<p class="ql-block">如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=3,BC=2,点 D、E分别是 AC、AB上的动点,且 CD=AE,连接 DE.点F是 DE 中点,连接 AF,求AF的最小值.</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">方法一:倍长AF至G，证点G在BC上</p><p class="ql-block">环节一:倍长AF构8字全等模型</p><p class="ql-block">延长AF至点G使FG＝AF，连接DG</p><p class="ql-block">易证△AFE和△GFD全等</p><p class="ql-block">可得DG∥AE，DG＝AE</p><p class="ql-block">环节二:利用等角证三点共线</p><p class="ql-block">由DG＝AE，AE＝CD，可得DG＝DC，则∠DCG＝∠DGC＝90º-1/2∠CDG</p><p class="ql-block">由AB＝AC可得∠ACB＝∠B＝90º-1/2∠BAC</p><p class="ql-block">由DG∥AE可得∠CDG＝∠BAC</p><p class="ql-block">则∠ACB＝∠ACG</p><p class="ql-block">因此点G在BC上即B、C、G三点共线</p><p class="ql-block">环节三:确定最值动点位置</p><p class="ql-block">作AM⊥BC，当点G与M重合时，AG取最小值，则AF取最小值</p><p class="ql-block">环节四:勾股定理求最值</p><p class="ql-block">在Rt△ABM中，由勾股定理可得</p><p class="ql-block">AG＝√AB²-BM²＝2√2</p><p class="ql-block">因此AF的最小值为√2.</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">方法二:作平行，证A、F、G三点共线</p><p class="ql-block">环节一:作平行构8字全等模型</p><p class="ql-block">作DG∥AB交BC于点G，连接FG</p><p class="ql-block">易证△AFE和△GFD全等</p><p class="ql-block">条件:AE＝DG，∠AEF＝∠FDG，EF＝DF</p><p class="ql-block">可得∠AFE＝∠DFG</p><p class="ql-block">证AE＝DG的方法:</p><p class="ql-block">由AB∥DG可得∠DGC＝∠B</p><p class="ql-block">由AB＝AC，∠B＝∠C</p><p class="ql-block">则∠DGC＝∠C可得DG＝CD</p><p class="ql-block">又AE＝CD</p><p class="ql-block">因此AE＝DG</p><p class="ql-block">环节二:利用平角证三点共线</p><p class="ql-block">由点F是DE中点，则∠AFD+∠AFE＝180º</p><p class="ql-block">又∠AFE＝∠DFG</p><p class="ql-block">可得∠AFD+∠DFG＝180º</p><p class="ql-block">因此点A、F、G三点共线</p><p class="ql-block">环节三:确定最值动点位置</p><p class="ql-block">作AM⊥BC，当点G与M重合时，AG取最小值，则AF取最小值</p><p class="ql-block">环节四:勾股定理求最值</p><p class="ql-block">在Rt△ABM中，由勾股定理可得</p><p class="ql-block">AG＝√AB²-BM²＝2√2</p><p class="ql-block">因此AF的最小值为√2.</p> <p class="ql-block">方法三:作平行四边形，证三点共线</p><p class="ql-block">环节一:构平行四边形</p><p class="ql-block">作DG∥AB交BC于点G，连接FG</p><p class="ql-block">由AB∥DG可得∠DGC＝∠B</p><p class="ql-block">由AB＝AC，∠B＝∠C</p><p class="ql-block">则∠DGC＝∠C可得DG＝CD</p><p class="ql-block">又AE＝CD则AE＝DG</p><p class="ql-block">因此四边形AEGD是平行四边形</p><p class="ql-block">环节二:利用对角线互相平分证共线</p><p class="ql-block">由点F是DE中点，则AG经过点F</p><p class="ql-block">因此点A、F、G三点共线</p><p class="ql-block">环节三:确定最值动点位置</p><p class="ql-block">作AM⊥BC，当点G与M重合时，AG取最小值，则AF取最小值</p><p class="ql-block">环节四:勾股定理求最值</p><p class="ql-block">在Rt△ABM中，由勾股定理可得</p><p class="ql-block">AG＝√AB²-BM²＝2√2</p><p class="ql-block">因此AF的最小值为√2.</p>