<p class="ql-block">如图，∠MAN＝α，点B、C分别在AM和AN上，把BC绕点B顺时针旋转(180-2α)º落在∠MAN的内部点D处，过点D作AM的垂线交AN于点E，过点D作AM的平行线交AN于点F，问EF与AC有怎样的数量关系？</p> <p class="ql-block">思维突破</p><p class="ql-block">怎样借助条件图形结构探寻AC和EF之间的关联是解决问题的关键.</p><p class="ql-block">1.由旋转可知等腰三角形的底角∠BCD＝∠A＝∠DFE＝α，直线AN上三等角可以想到一线三等角但是其位置不合乎模型，可作等腰三角形转化.</p><p class="ql-block">2.借助一线三等角相似模型对AC与DF与等腰三角形BC、DF建立联系再利用直角三角形利用三角函数进一步探寻BC、CD之间关系和EF、DF之间的关系</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">环节一:构建一线三等角</p><p class="ql-block">由BC＝BD，∠CBD＝180-2α</p><p class="ql-block">可得∠BCD＝α</p><p class="ql-block">由DF∥AM可证∠DFE＝∠A＝α</p><p class="ql-block">作DG＝DF交AN于点G</p><p class="ql-block">则∠AGD＝∠DFG＝∠A＝α</p><p class="ql-block">易证△ABC和△GCD相似</p><p class="ql-block">可得AC/GD＝BC/CD</p><p class="ql-block">则AC/DF＝BC/CD</p> <p class="ql-block">环节二:利用三角函数</p><p class="ql-block">作BH⊥CD于点H</p><p class="ql-block">在Rt△BCH中，CH＝BCsinα</p><p class="ql-block">则CD＝2BCsinα</p><p class="ql-block">在Rt△DEF中，DF＝EFsinα</p><p class="ql-block">则AC/EFsinα＝BC/2BCsinα</p><p class="ql-block">因此EF＝2AC</p>