目标制定巧构建——三角形的面积最值问题

数学寻梦人

<p class="ql-block">如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD=4, BD=2DC,求S△ABC最大值.</p> <p class="ql-block">【思维突破】</p><p class="ql-block">1.面对障碍</p><p class="ql-block">结论求△ABC面积的最大值,已知线段是三等分线,既不是△ABC的边也不是高,似乎与面积毫无关联,没有点用.</p><p class="ql-block">你会说AD是△ACD的边,而且可以确定△ABC的面积是△ACD的3倍,</p><p class="ql-block">可是△ACD是一般的钝角三角形,高的最小值很难确定,条件∠BAC=90º也无法利用.</p><p class="ql-block">2.另辟蹊径</p><p class="ql-block">怎样把AD或AD倍分关系的线段转化为一个特殊三角形(直角三角形)的一边,利用边的特殊关系确定面积的最大值.</p><p class="ql-block">3.思维目标</p><p class="ql-block">怎样利用放缩转化把与AD或AD的倍分关系的线段构成直角三角形的一边,利用直角三角形的性质求最值.</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">方法一:延长构8字,几何方法求最值</p><p class="ql-block">环节一:构建8字相似模型</p><p class="ql-block">延长AD至点E,使DE=2,连接CE.</p><p class="ql-block">易证△ABD和△ECD相似</p><p class="ql-block">条件:AD/ED=BD/CD=2,∠ADB=∠CDE</p><p class="ql-block">可得∠AEC=∠BAE</p><p class="ql-block">环节二:证直角三角形</p><p class="ql-block">由∠BAE+∠CAE=90º,∠BAE=∠CEA</p><p class="ql-block">可得∠CAE+∠AEC=90º</p><p class="ql-block">因此∠ACE=90º</p><p class="ql-block">环节三:构建斜边中线</p><p class="ql-block">作AE中点F,连接CF</p><p class="ql-block">则CF= AE/2=3</p><p class="ql-block">环节四:利用垂线段最短</p><p class="ql-block">作CG⊥AE</p><p class="ql-block">则CG≤CF——垂线段最短</p><p class="ql-block">当点F、G重合时,CG取最大值3.</p><p class="ql-block">则S△ACD的最大值为6.</p><p class="ql-block">因此S△ABC的最大值为18.</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">方法二:延长构8字,代数方法求最值</p><p class="ql-block">环节一:构建8字相似模型</p><p class="ql-block">延长AD至点E,使DE=2,连接CE.</p><p class="ql-block">易证△ABD和△ECD相似</p><p class="ql-block">条件:AD/ED=BD/CD=2,∠ADB=∠CDE</p><p class="ql-block">可得∠AEC=∠BAE</p><p class="ql-block">环节二:证直角三角形</p><p class="ql-block">由∠BAE+∠CAE=90º,∠BAE=∠CEA</p><p class="ql-block">可得∠CAE+∠AEC=90º</p><p class="ql-block">因此∠ACE=90º</p><p class="ql-block">环节三:利用完全平方公式</p><p class="ql-block">设AC=a,CE=b</p><p class="ql-block">由勾股定理可得a²+b²=36</p><p class="ql-block">由(a-b)²≥0可得2ab≤36</p><p class="ql-block">当a=b时,ab的最大值为18</p><p class="ql-block">则S△ACE=ab/2的最大值为9.</p><p class="ql-block">因此S△ACD的最大值为6,S△ABC的最大值为18.</p> <p class="ql-block">方法三:平行构A字型,几何方法求最值</p><p class="ql-block">环节一:构建A字相似模型</p><p class="ql-block">作DE⊥AB,又∠BAC=90º</p><p class="ql-block">则DE∥AC</p><p class="ql-block">BE=2AE</p><p class="ql-block">S△ABD=3S△ADE</p><p class="ql-block">环节二:构建斜边中线</p><p class="ql-block">作AD中点F,连接EF</p><p class="ql-block">则EF= AD/2=2</p><p class="ql-block">环节四:利用垂线段最短</p><p class="ql-block">作EG⊥AD</p><p class="ql-block">则EG≤EF——垂线段最短</p><p class="ql-block">当点F、G重合时,EG取最大值2.</p><p class="ql-block">则S△AED的最大值为4.</p><p class="ql-block">S△ABD的最大值为12.</p><p class="ql-block">因此S△ABC的最大值为18.</p> <p class="ql-block">方法四:平行构A字型,代数方法求最值</p><p class="ql-block">环节一:构建A字相似模型</p><p class="ql-block">作DE⊥AB,又∠BAC=90º</p><p class="ql-block">则AE∥AC</p><p class="ql-block">可得BE=2AE</p><p class="ql-block">则S△ABD=3S△ADE</p><p class="ql-block">环节二:利用完全平方公式</p><p class="ql-block">设AC=a,CE=b</p><p class="ql-block">由勾股定理可得a²+b²=16</p><p class="ql-block">由(a-b)²≥0可得2ab≤16</p><p class="ql-block">当a=b时,ab的最大值为8</p><p class="ql-block">则S△ADE=ab/2的最大值为4.</p><p class="ql-block">因此S△ABD的最大值为12,S△ABC的最大值为18.</p>