数学核心概念的特征及提炼

诗与远方

引言 　　数学学科知识组成一个完整的、纵横联结的知识网络。但学科逻辑不等同于学习逻辑，为了教学需要，教师将知识切分、加工、处理后传递给学生，这样做在一定程度上导致学生形成不完满的认知结构，很难把各学期所学视为一个整体并前后贯通，在后来的学习中逐渐遗忘掉某些浮于表层的、不连贯的知识。所以，教师的一个主要任务就是帮助、引导学生将这些散落的知识“拾”起来、“串”起来，把知识串联的道理讲清楚，促进学生的思维横向和纵向发展。2022年版课标的重要理念之一就是“内容结构化”，通过课程内容的结构化整合，体现学习内容之间的关联，继而让学生形成相互关联、前后贯通的认知结构。没有数学概念就没有完整的数学知识结构，其中核心概念是在学生知识网络中起决定作用的主概念，是学生在学习过程中获得相关知识、能力的关键。所以，抓准在小学学习的众多零散概念中的核心概念，可帮助学生更好地把握数学知识之间的联系脉络，以知识的结构化实现学生认知结构的内化，从而实现知识与方法的迁移。 一、核心概念的内涵 　　数学概念反映了现实世界的空间形式和数量关系的本质属性，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是进行数学思维、交流的工具。在小学学习的众多概念大致可以分为两类：一类是占据主导地位的核心概念，另一类是由核心概念生长出的一般概念。 核心概念是位于学科中心的概念性知识，包括重要概念、原理、理论等的基本解释，具有基础性、生长性、本质性、联系性、科学性和丰富性等特征。这些少而精的核心概念本质上体现了数学学科的基本思想，反映了数学内容的本质特征及数学思维方式。核心概念在整个知识体系中具有统领性及较强的迁移性，处于知识结构的关键节点，蕴含数学学科中基础、重要的观念与方法，不仅是学科结构的主干部分，而且对构建学科知识网络具有重要意义。若以核心概念为线索进行教学，可使前后内容连贯，打通数学学科知识内部的隔断墙，使学生的认知结构成为有机整体，使学生学习到的知识具备长久生命力。例如，以数位为核心概念，可联系整数、小数、分数的基本性质与运算。 二、核心概念的特征 　　教师只有清晰把握核心概念的基本特征，才能找到每节课知识的生长点，从而选取适当的核心概念作为主线，将知识串联起来，使学生形成良好的认知结构。 1.基础性和生长性 　　为了使小学数学知识组成一个纵横交错、主次分明的知识网络，在梳理知识的过程中，要找准奠基性概念及由其生长出的从属知识。在数学知识体系中，有些概念处于核心地位，其他概念均是由其生成的，或与其存在密切的联系，我们称这些概念为核心概念或本源概念，所以，数学核心概念具有区别于一般概念的基础性和生长性等特点。以和的概念为例。当学生面对2个或2个以上相同加数时，要从和入手理解乘法的意义。当比较2个不相等的数时，由和生长出同样大和差的概念：较大数是与较小数同样大的数与第三个数（差）的和，这里的差相当于较大数比较小数多出的那部分。当差与较小数同样大时，即出现倍这一概念：当较大数里正好包含多个与较小数同样大的数时，较小数为1倍数，较大数是较小数的几倍。反过来，若以较大数为1份，则较小数是较大数的几分之一。综上所述，和的基础性体现在为“数与代数”领域其他知识的后续学习打好基础，生长性则体现在学生以和的概念为中心，可以认识、理解其他知识。 基础性和生长性在数学思想与方法上有更明显的表现。例如，整数、小数及分数的四则运算均是以计数单位为核心，本质是计数单位的累加或递减的迁移过程，是迁移类比思想的巧妙运用；函数中所蕴含的自变量与因变量之间的一一对应思想，为今后各类函数的学习奠定基础。 基于此，教师要树立整体观和结构观，对要教授的内容做系统分析，追根溯源，退回到上一层级的概念或本源的概念，帮助学生构建知识网络，让概念内化于心，达到纲举目张的效果。 2.本质性和联系性 　　核心概念是该学科该领域中的本质知识，是在部分知识遗忘后仍可以运用的知识，是通过适当的逻辑推理依然可解决问题的本源知识，是经得起时间考验在整个概念体系中不可或缺的核心知识。例如，以数位与计数单位为核心，通过1个1个地数认识个位，学习10以内数的认识与计算；通过10个10个地数认识十位，学习100以内数的认识；通过100个100个地数认识百位，进一步开始多位数的学习。在此过程中，学生从个到十，再到百、千、万，深刻理解“1个代表多个”，为之后学习更大数的认识，理解整数的计数体系打下基础。在整个学习过程中，学生从初步感知位值，并以十为计数单位进行计数开始，到使用两个计数单位计数，再到灵活选用不同计数单位计数，学会分级表示大数，此过程是运用少量的符号表示数，最后通过不同排列表示不同的数，其核心原理是数字在不同的位置表示不同的数值，即数位与计数单位这两个核心概念。同时，位值制思想使得计数走向了真正的抽象。所以学生把握了基本、本质的概念后，再去学习新内容时，会有“新而不新，寓新于旧”的感受。 所以数学概念不是独立存在的，我们往往需要用旧概念帮助学生建构新概念的意义。通过一个抽象概括水平比较高的核心概念将其他概念组织和联系起来，形成知识体系。比如，学生学习退位减法时，教师可有目的地创设情境，如“左边有1捆青菜（10棵），右边有3棵青菜，如果从中拿4棵青菜，可以怎么拿？哪种方法更简便”，以此引发学生产生从1捆（10棵）里拿的思路。接下来，通过利用小棒及数位筒进行实际操作，学生便对“破十法”的算理有了更深刻的理解。之后学习100以内的退位减法时，教师可再次呈现核心概念和及计数单位，这样就抓住了学生新知识和旧知识之间的联结点，以退为进，使学生形成对整数计算的概括化认识，从而建立触类旁通的知识结构。 3.科学性和丰富性 　　首先，核心概念反映的是一定学科范围内事物的本质特征，是对一类事物的共同特性做出的概括性规定。数学核心概念是人们对数量关系和空间形式的本质反映，其范围和对象是具有科学指向性的。其次，数学核心概念不是偶然产生的，有其存在的科学性意义，是数学学科不可或缺的元素。所以，在教学过程中，无论是讲解核心概念还是应用核心概念串联其他知识点，都要使数学基本思想、原理、方法相互渗透。 数学核心概念应是具备多层含义的基础性知识，其内涵与外延丰富，并且涉及丰富的下位概念。除此之外，其蕴含的思想与方法也具有极大的丰富性，可以说众多数学问题的解决也与数学核心概念联系在一起。比如：“小白兔的数量与小黑兔的数量之比是3∶4，小白兔与小黑兔共14只，请问：小白兔与小黑兔各有多少只？”学生可用多种方法解决，抓住“份—倍—比”基本概念的主线，基于基本概念进行知识的迁移，以核心概念为主线，发散思维，感悟迁移的数学思想，串联起一系列知识。 三、从倍到份：例谈核心概念的提炼 　　教材上的知识点是点状分布的，教师对教材的理解容易停留在表层，其教学设计一般是：呈现教材中给出的生活情境，引出知识点的讲解，然后教学例题和指导学生练习。学生在学习过程中多是模仿性学习，即模仿例题进行练习，缺乏有深度和有梯度的思考。比如，在教学“倍的认识”时，教师多采用概念同化的方式，即先给出倍的概念，或者让学生探索两个数之间的关系，如“说说6和2之间的关系”，此时学生基于“同样大”的旧经验，得出“以2为1份，6比2多2份，所以6是2的2倍”，可见学生的思维并不能自然地从整体过渡到部分，仍局限于部分与多出来的部分之间的关系。学生的思维发展是在教学中实现的，结构化的学习必然离不开教学内容的结构化安排，所以，教师在备课时不仅要深度研读本节课的教材，还要研读和梳理本册、本年级的内容，甚至要研读与该知识点相关的全部内容，围绕核心概念厘清知识脉络，基于学生的认知起点，选择合适的切入点，帮助学生形成结构化思维，从而思考新问题、学习新知识。 首先，从横向上看，“倍的认识”是人教版教材三年级上册的内容，该课按课型来说属于概念起始课。从概念形成过程来看，教材上依次呈现三种萝卜的数量，以胡萝卜的数量为标准量，引导学生描述胡萝卜与红萝卜、胡萝卜与白萝卜的数量之间的关系，如胡萝卜为2根，红萝卜为3个2根，再到圈出1份，数有几个1份，最后使用倍数描述数量关系，如白萝卜有5个2根，则白萝卜的根数是胡萝卜的5倍。通过“同样多—份—倍”这个层层递进的过程，帮助学生构建倍数模型。教师要灵活运用教材中构建倍数模型的步骤，深度挖掘概念份的本质属性和关键地位。 其次，从纵向的学习内容安排上看，在一年级，对两个数量的比较是基于同样多比较大小；到了二年级，学习相同的几份相加可以用乘法表示；到了三年级，对两个数量的比较则通过倍实现，并在中、高两个学段螺旋上升学习分数，通过分数表示两个数量或事物之间的关系；在六年级，则出现了用比表示任意两个数量或事物之间的关系。可见，从比多少到倍的认识，是绝对数量的比较到相对数量的比较，是学生认识上质的飞跃。它们的共同点在于利用一个量去说明另一个量；不同点是，关注的部分是不同的，比多少关注的是比同样多多出来的部分，而倍更多关注的是多倍量中有多少个1倍量，但是其背后都是份这个核心。诸多概念之间的关系如图1以份为核心的部分知识网络图所示。 　　最后，从认知结构的发展上看，小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构的基础上产生的高层次认知结构，它主要包括度量同构、度量的积和复合比例三种结构，其中倍的认识恰好属于乘法结构中的第一种——度量同构。倍起源于比较，对学生来说，倍的学习需要完成从加法结构到乘法结构的思维转变，而在转变过程中，由于新认知和旧认知差异较大，所以往往需要反复对原有认知结构进行调整和改造。所以，教学时要重心下移，回到加法结构，即份，反复体会几份是多少是由1份决定的，有几份就是有几个同样多的量，最终理解几份就是几倍，建立倍的数学模型。