<p class="ql-block">如图，在四边形ABCD中，AD</p><p class="ql-block">∥BC，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC＝90º，求BD/AC的值.</p> <p class="ql-block">思维突破</p><p class="ql-block">1.图中平行+角平分线结构，可以得到等腰三角形，其作用有二:①△ABC和△建立联系，②三线合一构成BD的倍分关系.</p><p class="ql-block">2.图中角平分线盒平行等所得等角构建相似三角形建立AC和BD之间的关系；也可以利用三个直角三角形建立AC和BD之间的关系.</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">方法一:利用相似三角形(割法)</p><p class="ql-block">环节一:证等腰三角形</p><p class="ql-block">由AD∥BC可得∠CAD＝∠ACB</p><p class="ql-block">由BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD</p><p class="ql-block">则∠ABD＝∠ADB可证AB＝AD</p><p class="ql-block">环节二:证共边相似</p><p class="ql-block">易证△ABC和△DCA相似</p><p class="ql-block">可得BC/AC＝AC/AD</p><p class="ql-block">则AC²＝AD•BC＝AB•BC</p> <p class="ql-block">环节三:围绕角平分线构相似</p><p class="ql-block">作AE⊥BD于点E，由AB＝AD</p><p class="ql-block">可证BE＝BD/2</p><p class="ql-block">可证△ABE和△DBC相似</p><p class="ql-block">可得AB/BD＝BE/BC</p><p class="ql-block">则BD•BE＝AB•BC</p><p class="ql-block">BD²＝2AB•BC＝AC²</p><p class="ql-block">因此BD/BC＝√2.</p> <p class="ql-block">方法二:利用相似三角形(补法)</p><p class="ql-block">环节一:证等腰三角形</p><p class="ql-block">由AD∥BC可得∠CAD＝∠ACB</p><p class="ql-block">由BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD</p><p class="ql-block">则∠ABD＝∠ADB可证AB＝AD</p><p class="ql-block">环节二:证共边相似</p><p class="ql-block">易证△ABC和△DCA相似</p><p class="ql-block">可得BC/AC＝AC/AD</p><p class="ql-block">则AC²＝AD•BC＝AB•BC</p> <p class="ql-block">环节三:围绕角平分线构相似</p><p class="ql-block">延长BC至点E，使CE＝BC</p><p class="ql-block">可证BE＝2BC</p><p class="ql-block">可证△ABD和△DBE相似</p><p class="ql-block">可得AB/BD＝BD/BE</p><p class="ql-block">则BD²＝2AB•BC＝AC²</p><p class="ql-block">因此BD/BC＝√2.</p> <p class="ql-block">方法三:利用勾股定理</p><p class="ql-block">环节一:证等腰三角形</p><p class="ql-block">由AD∥BC可得∠CAD＝∠ACB</p><p class="ql-block">由BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD</p><p class="ql-block">则∠ABD＝∠ADB可证AB＝AD</p><p class="ql-block">环节二:证共边相似</p><p class="ql-block">易证△ABC和△DCA相似</p><p class="ql-block">可得BC/AC＝AC/AD</p><p class="ql-block">则AC²＝AD•BC＝AB•BC</p> <p class="ql-block">环节三:连环三勾</p><p class="ql-block">在Rt△BDC中，可得BD²＝BC²+CD²</p><p class="ql-block">在Rt△ABC中，可得AC²＝BC²-AB²</p><p class="ql-block">在Rt△ADC中，可得CD²＝AC²-AD²</p><p class="ql-block">则BD²/AC²＝(BC²+CD²)/AC²＝(BC²+AC²-AD²)/AC²＝(BC²-AB²+AC²)/AC²＝2AC²/AC²＝2</p><p class="ql-block">因此BD/AC＝√2.</p><p class="ql-block"><br></p>