<p class="ql-block">如图，△ABC的外接圆O的半径是√5，AB＝4，把弧BC沿BC折叠，折叠后的弧经过AB的中点D.求BC的长.</p> <p class="ql-block">思维突破</p><p class="ql-block">1.圆中折叠问题，首先确定点D的对称点D′，构建了圆内接四边形ABD′C，借助圆内接四边形对角互补和轴对称性质可以得到等腰△ABD.这是解决问题的关键一步.</p><p class="ql-block">2.求线段长一般构建直角三角形利用勾股定理解决问题.利用等腰三角形三线合一和垂径定理构建直角三角形.</p><p class="ql-block">3.半径√5，直径为2√5，AB＝4，BD′＝2，根据勾股定理逆定理，以2√5、4和2构成直角三角形，可以确定∠ABC＝45º.围绕45º角构建等腰直角三角形，借助相似三角形求解.</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">方法一:证等腰三角形</p><p class="ql-block">环节一:作对称点构建圆内接四边形</p><p class="ql-block">作点D关于BC的对称点D′，连接BD′CD′和CD</p><p class="ql-block">则∠A+∠D′＝180º——圆内接四边形对角互补</p><p class="ql-block">环节二:证等腰三角形</p><p class="ql-block">方法①由∠A+∠D′＝180º，∠ADC+∠BDC＝180º，∠BDC＝∠D′——折叠</p><p class="ql-block">可证∠A＝∠ADC，则AC＝BC</p><p class="ql-block">方法②由折叠∠ABC＝∠CBD′，CD＝CD′</p><p class="ql-block">可证AC＝CD′——圆周角性质</p><p class="ql-block">则AC＝BC</p> <p class="ql-block">环节三:构建直角三角形——三连勾</p><p class="ql-block">作CG⊥AB于点G，作OH⊥CG连接OD、OB和OC</p><p class="ql-block">可证OD⊥AB——垂径定理推论</p><p class="ql-block">在Rt△BOD中</p><p class="ql-block">由勾股定理可得OD＝1</p><p class="ql-block">由AC＝BC和CG⊥AB可得DG＝OH＝1——三线合一</p><p class="ql-block">在Rt△COH中</p><p class="ql-block">由勾股定理可得CH＝2</p><p class="ql-block">在Rt△BGC中，CG＝BG＝3</p><p class="ql-block">可得BC＝3√2.</p> <p class="ql-block">方法二:构造直径证∠ABC＝45º</p><p class="ql-block">环节一:构建直径</p><p class="ql-block">连接AO并延长AO交圆O于点E，连接BE</p><p class="ql-block">由AE是圆O直径则∠ABE＝90º</p><p class="ql-block">AB＝4，AE＝2√5 </p><p class="ql-block">由勾股定理可得BE＝2</p><p class="ql-block">则BD＝BE＝2</p><p class="ql-block">点E和点D关于BC对称</p><p class="ql-block">因此∠ABC＝∠CBE＝45º</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">环节二:构建直角三角形</p><p class="ql-block">作AG⊥BC于点G</p><p class="ql-block">在Rt△ABG中，AB＝4</p><p class="ql-block">AG＝BG＝2√2</p><p class="ql-block">易证△AGC和△ABE相似</p><p class="ql-block">条件:∠ACG＝∠AEB，∠AGC＝∠ABE＝90º</p><p class="ql-block">可得AG/AB＝CG/BC</p><p class="ql-block">则CG＝AG/2＝√2</p><p class="ql-block">因此BC＝3√2.</p>