<p class="ql-block">如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=3,BC=2,点 D、E分别是 AC、AB上的动点,且 CD=AE,连接 DE.点F是 DE 中点,连接 AF,求AF的最小值.</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">环节一:构建中位线</p><p class="ql-block">延长CA至点G使AG＝AD，连接EG</p><p class="ql-block">易证EG＝2AF，AG+AE＝AB＝3</p> <p class="ql-block">环节二:作高构相似</p><p class="ql-block">作EM⊥AC，BN⊥AC</p><p class="ql-block">易证△AEM和△ABN相似</p><p class="ql-block">可得AE/AB＝AM/AN＝EM/BN</p><p class="ql-block">环节三:利用面积求BN</p><p class="ql-block">在Rt△ABH中，AH＝2√2</p><p class="ql-block">由S△ABC＝BC•AH/2＝BN•AC/2</p><p class="ql-block">则BN＝4√2/3</p><p class="ql-block">在Rt△ABN中，由勾股定理可得</p><p class="ql-block">AN＝7/3</p> <p class="ql-block">环节四:构建函数模型</p><p class="ql-block">设AE＝x，y＝EG²</p><p class="ql-block">则x/3＝BM/4/√2/3＝AM/7/3</p><p class="ql-block">BM＝2√2x/9，AM＝7x/9</p><p class="ql-block">在Rt△EGM中，由勾股定理可得</p><p class="ql-block">y＝(3-x+7x/9)²+32x²/81</p><p class="ql-block">＝4x²/9-4x/3+9＝4/9(x-3/2)²+8</p><p class="ql-block">当x＝3/2 时，y取最小值为8</p><p class="ql-block">则EG的最小值为2√2</p><p class="ql-block">因此AF的最小值为√2.</p>