心随思维伴云飞——一道中招试题的方法研究(5)

数学寻梦人

思维路径

思维方向:构建等边三角形，相似勾股方程建

方法一:过点A作BE的垂线

环节一证全等

易证△ABD和△BCE全等

条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE

可得∠BAD＝∠CBE

环节二:证∠AFE＝60º

由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE

则∠ ABF+∠BAD＝60º

因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角

环节三:构建等边三角形

在BC上截取CG＝CE

易证△CEG是等边三角形.

可得∠CGE＝60º，EG＝2

则∠BGE＝120º，BG＝4

环节四:证相似

易证△在ABF和△B EG相似

可得AF/BG＝BF/EG

则AF＝2BF

环节四:勾股定理构建方程模型

作AH⊥BE，设BF＝x，AF＝2x

在Rt△AFH中，∠AFH＝60º

则FH＝AF/2＝x，AH＝√3x

BH＝BF+FH＝2x

在Rt△ABH中，由勾股定理可得

(√3x)²+(2x)²＝36

解得x1＝6√7/7，x2＝-6√7/7(舍)

BF＝6√7/7， AF＝12√7/7

因此C△ABF＝6+18√7/7

方法二:过点B作AD的垂线

环节一证全等

易证△ABD和△BCE全等

条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE

可得∠BAD＝∠CBE

环节二:证∠AFE＝60º

由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE

则∠ ABF+∠BAD＝60º

因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角

环节三:构建等边三角形

在BC上截取CG＝CE

易证△CEG是等边三角形.

可得∠CGE＝60º，EG＝2

则∠BGE＝120º，BG＝4

环节四:证相似

易证△ABF和△BEG相似

可得AF/BG＝BF/EG

AF＝2BF

环节四:勾股定理构建方程模型

作BH⊥AD，设BF＝x，AF＝2x

在Rt△BFH中，∠BFH＝60º

则FH＝BF/2＝x/2，BH＝√3x/2

AH＝AF+FH＝5x/2

在Rt△ABH中，由勾股定理可得

(√3x/2)²+(5x/2)²＝36

解得x1＝6√7/7，x2＝-6√7/7(舍)

BF＝6√7/7， AF＝12√7/7

因此C△ABF＝6+18√7/7

心随思维伴云飞——一道中招试题的方法研究(4)