我手头同时具有跟她同步的教材和同步练习册，而且在一题不漏和不厌其烦的过目、钻研、理解。如果她随时需要，我一定会让她满意，这就是我的第一初衷。

我有一个深刻的感觉，现在七年级的同步练习册上有相当数量的题目从难度和跨度上都不亚于十年前八、九年级的题目。我虽为一名退休数学教师，但这好多题目都让我完全是一种新的感觉，更需有新的认知。幸亏本人酷爱数学，否则这个做法难以坚持下去。

数学同步练习册上有一些题目很有趣味性和代表性，但资料上提供的答案往往是避重就轻，只有结果而没有过程或是解析过程过于简略。有些题目很有必要深钻细研、深刻挖掘，但有时通过网上查询总难让人感到满意，所以有的题目会让我通过多时甚至数日才能琢磨到毫不含糊的程度。这正是我分享“五日一题解法与解析集锦”的主要原由。

借用网络与人为善，为本级优秀学子们突破高难度题目寻求正确解题思路提供参考和借鉴，这是我的第二初衷。如果不出意外，我的这个做法会一直坚持到本级学生初中毕业。本人做为一名退休教师，若能对任何学子有一丝帮助，那将是我晚年生活的最大欣慰。

两点说明

1.本五日一题集锦题目主要来源于❶绩优学案中能力提升题、素养拓展题栏目；❷教材中单元习题和复习题中问题解决、联系拓广等栏目；❸各单元测评卷中个别精选题目；❹寒暑假作业中让我留有标记的题目；❺我孙女测试卷上出现过被我看中的题目。

2.我对选入的题目原则上保证题意分析、详解过程、解后反思这三步走，但个别题目例外，要么只有题意分析，要么只有解答过程，要么答案就在题意分析中，题意分析中重在谈讨问题的转化方法和途径，探究难点突破的巧思妙想。解后反思既是对题意分析的补充，又是自我感悟的分享。

2024年12月30日题

21.某服装商家同时卖出两套服装，每套均卖168元，按成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则该商家在这次经营过程中( A )

A.亏本14元 B.盈利14元

C.不亏不盈 D.盈利20元

(绩优学案七年级上册第五章“一元一次方程”3.一元一次方程的应用.3.一元一次方程的应用之后的“问题解决策略”p120页基础过关2题)

题意分析:

1.本题是一利率问题，盈利20%就是售价比进价增长了20%，亏本20%就是售价比进价减少了20%。

2.要求盈利或亏本就是要把两套服装的进价先求出，用它们的和减去168元的2倍，若结果为正就是亏损了，若结果为负就是盈利了。

3.如果设第一套服装进价为X.则X(1+20%)=168，那么X=168÷1.2=140.同理第二套服装的进价为168÷0.8=210.

4.问题到此已迎刃而解了。

解答过程:

168÷(1+20%)+168÷(1-20%)

-168×2

=140+210-336

=350-336=14

故应为选项A。

解后反思:

1.本题中进价就是成本价，销售价高于成本价就盈利，销售价低于成本价自然就亏损。

2.上面的算式列出需借助稿纸作用后，再直接列出算式求解。

2025年1月5日题

22.某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2:7:3，如图6-3-1-3所示的扇形图表示分布情况，如果来自甲地区的有180人，则这个学校学生的总人数和丙扇形的圆心角度数分别为

( D )

A.270，60⁰ B.630，90⁰

C.900，210⁰ D.1080，90⁰

(绩优学案七年级上册第六章“数据的收集与整理”3.数据的表示.第1课时“扇形统计图”，p136页第1课时课后巩固基础过关2题)

题意分析与解答:

1.本题属于利用扇形统计图表示和计算数据的题目。

2.本题中给出了甲、乙、丙三部分的比为2:7:3，这就意味着甲、乙、丙各占2份、7份、3份，学生总数为12份。

3.求学生总数实际上就是要求标准量，甲地有180人这应该是一个比较量，它对应的分率应该是2/12，学生总数即180÷(2/12)=180×6=1080.

4.丙扇形的圆心角就是360⁰乘以3/12=90⁰。

5.故应选D。

解后反思:

1.凡是给了各部分量的比，一般都要用份数考虑各部分和总体量的多少。

2.已知比较量求标准量时用除法，已知标准量求比较量时用乘法。

2025年1月10日题

23.“运算能力”是数学学科核心素养之一，某校对七年级学生“数学运算能力”情况进行调研，从该校360名七年级学生中抽取了部分学生进行运算能力测试并进行分析，成绩分为A、B、C三个层次，绘制了频数分布表和扇形统计图如下，请根据图表中信息解答下列问题:

⑴补全频数分布表；

⑵如果成绩为A层次的同学属于优秀，请你估计该校七年级有多少人达到优秀水平。(绩优学案七年级上册第六章“数据的收集与整理”3.数据的表示.第2课时“频数直方图”p140页能力提升8题)

题意分析及解答:

1.本题是由频数分布表中给出的部分频数和扇形统计图中给出的部分成绩层次数据占总频数的百分比求总的频数和另一部成绩层次的频数。

2.容易看出可由A或C层次频数除以它们对应的百分比得总体频数。即 40÷40%=40×5/2=100.

3.求B层次频数可用两种方法进行，即100-40-10=50或100×50%=50.

4.要求七年级优秀水平人数就是要用七年级总人数乘以优秀人数的百分比。即40%×360=144人.

解后反思:

1.题目中补全频数分布表就是要把空白部分的两处空格填满。

2.本类题目主要用到分率公式中两中基本应用，要么×，要么÷。

2025年1月15日题

24.某手机店今年1--4月的手机销售总额如图6-3-3-7①所示，其中一款音乐手机的销售额占当月手机销售总的百分比如图6-3-3-7②所示。

有以下四个结论:①从1月到4月，手机销售总额连续下降；②从1月到4月，音乐手机销售额在当月手机销售总额中的占比连续下降；③音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降；④今年1--4月中，音乐手机销售额最低的是3月。其中正确结论是(④)。(填序号)(绩优学案七年级上册第六章“数据的收集与整理”3.数据的表示.第3课时“选择统计图与活用”p143页基础过关6题)

题意分析与解答:

1.本题是条形统计图和折线统计图的活用，既像填空题，又是选择题。

2.由两个统计图可明显看出选项①和②都不正确，因为都不具备连续的要求。

3.若单看条形图选项③不正确，再单看折线图选项④也不正确。

但把两个统计图结合起来看，选项③应是正确的，即60×18%＜65×17%。故正确答案应为选项④。

解后反思:

1.本题要反复读题，对4个结论性语句需细心理解、精雕细刻，不能只看大概。

2.最终找到正确选项时，必须清楚其它选项为何不对，这样更能对题目加深理解。

2025年1月20日题

25.(七年级第一学期“寒假作业与生活”p12页二.填空题12题)

题意分析与解答:

1.本题要首先寻找出这一列数的规律，再按照这个规律写出第7个和第n个数。

2.寻找这一列数的规律主要把握下面两点:❶本列数的符号是按+、-、+、-、…排列的，每个数前面都用-(-1)ⁿ表示，即可保证当n是奇数时为正，n是偶数时为负。❷这列分数的分子为从1开头依次增大的自然数，分母均为分子的2倍加1。

3.按照上面规律第7个数是7/15，第n个数符号为-(-1)ⁿ，分子为n，分母为2n+1。

解后反思:

本题寻找规律一是首先考虑用序号表示正、负号，二是用序号表示分子和分母。

2025年1月25日题

26.若α²-2α-5=0，则2α²-4α+1=？(七年级第一学期“寒假作业与生活”p23页“中考真题演练”5题)

题意分析和解答:

1.本题属于求代数式的值，但本题并非一般，是求代数式值的题目中特殊形式，需整体代入，即只要能把要求值的式子变形为含α²-2α-5的形式，便可把这个式子做为一个整体用跟它相等“0”代替，也就是等量代换。

2.如何把原式变成含有α²-2α-5的形式，又能保持原式的值不改变，是解这个题的关键。

3.原式=2(α²-2α-5)+10+1=11

4.上式中，括号外面的2乘进去后，跟原式相比，本来没有-10，但现在多了个-10，所以在括号后面同时+10，这就既保证了原式的值不变，又包含了可整体代入的形式。

解后反思:

上面给代数式变形是在有目的的进行，首先变成需要的形式，再跟原式比较，并进行适当处理以保证原式值不变，是解决这类问题的关键之处。

2025年1月30日题

27.钟表上的时间是3:30，此时时针与分针所成的角是(75⁰)(七年级第一学期“寒假作业与生活”p28页培优❹“基本平面图形”核心素养培优填空10题)

题意分析与解答:

1.本题是时钟上求钟面角的问题。本题牵涉的知识点是，在同一时间内分针转过的度角是时针转过角度的12倍。

2.要求出3:30时钟面角，首先要思考3:00时刻的钟面角是多少度？这不难想到是90⁰。当到3:30的时刻，分针自然要转180⁰从指示12点转到指示6点，与此同时，时针也转过一个角度从指示3点指到3点到4点之间，这时钟面角应为90⁰-时针转过的度数。

3.当分针转180⁰时分针转的角度自然是180⁰÷12=15⁰。那么钟面角为90⁰-15⁰=75⁰。

4.用同样的思考可以计算出任何一个时刻的钟面角。比如3:35时的钟面角为120⁰-210⁰÷12=120-17.5=102.5⁰。

解后反思:

1.时钟问题从小学一年级的教材开始就有一定程度的渗透，但持续到初中好像一直没有专门章节系统讲解，都是零敲碎打出现有关题目。

2.鉴于上面情况，我们在遇见每一个时钟上的知识都需认真理出一个头绪来，不能含糊不清就收手。

2025年2月5日题

28.如图1-4-10，已知线段AD=⅔AB，AE=⅔AC，且BC=6，则DE=( 4 )(七年级第一学期“寒假作业与生活”p28页培优❹“基本平面图形”核心素养培优填空12题)

题意分析及解答:

1.本题中，要求线段DE的长，怎样才能用上已线段BC的长呢？关键是要抓住图形特点，让问题转化到能用上已知条件。

2.DE=AD-AE=⅔AD-⅔AC

=⅔(AD-AC)=⅔×BC=⅔×6=4.

3.上面的过程用到了要求的线段可首先转化为其它两条段的差，利用知条件进行等量代换，问题最终转化为已知线段的⅔。

解后反思:

1.本题并不难，但如果没有正确方法仍然不容易，在思考转化时，怎样才能把已知和未知联系起来，已知条件自然是二者之间的桥樑。

2.本题中要求的DE也可用其它两条线段的差表示出来，比如:DE=DC-EC，但已知条件跟这两条线段并没有直接关系，达不到问题转化的目的。

2025年2月10日题

29.如图1-4-14，∠AOB的平分线，OM，ON为∠AOM内一条射线，

⑴若∠BON=57⁰，∠AON=11⁰时，求∠MON的度数；

⑵某同学经过认真分析，得出一个关系式:∠MON=½(∠BON-∠AON)，你认为这个同学得出的关系式是正确的吗？若正确，请把得出这个结论的过程写出来。(七年级第一学期“寒假作业与生活”p28页培优❹“基本平面图形”核心素养培优解答16题)

题意分析:

1.第⑴问是要求∠MON=?因为∠MON=∠AOM-∠AON.再继续思考这两个角的度数，其中一个是已知，另一个又可通过已知条件解决。

2.第⑵问要得到的这个结论总可以先转化为左边是∠MON的2倍，右边自然是两个角的差。再想办法让这个等式成利时问题就解决了。

3.右边要相减的两个角总可以看出它们的代换方式，代换时尽可能的用上左边这个角便于达到目的。

详解过程:

⑴计算∠MON的大小:(如下图)

⑵我认为这个同学得出这个关系式是正确的，得到这个结论的过程为:

解后反思:

1.OM是∠AOB的角平分线，这个条件既可得到两角的相等关系，也可得到两角的二倍关系和一半关系，可以按需要随意写出某一个。

2.ON是∠AOB内一射线，这个条件只能得到角的和差关系。

2025年2月15日题

30.我国古代问题:以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺；若将绳4折测之，绳多1尺。绳长、井深各几何？大意是:用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余绳4尺；把绳三四折来量，井外余绳一尺。绳长、井深各几尺？若设绳长为X尺，则可列方程为( A )(七年级第一学期“寒假作业与生活”培优❺“一元一次方程”中考真题演练p37页3题)

A.⅓X-4=¼X-1 B.⅓X+4=¼X-1

C.⅓X-4=¼X+1 D.-⅓X+4=¼X+1

题意分析及解答:

1.本题是一古代用绳长量井深的问题，应用了两种方案得到两种不同情况，利用这两种不同的情况既可量井深还可算出绳长。

2.本题解决思路应该是固定不变的。即若设绳长为直接未知数，那么必须以井深不变列出方程。若设井深为直接未知数，那么必须以绳长不变列方程。题目中是利用第一种思考进行的，正确选项应是A。

3.第二种思路为:设井深为X，由题意列方程得:3×(X+4)=4×(X+1)

解后反思:

1.由本题可以了解到，古代人们的高超智慧，和方程这个数学模型在测量上的巧妙用法。

2.本题两种不同思路是方程解题法的最及本的功底。

初中数学五日一题⑶(21--30)解法与解析集锦到此结束，后续初中数学五日一题(4)(31--40)将另文发表，欢迎光临和关注！

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