轮摆线与螺旋线

滨洋

2024年1月4日

晴3～15度

在复合场（如重力场、电场、磁场并存）问题中，配速法是一种巧妙的解题方法。

原理：其基本思想是把带电粒子的速度分解成两个（或多个）分速度。通常会把速度分解为一个能与电场力、重力等恒力平衡的速度，这样在这个方向粒子相当于做匀速直线运动；另一个分速度则用于分析粒子在磁场中的圆周运动情况。

应用步骤：

第一步：速度分解。例如，一个带电粒子在重力和电场力以及磁场力共同作用下，先确定电场力和重力的合力方向，然后分解粒子的速度，使其中一个分速度产生的洛伦兹力与电场力和重力的合力平衡。

第二步：分析运动状态。平衡的这个分速度对应的方向，粒子做匀速直线运动；对于另一个分速度，粒子在磁场中做匀速圆周运动。

第三步：综合求解。根据匀速直线运动和匀速圆周运动的规律，分别计算粒子在这两个运动状态下的位移、时间等物理量，最后综合起来求解题目所要求的问题，比如粒子运动的轨迹、运动时间等。

例如，一个带正电的粒子以速度v在同时存在电场、重力场和磁场的区域运动，电场方向竖直向上，重力方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里。如果电场力和重力大小不相等，就可以把速度v分解为一个水平向右（设为v1）的速度和一个竖直向上（设为v2）的速度，v2产生的洛伦兹力刚好和电场力与重力的合力平衡，粒子在水平方向做匀速直线运动，在水平方向以速度v1做匀速圆周运动。

·解题思路

1、分出一个速度 V1 ，来平衡恒力，

以构建一个匀速运动。

2、剩下的一个速度 V2，做匀速圆周运动。

3、每个时刻合速度V＝V1+V2。

．主要结论

1、 V1、V2同向时速度最大

2、竖直方向最大位移h＝2R, R 由v2决定。

螺旋线运动通常是匀速圆周运动和匀速直线运动叠加形成的，以下是对螺旋线运动的分析：

运动轨迹

螺旋线运动的轨迹是一条螺旋状曲线。当直线运动的速度与圆周运动的速度比为固定值时，每一个旋转周期，螺旋外扩相同的距离，形成等距螺旋，如阿基米德螺旋、渐开线螺旋等。

速度

可将物体在螺旋运动中的速度分解为轴线方向的匀速直线运动速度v_t和绕着轴线的圆周运动速度v_z，根据欧拉公式，物体在螺旋运动中的速度v=(a + bθ)ω + v_t，其中ω为物体在轴线方向上的角速度，θ为物体沿着轴线旋转的角度，a和b均为常数。

加速度

物体在轴线方向上的加速度始终为零，因为其速度大小和方向都不变。在与轴线垂直的平面上，物体进行圆周运动，有向心加速度a_c=(a + bθ)ω^2和切向加速度a_t = bα，其中α为物体在沿着轴线旋转时的角加速度。

受力情况

在螺旋运动中，物体受到的力可以分解为圆周运动所需的向心力和直线运动方向上可能存在的外力等。向心力大小为F_c = m(a + bθ)ω^2，方向始终指向圆周运动的圆心，用于改变物体圆周运动方向；若直线运动不是匀速的，在直线运动方向上会有相应的外力产生加速度，使物体在该方向上加速或减速。

动能和势能

物体在螺旋运动中具有旋转动能和平移动能，旋转动能为E_{krot}=\frac{1}{2}Iω^2，平移动能为E_{ktrans}=\frac{1}{2}mv_t^2。势能则与物体在重力场中的位置有关，若只考虑重力势能，其势能为E_p = mgz，其中z为物体与轴线的垂直距离。

动量和角动量守恒

由于物体沿固定轴线做匀速运动，在螺旋运动中，当圆周运动半径很小时，物体在沿着轴线旋转时的动量可略取为零，可推导出物体在螺旋运动中的角动量守恒，其角动量为L_z = Iω + mrv_t。