小学数学思维课堂 编辑 韩明法

双石

世上无难事,只要肯登攀

Nothing is too difficult if you put your heart into it

抓住孩子关键期，如何培养该子的数学兴趣，提高其分析问题、解决问题的思维能力，以及解题方法、技巧，这是摆在教师和孩子家长面前急须解决的问题。为帮助部分孩子家长排忧解难，笔者特开设思维课堂，以桑榆之微簿霞光。与家长共享😃。

类型（一）数形结合题

例1、已知：■＋■＋♟＝16（1），

■＋■＋■＋♟＋♟＝25，（2）·

求：■＝（），♟＝（）

方法：八字口诀：一看图形，二看数字，此题易用 “代入法”。

解：将（1）代入（2）式，

得 ■＋♟＋16＝25，

∴ ■＋♟＝9，（3）

把（3）代入（1），∴ ■＝7，，把■＝7

代入（3）所以，♟＝2

“Ты научился?”。（你学会了吗？）

“Ты лучший”‌。‌（你是最棒的！）

口诀：一看图形，二看数字😃

分析：此图是个三角形状。共有6个数，每条线上均有三个方框（共6个方框）。因为每条线上的三数之和为15，所以，有如下三种情况：

（1）3＋4＋8＝15；

（2）3＋5＋7＝15；

（3）4＋5＋6＝15。

找“公共点”！

由以上三式可以看出，数字 3、4、5 各出现了两次，所认它们必是每两条线的公共点，也就是说，3、4、5 分别在三角的顶点处，易知，每条线中间方框内依次填 8、7、6即可。

“Ты лучший”‌。‌（你是最棒的！）

Очень хорошо‌！（很好！）



分析：

（1）凡是数形结合的题目，口诀是：一看图形，二看数字，根椐题意列等式解之。

（2）找“公共点”

由图知：A与B分别是两条线的公共点，C不是公共点，所以先求B、A，后求C

解：由题意知：

A＋B＋8＝A＋3＋9，

即，B＋8＝12，所以，B＝4，

A＋3＋9＝9＋10＋4，

所以，A＝11

‌“один раз понять - во всем разобраться”（一次理解，处处明白）

例4 将1~9 填入O，使每个小三角顶点的三数和等于中间数。

分析：如图：三角内已给出的所有数中，最大的是9，最小的是3。因为从1~9的数中找3个数和为9的有好多种，如1＋2＋6＝9，1＋3＋5＝9，1＋4＋4＝9，……由于牵一发而动全身，所以不好确定，故，不能先填9周围的数。而三个数之和是3的，只有1＋1＋1＝3这一种情况，所以先要从最小的数3考虑。这就是“极限思维法”，先小后大😃😂。

由此，很快就知道 B＝D＝L＝1，

A＝5，C＝6，E＝4，

F＋N＝3，所以 H＝3，

进而知，F＝G＝1，

所以，N＝2，M＝4

Have you learned it?（你学会了吗？）

You're really great!（你真棒！）👍

例1 计箅： 74 × 75 × 76＝（）

分析：特点

（1）三个连续的数，即74＋1＝75

75＋1＝76；

（2）每一个数都可认写成两个数的积

思路一：

74×75×76＝（75－1）×75×（75＋1）

＝（75－1）×（75＋1）×75 结合律

＝（75²－1）×75

超范围，且不筒便😃不可行！

思路二

74×75×76

＝2×37×3×25×4×19 分解法

＝2×111×100×19 结合律

＝22200×（20－1） 遇9变整法

＝444000－22200 分配律

＝421800

😜哈哈我会了！

Очень хорошо‌！（很好！）

例3 速算 555 × 73 ＝ （ ）

方法：分解、拆分

解：555 × 73

＝555×（72＋1）拆分

＝555.72 ＋ 555

＝111×5×8×9＋555 分解，遇9变整

＝4440×（10－1）＋555 分配律

＝44400 －4440＋555

＝40515

例4 速算 125 × 25 ＝ （ ）

方法：折分法

解法一：

125 × 25

＝25 ×（100＋25）笫一次拆分

＝2500＋25 × 25 乘法分配律

＝2500＋25×（20＋5）第二次拆分

＝2500＋500＋125

＝3125

解法二：

125 × 25

＝125 ×（24＋1）拆分

＝125 × 24 ＋125 分解24，造8

＝125 × 8 × 3 ＋125

＝1000 × 3 ＋125

＝3125

例5 简算 666 × 667 ＝ （ ）

分析：

特点：两个相邻的数；

方法：拆分法（大数＝较小数＋1）

解：原式＝666×（666＋1）

＝666×666＋666

＝2 × 333 × 3 ×222 ＋666 造3成9

＝444 × 999 ＋666 遇9化整数减1

＝444 ×（100－1）＋666

＝444000－444＋666

＝444222

例6 25 × 35 × 45

分析：特点是，每个数都是5的倍数

方珐：分解各数，应用结合律，拆分法

解：原式＝5 × 5 ×5 × 7 × 5 ×9

＝25 × 25 × 63

＝25 × 25 ×（8×8－1）

＝（25×8）×（25×8）－25 × 25

＝200 × 200 －25 ×（20＋5）

＝40000－500－125

＝39375

练习题：用简便运算解下列各题

（1）333×728÷182；

（2）500 ÷ 125；

（3）101 × 43；

（4）4300 ÷ 86；

（5）135 × 92 ÷ 5 ÷ 46；

（6）480 ÷ 18；

（7）35 × 9 × 2；

（8）354 × 98。

分析：在九宫格中有两个重要的规律：

（1）幻和＝中间数 × 3 ；

（2）“黄金铁三角”：如下图，

顶角＝（底角数 ＋ 底角数）÷ 2

解：由题意知：3 × D＝ 30，所以D＝10

E ＝30－15－10＝5，

由黄金铁三角知，A＝（9＋5）÷ 2 ＝7

C＝（15＋9）÷ 2 ＝ 12

G＝30－12－5 ＝ 13

F＝30－9－13 ＝ 8

例2

分析：九宫格规则：横竖斜线上的三数之和都相等

解法一 ：“黄金铁三角法”，同例1，略。

解法二：“三缺一法”。

（1）先找突破口，即“哪条线上是三缺一？”显然是右边竖线的 ■ 处，且 ■ 又是中间横线与右边竖线的公共点，

所以，4 ＋ ♡ ＋ ■ ＝ 6 ＋ ■ ＋10

♡ ＝ 12

所认，每条线上的三数和为 12 × 3 ＝ 36

（2）再找第二个公共点，显然是 ★ 处，由斜线上的三缺一知：

★ ＋ 12 ＋10 ＝ 36，

所以，

★ ＝ 14。由此，可求出：

▲ ＝16，● ＝ 18，※ ＝ 8，■ ＝20

例3 如下图，巧填数字

分析：此图是中心为数字9的九宫图，由此可知各行各列，斜线上的三数之和为

3 × 9 ＝ 27，所以九宫格中全部数的和为27 × 3 ＝ 81。

这九个数可以是：（9居中间分别向左，右找4个数，且间距相等，9数之和为

81）。

（1） 5 6 7 8 9 10 11 12 13

序号： 一 二 三 四 五 六 七 八 九

（2） 1 3 5 7 9 11 13 15 17

序号： 一 二 三 四 五 六 七 八 九

解题方法： “口诀法”😃 口诀为：

二四为肩，六八为足，上九下一，

左七右三（这里的数皆指序号数）

这里关键是是找好从小到大的9个数，然后按上面的口诀就可填好空格，见下图。

巩固练习题😃😜

例题 1 如下图中，每条线上的三数之和都是29，在三个顶点处填上适当的数。

分析：29 × 3 ＝ 87，

在计算这个数之和时，上式把A，B，C都计算了两次，

所以，A＋ B＋C

＝（87－6－7－8）÷ 2

＝ 66 ÷ 2 ＝33

因为，A＋6＋B＝29，

所以，A＋B＝23，

从而，C＝33－23＝10，

所以，A＝29－10－7＝12，

B＝23－12＝11

例2 找规律填空

分析：竖列无规律，横向看，最上横行，4，19，5，三数的关系是：

4 × 5 － 1 ＝ 19，

中间横行三数的关系是：

9 × 3 － 1 ＝ 26，

所认，由上两行的规律，得底行中间数为，8 × 6 －1 ＝ 47

例6 在下面图中填入1~10，使每条线上的数之和为19

分析：

图中有5个公共数，共有10个数。

（1）所有数之和

＝1＋2＋3＋……＋9＋10＝55；

（2）5条线上的图和

＝5×19＝95；

这两个和的差为：95－55＝40

因为共公点A，B，C，D，E，处的公共数都计算了两次，

所以，A＋B＋C＋D＋E＝40；

40÷5＝8，所以，这五个公共数是：

6，7，8，9，10

又10与9不能在一条绒上（三数之和为

19），6与7不能在一条线上（6＋7＋6＝19，6与6重复不行）

所以，基于上述分析，易完成下图。

例7 把1~8 分别填入圆圈中，使正方形每条线和为12

分析：这是数图和差问题。

数和＝1＋2＋3……＋7＋8＝36；

图和＝4×12＝48；

和差：48 － 36 ＝ 12；

因为4个公共点处都计算了两次，

所以，A＋B＋C＋D＝12

12 ÷ 4 ＝ 3

又，1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 6 ＝ 12，

所以，1，2，3，6 这6个数在正方形的顶点A，B，C，D处。

因为6与3不能共线，1与2也不能共线，

所以，6与3，1与2分别在而条对角顶点处，由此，可填滿全图，见下面分析图。

例 2、巧解四阶幻方，填数，使下图中横竖对角线的四数之和相等。

分析：因为各区块的和等于幻和，所认，幻和＝16＋4＋1＋13＝34，

由此可先求出对角线顶点A处的数是10，再分别求出B，C，D，E，F，G，H处的数，完成此图。

例3 在下图中填数，使横竖两条对角线上的数和相等。

分析：此題应用的规律是：

（1）对角区方向相反（如图两黑线），斜线两数和相等；

（2）对角区方向相同（如图中两红箭头），斜线两数之差相等。

解：由规律（1），A十7＝5＋3，

所以，A＝1，由规律（2）知，

13－B＝6－4，所以，B＝11，

由此知：幻和＝4＋6＋11＋13＝34。

因为横，竖，对角线上的数和都相等，

是34，故，易求M＝10，C＝12，D＝2，E＝9，F＝15，G＝14，完成此图。

例 4 在下图中填数，使横、竖、对角线上的四数和都相等。

分析：此题应用的规律：

（1）左右相邻区，位置相反的横行上两数之和相等；

（2）对角区方向相仪，斜线上的两数之和相等。

解：如下图，

由规律（1），因为左右相邻区位置相反的横行上两数和相等，

所以，A＋9＝1＋15，A＝7。

又由规律（2），对角区方向相反

（见图中黑线段），斜线上的两数和相等知，1＋B＝2＋5，所以，B＝6，

所以，幻和＝6＋7＋10＋11＝34，

又横竖斜线上的四数和都相等，易求，

C＝14，D＝4，E＝14，F＝12，G＝8

H＝13，M＝3，完成此图。



例5 在下图填数，使横竖对角线上的4数之和都相等。

分析，此题应用的规律是：

上下相邻下区，位置相反的竖列两数和相等。

解：因为上下相邻区，位置相反的竖列两数和相等，

所以，A＋9＝13＋3，A＝7

因为，9＋7＋B＋C＝13＋C＋8＋1

即，16＋B＝22，所认，B＝6

所以，幻和＝6＋10＋7＋11＝34

C＝34－9－6－7＝12，

其它空格易求，略😃😃

例 6、★★★★★

在下图中填数，使横竖对角线上的四数和都相等。

分析：这是一道综合性较大的题目。解决此题除了要用前几个例题中的规律外，还要用到如下新发现的规律：

“跨四格的等腰梯形，上下两角数和相等”

解：如下分析图，

（1）因为，跨四格等腰梯形中，上下两角数和相等，所以，A＋4＝2＋5，由此，A＝3；

（2）因为左右相邻区，位置相反的横行上两数和相等，所以，B＋6＝8＋15，

由此得，B＝17；

（3）因为上下相邻区，位置相反的竖列上两数和相竽，所以，9＋C＝3＋17，

由此得，C＝11；

（4）因为对角区，方向相同的斜线上的两数差相等（见分析图里黑色线），

所认，D－11＝8－5，由此得，D＝14

（5）对角线上的数和，即

幻和＝14＋11＋8＋5＝38，

进而易求其它空格内的数，如图所示。😃😄

例7 ★★

在下图中填数，使横竖对角线上的四数和相等。

分析，此题除了应用前面讲过的规律外，还要用到一个新规律：

“跨过中心两格等腰梯形，上下两角数和相等”（见下面的分析图红线标示部分）

解：（1）因为跨过中心两格等腰梯形的上下角和相等，所以，4＋A＝12＋2，

由此得，A＝10；

（2）因为左右相邻区，位置相反横行上两数和相等，所以，B＋1＝10＋5，

由此得，B＝14；

（3）因为上下相邻区，位置相反的竖列上两数和相等，所以，C＋6＝14＋4，

由此得，C＝12；D＋2＝10＋8，所以，D＝16，幻和＝6＋9＋3＋16＝34，

由此，易求其它空格内的数（略）



例 8 在下图中填数，使横行、竖列、对角线上四数之和都相等。

分析：

在十六宫格中，有这样一个规律：

若对角线上三数是“等差数列”，那么此对角线上的数就是等差数列。

解：因为左右相邻区，位置相反的横行两数之和相等，

所认，A＋14＝16＋5，A＝7

因为，对角线上的三数：13，10，7是等差数列，即13－10＝10－7＝3，

所以，13－10＝10－7＝7－B，

从而，B＝4

所认，幻和＝13＋10＋7＋4＝34，

从而易求其它空格内的数（此处略）。

巩固练习题

例2、在下图中填数，使每行，每列及对角线上的5数之和都相等。

分析：

五阶幻方规律一：

“内宫乘号中的5个数的和等于幻和”

应用此规律知，

幻和＝8＋12＋1＋20＋24＝65，

所以，

A＝65－（8＋1＋24＋17）＝15 ；

B＝65－（20＋7＋24＋11）＝3；

利用”5缺1”，易求余下空格数。见下分析图。

例3、在下图中填数，使每行，每列及对角线上的5个数之和都相等。

规律二：“外宫乘号”5数之和等于幻和。

分析：由此规律知：

幻和＝10＋18＋21＋4＋12＝65；

所以，

A＝65－（4＋8＋25＋12）＝16；

B＝65－（10＋21＋19＋12）＝3；

C＝65－（22＋3＋9＋16）＝15；

又因为“内宫乘号5数之和等于幻和”，

所以，

D＝65－（3＋21＋15＋19）＝7；

佘下空格内的数易求，忽下图。

例4、在下图中填数，使每行，每列及对角线上的5个数之和都相等。

规律三：内宫加号五数之和等于幻和。

分析：由此规律知：

幻和＝11＋5＋17＋9＋23＝65；

由此，得

A＝65－（10＋11＋17＋23）＝4；

B＝65－（25＋12＋4＋16）＝8；

由“外宫乘号5数之和等于幻号”得

C＝65－（1＋17＋25＋8）＝14；

余下空格內的数易求，见下图。

例5 在下图中填数，使每行，每列及对角线上的五数之和都相等。

规律四；外宫加号五数之和等于幻和。

分析：由此规律，得

幻和＝18＋21＋5＋9＋12＝65；

A＝65－（18＋24＋5＋12）＝6；

B＝65－（7＋24＋11＋3）＝20；

C＝65－（7＋5＋23＋16）＝14；

D＝65－（3＋9＋15＋16）＝22；

E＝65－（14＋1＋18＋22）＝10；

又因为，内宫乘号五数之和等于幻和，

所以，

F＝65－（7＋11＋5＋23）＝19；

余下空格内的数易求，见下图。

例6、在下图中填数，使每行，每列及对角线上的五数之和都相等。

规律：内宫和外宫构成菱形，内外宫两条对角线和相等。

分析：虫此规律，下图中，

A＋13＝3＋11，所以，A＝1，

幻和＝22＋14＋1＋18＋10＝65；

B＝65－（1＋7＋13＋19）＝25；

C＝65－（8＋25＋12＋4）＝16；

D＝65－（16＋22＋3＋15）＝9；

E＝65－（4＋18＋7＋15）＝21；

F＝65－（8＋14＋21＋2）＝20；

G＝65－（3＋20＋7＋11）＝24；

又因为，内宫乘号5数之和等于幻和，

所以，

H＝65－（14＋18＋7＋21）＝5

余下易求，见下图。



例7 在下图中填数，使每行，每列及对角线上的5数之和都相等。

规律六：如果对角线上相邻的三数是等差数列，那么这条对角线上的数是等差数列。

分析：

因为，13，14，15是等差数列，

所以，14－13＝13－A，A＝12；B＝11

幻和＝11＋12＋13＋14＋15＝65；

因为，内宫乘号上的五数之和等于幻号，所以，

C＝65－（12＋8＋13＋14）＝18；

又因为，内外宫构成菱形，内处宫两条对角线数和相等，

所以，D＋1＝17＋9、D＝25；

E＝65－（24＋12＋18＋6）＝5；

F＝65－（17＋5＋13＋9）＝21；

G＝65－（20＋8＋21＋14）＝2；

H＝65－（10＋18＋1＋14）＝22；

又因为，18－13＝13－8，

所以，13－8＝8－M，M＝3

余下空格内的数易求，见分析图。