<p class="ql-block"> “和（差）倍问题”，是人教版五年级数学上册第五单元列方程解决问题例9教学中的一个重要题型。相比较例7“比谁的几倍多（少）几”和例8“部分+部分=整体”类题目，本主题有一定难度。原因在于，在前两个例题中，题目条件中反映数量关系的描述单一。学生不需要筛选和权衡，就可以轻易找到列出等量关系式的题眼。而本节课所探究的例9，出现了不止一组的重要关系描述。因此，学生在理解的时候，势必会增加困难和干扰。</p> <p class="ql-block"> 课伊始，教师引导学生基于已有学习经验展开自主探究。巡视中发现，有多半学生面露为难神色。询问后得知，他们对五年级下册才学习的“表面积”一词含糊不清。由此，造成学生对题目中描述的一个隐形关系条件理解缺失。于是，教师借助教材插图并利用其他实物直观演示的方法突破该思维受阻点。继而，他们发现“地球表面积5.1亿平方千米”的潜台词是“地球陆地面积和海洋面积共5.1亿平方千米”。</p><p class="ql-block"> 接着，学生便开始后续的题目分析与理解探究。他们发现，本题目中关系句有两个:1.地球上陆地面积和海洋面积共5.1亿平方千米；2.海洋面积约为陆地面积的2.4倍。遇到两个关系表述句，该怎么办？不同的学生，思考路径各有方向。</p><p class="ql-block"> 方法1.依据关系句2。设陆地面积为x亿平方千米。直接表示出数量关系式:陆地面积+海洋面积=总面积；列方程为:x+2.4x=5.1。显然，这样的思考与教材提供的思考方法不谋而合。由此，不得不钦佩该类学生的卓越思考力。</p><p class="ql-block"> 方法2.依据关系句1。设陆地面积为x亿平方千米，则海洋面积为（5.1－x）亿平方千米。等量关系式可表示为，海洋面积÷陆地面积=2.4；列方程为，（5.1－x）÷x=2.4。也可以设海洋面积为x亿平方千米，则陆地面积为（5.1－x）亿平方千米。等量关系式是与上同，列式为:x÷（5.1－x）=2.4。仔细思考，学生利用本方法寻找到的等量关系和所列方程都是正确的。但就目前学生的解方程能力看，却存在着难以克服的困难。因此，在充分肯定该方法的积极思考价值后，还应唤起他们对未来数学（初中）学习的憧憬与向往。</p><p class="ql-block"> 方法3.兼容关系句1.2。</p> <p class="ql-block"> 在有些学生的数学学习中，只要教师基于充分的自由思考空间，他们的潜能就会热辣爆发。以上板书，来自张益瑄同学的思考。在同学们积极热烈分享以上两个方法以后，惟有他的右手依然高高举起，眼神坚定、有力，且自信满满。没想到，他竟然十分大胆地设出了x、y两个未知数，且一口气写出来两个等量关系式。教师启发全班同学尝试列方程，未果。他们一定是被这种始料未及的新挑战吓坏了。此时，只有杨振锋同学，双眼放光，跃跃欲试。</p> <p class="ql-block"> 当黑板上瞬间快捷呈现两个“另类”方程时，所有同学都呆住了。不一会儿，他们又十分好奇起来。这样并驾齐驱、结伴而来的方程，怎不使他们新奇?</p><p class="ql-block"> 继而，教师相机在两个方程左侧画出一个“｛”，引导同学们认识了“方程组”这个名字。方程组，也就是组合成一个小组的方程，它们含有两个未知数，也叫“二元一次方程组”。这个名字又是什么意思呢?到了初中以后，同学们会有机会学习求未知数方法的。</p><p class="ql-block"> 最后，教师引导学生回顾以上三种方法，并充分肯定每一种方法的数学道理。在全班同学的交流研讨中，一致认为当下方法1最适用。这也是教材例题中，力荐该方法的根本原因。</p><p class="ql-block"> 教学反思:如果说，用方程解决问题有一个通用的方法，那便是无论哪一种题目类型，其思考路径是一致的。1.阅读题目，整体感知；2.提炼关系句，锁定核心主体；3.设未知数，列方程；4.完整解答。无论难易程度如何，该方法是具有普适意义的。或许，学生基于关系句理解，所表达出的关系式各有不同，但凡合理，即为正确。或许，由此产生的方程各有不同，即便学生凭借当下学习能力无力解决，也不影响教师对其积极思考能力的充分肯定。或许，从已知向未知，再在新的已知中走向新的未知，需要经历曲折地探究与磨砺，然而，恰是这样的教育契机，在引领学生的思维逐渐走向成熟与蜕变。由此再思，课上张益瑄和杨振锋合力打造出的“二元一次方程组”，也断不会有任何违和与越界?</p>