<p class="ql-block">勾股定理的证明方法丰富多样,其中我国古代数学家赵爽用“弦图”的证明简明、直观,是世界公认最巧妙的方法之一.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志,千百年来备受人们的喜爱.</p><p class="ql-block">小亮在如图所示的“赵爽弦图”中,连接 EG,DG.若正方形 ABCD与EFGH的边长之比为√5:1,则sin∠DGE等于＿.</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">环节一:证全等</p><p class="ql-block">易证△ABG和△DAF和△CDE全等</p><p class="ql-block">CH＝DF，DH＝AF</p><p class="ql-block">环节二:利用勾股定理构建方程模型</p><p class="ql-block">设EF＝m，AD＝√5m，AF＝DH＝x</p><p class="ql-block">由勾股定理可得(m+x)²+x²＝5m²</p><p class="ql-block">解得x1＝m，x2＝-2m(舍)</p><p class="ql-block">则AF＝m，DF＝2m</p><p class="ql-block">注:选择或填空题题可以设参数“1”设EF＝1，则AD＝√5，构建方程模型可求AF＝DH＝1</p> <p class="ql-block">环节三:构造直角三角形求正弦</p><p class="ql-block">方法一:选点E作垂直</p><p class="ql-block">作EM⊥DG于点M</p><p class="ql-block">证△DME和△DFG相似</p><p class="ql-block">EM/FM＝DE/DG</p><p class="ql-block">可得EM＝√5/5</p><p class="ql-block">由GE＝√2</p><p class="ql-block">因此sin∠DGE＝EM/EG＝√10/10</p> <p class="ql-block">方法二:选EH中点作垂直</p><p class="ql-block">过EH中点M作MN⊥EG于点N</p><p class="ql-block">EM是△DEG中位线，GM＝√5/2</p><p class="ql-block">在Rt△EMN中，EM＝1/2，∠GEH＝45º</p><p class="ql-block">可得MN＝ EN＝√2/4</p><p class="ql-block">因此sin∠DGE＝MN/MG＝√10/10</p> <p class="ql-block">方法三:选点D作垂直</p><p class="ql-block">作DM⊥EG于M</p><p class="ql-block">在Rt△DEM中，∠DEM＝45º</p><p class="ql-block">可求DM＝√2/2</p><p class="ql-block">因此sin∠DGE＝DM/DG＝√10/10</p>