初中数学五日一题1(1--10)解法与解析集锦

海阔天空

文字:海阔天空

题目:主要源于绩优学案同步练习册

我的两个初衷

自从2024年9月1日开学起，九年制义务教育阶段的一、七年级同时开始使用新教材。我的大孙女也正好进入七年级，这让我毫无疑问的在关注着她的学习动向，特别是数学这一学科。

本级学生数学科统一使用的是名为绩优学案的同步练习册，这应该是小学阶段的学习与评价改了个名称。虽然我没有也没必要给她经常性的辅导，但我始终会一如既往的坚持一个做法，就是我手头同时具有跟她同步的教材和同步练习册，而且在一题不漏和不厌其烦的过目、钻研、理解。如果她随时需要，我一定会让她满意，这就是我的第一初衷。

我有一个深刻的感觉，现在七年级的同步练习册上有相当数量的题目从难度和跨度上都不亚于十年前八、九年级的题目。我虽为一名退休数学教师，但这好多题目都让我完全是一种新的感觉，更需有新的认知。幸亏本人酷爱数学，否则这个做法难以坚持下去。

数学同步练习册上有一些题目很有趣味性和代表性，但资料上提供的答案往往是避重就轻，只有结果而没有过程或是解析过程过于简略。有些题目很有必要深钻细研、深刻挖掘，但即是通过网上查询也总难让人感到满意，所以有的题目会让我通过多时甚至数日才能琢磨到毫不含糊的程度。这正是我将要系列分享“五日一题解法与解析集锦”的主要原由。

借用网络与人为善，为有志向的优秀学子们突破高难度题目寻求正确解题思路提供参考、借鉴和方便，这是我的第二初衷。目的在于帮助优秀学子们提升逻辑思维能力和提高分析和解决问题的能力。及早瞄准中、高考中20%的压轴题。本人做为一名退休教师，若能对任何学子有一丝帮助，那将是我晚年生活的最大欣慰。

几点说明

1.五日一题集锦题目主要来源于❶绩优学案中能力提升题、素养拓展题等栏目；❷教材中单元习题和复习题中问题解决、联系拓广等栏目；❸各单元测评卷中个别精选题目；❹寒暑假作业中让我留有标记的题目；❺我孙女测试卷上出现过被我看中的题目。

2.我对选入的题目原则上保证题意分析、详解过程、解后反思这三步走，但个别题目例外，要么只有题意分析，要么只有解答过程，要么答案就在题意分析中，题意分析中重在谈讨问题的转化方法和途径，探究难点突破的巧思妙解。解后反思既是对题意分析的补充，又是自我感悟的分享。

3.本人对题目三步走篇幅偏大其实是有意而为，这主要是让每一位有可能阅读者都能轻松读懂，便于理解和借鉴。

　　2024年9月20日题

1.小明学习了“面动成体”之后，他用了一个边长分别为3㎝、4㎝、5㎝的直角三角形，绕其中一边所在直线旋转一周，得到了一个几何体。

⑴请画出可能得到的几何体简图；

⑵分别计算出这些几何体的体积。(圆锥体积=⅓πr²h，结果保留π)

(绩优学案七年级数学上册p5页第二课时“立体图形的构成”素养拓展题)

题意分析:

1.本题是一个“面动成体”后得到几何体的实际例子。应分三种情况画图和计算。

2.分别绕以两条直角边所在直线旋转得到的几何体是两个圆锥；而绕以斜边所在直线旋转得到几何体应是同一个圆为底面的两个圆锥的拼合体。体积自然是两个圆锥体积的和。

详解过程:

⑴几何简图画法如下:

⑵计算几何体体积如下:

解后反思:

1.本题所画几何体简图是分别以短直角边、长直角边、斜边所在直线为轴旋转而得。

2.由三个体积计算结果可知，旋转轴所在边越短，几何体体积越大，这个结论可用于直接得到有关这类选择题的答案。

3.两个圆锥拼合体的高其实就是两个圆锥的高之和。

　　2024年9月25日题

2.在图1-2-1-10①中，A为正方体的顶点，在另一顶点B处有一昆虫。图②、图③是正方体的两种不同展开图，根据A，B位置特点，请你在图②、图③中分别标出昆虫的位置B。(绩优学案七年级上册第一章“丰富的图形世界”2.从立体图形到平面图形第一课时正方体的展开与折叠“素养拓展”8题)

题意分析:

1.本题是一个从立体图形到平面图形，正方体的展开与折叠的一个典型题目。

2.正方体中有上、下、左、右、前、后共6个面，每一个面都有一个相对的面和四个相邻的面。

3.图①中的A点是左、前、下三个面的三条棱的公共端点；B点是右、后、上三个面中三条棱的公共端点。有了这样的认知就不难在平面展开图中找到B点。

4.怎样能准确的在展开图中标注“上、下、左、右、前、后”这些字便是本题的关键。

解析与标注过程:

1.∵在图②中，点A是左、前、下三个面的三条棱的公共端点。

∴B点应是右、后、上三个面的三条棱的公共端点(如图②点B)

∵图③中A点是左、后、下三面的公同顶点。

∴点B应是右、前、上三面的公共顶点(如图③中点B)

解后反思:

1.在正方体的展开图中用文字标注，辩别面与面的位置关系，一般是先标出下面，再继续思考。这实际上是把下面作为参照物在思考问题的。

2.这类问题无非就是利用对边关系或邻边关系通过思考推想解决问题的。

3.正方体中任何一个顶点都可以说成哪三个面的公共顶点(或哪三个面所在棱的公共端点)。

　　2024年9月30日题

3.由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，正视图和左视图如图所示，其最下层放置了9个小立方块，那么这个几何体的搭法共有 ( c )(绩优学案七年级上册第一章“丰富的图形世界”2.从立体图形到平面图形第4课时从三个方向看物体的形状专题一.由形状判断几何体2题)

题意分析:

1.仔细观察这个几何体的主视图和左视图及题目中信息，可以想到它的俯视图为一个九宫格。

2.这9个格子的位置可以用左前、左后、右前、右后、左中、右中、前中、后中、中中来称谓；也可用1--9这些序号标注出来。(如下图所示)

3.九宫格中每一排又可用前行、中行、后行、左列、中列、右列来称谓。

4.本题中所搭几何体要同时满足❶前看“三、二、四”；❷左看“二、三、四”；❸最下层9个；❹总共16个。

5.仔细琢磨三视图，3个重叠只能在“左中”位置、4个重叠只能在“前右”位置，2个重叠在中列和后行至少有一个。如下图所示:这个2既在中列又在后行(一星管二)，其余位置均为1个。到此为止这个几何体中已有15个小正方体，再差1个小正方体就满足所有条件了(如下图所示)。

10种搭法如下:

1.在上图中后中位置上的2个重叠不变的情况下，在最下层为1的六个位置上均可再搭1个小正方体，这便是6种搭法。

2.若把后中位置上的2变在后左上去，那么前中和中中这两个位置也可再搭1个小正方体，这又是两种搭法。

3.若把后左上的2再变到后右上去，又有搭上前中和中中两种搭法。

4.一共有6+2+2=10种搭法。

解后反思:

1.本题所搭几何体10种情况中无论哪一种都是是一个4、一个3、两个2、5个1，总数为4+3+2×2+1×5=16个。

2.其中的4个重叠、3个重叠位置固定不变，而同时出现的两个2因所在位置不同而出现10种情况。

3.无论哪种情况，必须保证中列和后行中每行至少有一个位置是两个重叠，这样才能一致符合正看“三、二、四”，左看“二、三、四”中的“二”的位置要求。

4.本题中10中搭法上面只是说明了思路，并未把10个九宫格全部列出，原因是全部列出，如果思路不清晰，反倒把眼睛都看花了还不知道咋来的。

　　2024年10月5日题

4.将正方体的表面沿某棱剪开，展开成一个平面图，你剪开了几条棱？与同伴进行交流，你们结果是否一致？(七年级数学上册第一章第2单元从立体图形到平面图形p17页13题)

题意分析和推算方法:

1.正方体或其它的立体图形都有可能沿着某些棱剪开，展开成一个平面图形。在一些产品加工前都要进行精心的设计和计算，其实往往还是先把平面图形进行切割又制成需要的立体图形的。

2.要回答本题中的问题，首先应明白正方体共有6个面、8个顶点、12条棱。在正方体中任何一条棱都可以把两个平面连在一起。

3.在正方体的平面展开图中，6个面一定有5条棱连在一起，所以剪掉的棱一定是12-(6-1)=7条。

4.从另一角度思考，从展开平面图上，把所有正方形中没有相连的边数数清楚除以2所得结果就是展开前需要剪的条数。

5.综上可知，几何体图形展开时需要剪多少条棱都可用此方法推算出或数出。比如五棱柱要通过剪棱展开时，要剪15-(7-1)=8条。六棱柱要通过剪棱展开时，要剪18-(8-1)=11条。

6.另外立方体中:面的个数+顶点个数-棱的条数=2。

7.上述结论往往用于选择或填空题，第6点也可用于有关题目中列方程时的等量关系。

　　2024年10月10日题

5.如图2-1-3-7，点A、B在数轴上对应的数是-1、2，若有一点C，满足AC=2AB，求点C对应的数，并在数轴上表示出点C。(由绩优学案七年级上册第二章“有理数及其运算”.1.认识有理数.第3课时数轴.p25页能力提升题10题改编)

题意分析:

1.关于数轴的知识最有分量的一个知识点就是:一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m-n或n-m的绝对值，这个结论可当作一个公式用。❶已知两个点对应的数求出两点间的距离；❷已知一个点对应的数和两点之间的距离，求另一点对应的数。

2.本题就是上述第二种，其实要解决本题应有两种方法，一是通过仔细观察直接得到点C在数轴上的坐标(点C对应的数)；二是用数轴上两点距离公式计算。

详解过程:

解后反思:

1.本题包括了求数轴上点的坐标和绝对值公式的应用这两个知识点。是有理数及其运算这一章必须应掌握的题型。

2.其实本题通过观察也可得出同样的结论，不过这个方法只能是填空题或选择题才能直接应用。

3.两数之差的绝对值就是这两数在数轴上对应点之间的距离。

　　2024年10月15日题

6.设n是正整数，则n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0。应用上述结论，在数1，2，3…，2021前分别添加“+”和“-”，并运算，则所有可能的结果中最小非负结果是__。(绩优学案七年级上册第二章“有理数及其运算”.2有理数的加减运算.第5课时有理数加减运算的应用.p38页能力提升题1)

题意分析:

1.本题首先应明白四个连续数的表示方法，n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这个结论意思是，四个连续正整数按照+、-、-、+这个顺序添加(第一个“+”已省掉了)运算结果为0。若按-、+、+、-这个顺序添加运算结果仍等于0。

2.如果按照“+、-、+、-”或“-、+、-、+”这样顺序添加，运算结果应为+n-(n+1)+(n+2)-(n+3)=-2和-n+(n+1)-(n+2)+(n+3)=2。本题也完全可以按照这个结论提出问题让你解答。

3.以上四种情况实际上就是四个整数运算结果分别为:①(-1)+(+1)=0.②(+1)+(-1)=0.③(-1)+(-1)=-2.④(+1)+(+1)=2.

4.原题中“则所有可能的结果中最小非负结果是▁▁”意思是:因为2021÷4=505…1，这说明在2021个正整数中，有505组四个连续正整数，每组运算结果都是0。这个余数可以是最前边的1，也可以是最后边的2021，还可以是每隔四个数后面的5或9或13或17……(所有4的倍数加1的数)总共有505+1=506个可能的结果。

解答过程:

解:∵2021÷4=505……1

∴除了最前面的1，后面所有数可依次分为505组四个连续正整数，每组按+、-、-、+添在每组数的前面，计算结果是505个0相加还得0，最终结果为1+0=1，∴本题答案为1。

解后反思:

1.若设n为正整数，则n+1、n+2、n+3可表示它的三个连续正整数，依次类推。这样的四个连续正整数总可以按一定顺序添上“+”和“-”，运算结果可以是0，也可以是2或-2。

2.本题原题中给出的结论等式实际上就是为了利用互为相反数的两数和为0，在四个连续正整数前有规律的添加“+”和“-”，有意识的得到+1和-1这样的两数之和为0。

3.本题中分析过程和解答过程其实都是一些心理活动，我这里有意增大篇幅是为了容易读懂。

　　2024年10月20日题

7.(我孙女单元测试卷上的题目)

题意分析:

1.本题要求的是X-3的绝对值与X+2的绝对值的和，并要说明X在-2＜X＜3时，即无论X在-2与3之间怎样变化，原式的值都不变的理由。

2.若把-2和3在数轴上分别用点A、点B表示出来，再设点p为-2与3之间的一个动点，那么必有AP+BP=AB

详解过程:

解后反思:

1.这个题目得出一个结论，凡是本题形式的绝对值计算问题，就不需要逐个考虑了，只要把绝对值符号里的(X+常数)先变成X-常数，直接用两个常数一个减另一个再取绝对值就可以了。

2.用上面结论可直接计算下面各式的值:

　　2024年10月25日题

8.(绩优学案七年级上册第二章“有理数及其运算”3.有理数的乘法运算.第3课时有理数的除法法则及运算.p45页素养拓展11题)

题意分析:

1.本题特殊方法是先求原式的倒数，再直接得到原式的值。

2.本题一般方法也需掌握，关键是通分和找最简公分母。

两种解法如下:

解后反思:

1.本题从表面上看用特殊方法先求原式的倒数再得原式的值可简化原题。其实不然，只要会熟练的找到最简公分母，再能合理的书写表达常规方法并不比特殊方法复杂。

2.找最简公分母的方法是一个最基本的要求必须烂熟于心，进行分数除法才能得心应手。下面是用短除法找本题中最简公分母(最小公倍数)的方法。

3.无论哪种运算都需把握繁简度，该省的步骤一定要省掉，特别需要做好解后反思，尽可能的让运算步骤恰到好处，千万避免小题大做。

　　2024年10月30日题

9.(绩优学案七年级上册第二章“有理数及其运算”3.有理数的乘法运算.第2课时有理数乘运算律.p42页素养拓展9题)

解法如下:

题意分析:

1.本题作法不难理解，就是把每个1都按通分需要化成分子分母相同的分数，通过同分母减法得出所有的负分数。

2.容易看出每个分数的分子与下一个分数的分母相同，依次约分后最终剩下第一个分母2018和最后一个分子1009组成的分数，再约分可得1/2。

3.但本题最关键的是负因数的个数到底是奇数还是偶数，这个问题解决了，才能确定最后结果的符号。下面用一个类似的例子但分数个数少得多的负因数个数的直观的确定方法。

4.由上面例子可知:负因数的个数为4。而这个4又恰好等于最后这个分数的分母减去分子，即10-6=4。那么回到原题最终得到的分数，负因数的个数应该是2018-1009=1009，这是个奇数，所以分数的符号为“-”。

解后反思:

1.对于本题这样的跨度很大，但是用了省略号的题目，要确定它的个数不很直观时，往往用上面的方法，即设计一个类似的有限个数得例子得到正确的结论。

2.这个方法叫做类比，通过类比由简例得到繁题的结论。

　　2024年11月5日题

10.(绩优学案七年级上册第二章“有理数及其运算”2.有理数的加减运算.第4课时有理数加减算(代数和).p35页素养拓展10题)

题意分析:

1.本题由题意可知3+a+b=a+b+c=b+c+(-1)，但到此为止并不是要利用这些等式计算出a、b、c。而是要按①②③这个顺序三个数循环重复，并利用已知数3、-1、2所在位置得到a、b、c的值。

2.在循环过程中3和c都在①的位置上，所以c=3；a和-1都在②的位置上，所以a=-1；b和2都在③的位置上，所以b=2。

3.有了a、b、c的值可以验证最初所列出的三数相加的连等式是正确的，而且都等于4，这说明了这个表格的循环节就是3、-1、2。有了循环节的个数和位次，本题问题就迎刃而解了。

解答过程:

解:由上面分析和表格下的数据可知:循环节为3、-1、2，循环节个数为3。

∵2021÷3=673……2。这说明共有673个循环节余数为2。

∴2021个数是下一个循环节的第二个数-1。

解后反思:

本题从左到右的每个小格子所填整数规律是:❶按3、-1、2循环出现直至第2021个数；❷无论从中取哪三个连续数加起来都等于4固定不变。

初中数学五日一题(1)(1--10)解法与解析集锦到此结束，后续初中数学五日一题(2)(2--20)将另文发表，欢迎光临和关注！