心随思维伴云飞——一道中招试题的方法研究(2)

数学寻梦人

思维路径思维方向二:利用等边三角形和双相似方法一:构造等边△BFG环节一证全等易证△ABD和△BCE全等条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE可得∠BAD＝∠CBE环节二:证∠AFE＝60º由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE则∠ ABF+∠BAD＝60º因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角环节三:围绕∠BFD构造等边△BFG延长AD至点G，使FG＝BF，连接BG易证△BFG是等边三角形可得∠G＝60º，BF＝BG＝FG环节四:证双相似易证△BDG和△ADC相似可得BD/AD＝BG/AC＝DG/CD2/AD＝BG/6＝DG/4则AD•BF＝12，DG＝2/3DG可得DF＝BF/3再证△BDG和△AEF相似可得BD/AE＝BG/AF＝DG/EF2/4＝BG/AF＝DG/EF则AF＝2BF，AD＝AF+DF＝7/3BF环节五:构建方程模型设BF＝x由AD•BF＝12可得7x²/3＝12解得x＝6√7/7BF＝6√7/7， AF＝12√7/7因此C△ABF＝6+18√7/7 方法二:构造等边△DFG环节一证全等易证△ABD和△BCE全等条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE可得∠BAD＝∠CBE环节二:证∠AFE＝60º由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE则∠ ABF+∠BAD＝60º因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角环节三:围绕∠BFD构造等边△DFG在BF截取FG＝DF，连接DG易证△BFG是等边三角形可得∠DGF＝60º，DF＝DG＝FG环节四:证双相似易证△BDG和△ABF相似可得BG/AF＝DG/BF＝BD/AB＝2/6则BF＝3DF，AF＝3BG＝2BF再证△BDF和△BEC相似可得BD/BE＝BF/AF，AE•BF＝12设BF＝x，则7x²/3＝12解得x＝6√7/7AF＝12√7/7因此C△ABF＝6+18√7/7 方法三:构造等边△AFG环节一证全等易证△ABD和△BCE全等条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE可得∠BAD＝∠CBE环节二:证∠AFE＝60º由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE则∠ ABF+∠BAD＝60º因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角环节三:围绕∠AFD构造等边△BFG延长BE至点G，使FG＝AF，连接AG易证△AFG是等边三角形可得∠G＝60º，AF＝AG＝FG环节四:证双相似易证△AEG和△BEC相似可得AE/BE＝AG/BC＝EG/CE4/AD＝AG/6＝EG/2则AD•AF＝24，AF＝3EG＝可得AF＝2EF/3再证△AEG和△BDF相似可得AE/BD＝AG/BF＝EG/DF4/2＝BG/AF＝DG/EF则AF＝2BF，AD＝BE＝BF+EF＝7/3BF环节五:构建方程模型设BF＝x由AD•BF＝12可得7x²/3＝12解得x＝6√7/7BF＝6√7/7， AF＝12√7/7因此C△ABF＝6+18√7/7 方法四:构造等边△EFG环节一证全等易证△ABD和△BCE全等条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE可得∠BAD＝∠CBE环节二:证∠AFE＝60º由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE则∠ ABF+∠BAD＝60º因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角环节三:围绕∠AFE构造等边△EFG在AF截取FG＝EF，连接EG易证△EFG是等边三角形可得∠EGF＝60º，EF＝EG＝FG环节四:证双相似易证△AEG和△ABF相似可得AE/AB＝EG/AF＝AG/BF＝4/6则EF＝2AF/3，BE＝7/3BF再证△BDF和△BEC相似可得BD/BE＝BF/AF，BE•BF＝12设BF＝x，则7x²/3＝12解得x＝6√7/7AF＝12√7/7因此C△ABF＝6+18√7/7 方法五:构造等边△CEG环节一证全等易证△ABD和△BCE全等条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE可得∠BAD＝∠CBE环节二:证∠AFE＝60º由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE则∠ ABF+∠BAD＝60º因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角环节三:构造等边△CEG在BC截取CG＝CE，连接EG易证△CEG是等边三角形可得∠EGC＝60º，CE＝EG＝CG＝2环节四:证双相似易证△BEG和△ABF相似可得BE/AB＝EG/BF＝BG/AFBE/6＝2/BF＝4/AF则AF＝2BF，BE•BF＝12再证△BDF和△BEC相似可得BD/BE＝BF/BC＝DF/CE2/BE＝ BF/6＝DF/2则DF＝BF/3设BF＝x，则7x²/3＝12解得x＝6√7/7AF＝12√7/7因此C△ABF＝6+18√7/7 方法六:构造等边△AEG环节一证全等易证△ABD和△BCE全等条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE可得∠BAD＝∠CBE环节二:证∠AFE＝60º由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE则∠ ABF+∠BAD＝60º因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角环节三:构造等边△AEG在AB截取AG＝AE，连接EG易证△AEG是等边三角形可得∠EGA＝60º，AE＝EG＝AG＝4环节四:证双相似易证△EGB和△ABF相似可得BE/AB＝EG/BF＝BG/AFBE/6＝2/BF＝4/AF则AF＝2BF，BE•BF＝12再证△BDF和△BEC相似可得BD/BE＝BF/BC＝DF/CE2/BE＝ BF/6＝DF/2则DF＝BF/3设BF＝x，则7x²/3＝12解得x＝6√7/7AF＝12√7/7因此C△ABF＝6+18√7/7 方法七:构造等边△CDG环节一证全等易证△ABD和△BCE全等条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE可得∠BAD＝∠CBE环节二:证∠AFE＝60º由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE则∠ ABF+∠BAD＝60º因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角环节三:构造等边△CDG在AC上截取CG＝CD，连接DG易证△CDG是等边三角形可得∠DGC＝60º，CD＝DG＝CG＝4环节四:证双相似易证△ADG和△BAF相似可得AD/AB＝AG/BF＝DG/AFAD/6＝2/BF＝4/AF则AF＝2BF，AD•BF＝12再证△BDF和△BEC相似可得BD/BE＝BF/BC＝DF/CE2/BE＝ BF/6＝DF/2则DF＝BF/3，AD＝7/3BF设BF＝x，则7x²/3＝12解得x＝6√7/7AF＝12√7/7因此C△ABF＝6+18√7/7 方法八:构造等边△BDG环节一证全等易证△ABD和△BCE全等条件:AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE可得∠BAD＝∠CBE环节二:证∠AFE＝60º由∠ABF+∠CBE＝60º，∠BAD＝∠CBE则∠ ABF+∠BAD＝60º因此∠AFE＝∠BFD＝60º——外角环节三:构造等边△BDG在BC上截取BG＝BD，连接DG易证△BDG是等边三角形可得∠BGD＝60º，BD＝BG＝DG＝2环节四:证双相似易证△ADG和△ABF相似可得AD/AB＝AG/AF＝DG/BFAD/6＝4/AF＝2/BF则AF＝2BF，AD•BF＝12再证△BDF和△BEC相似可得BD/BE＝BF/BC＝DF/CE2/BE＝ BF/6＝DF/2则DF＝BF/3设BF＝x，则7x²/3＝12解得x＝6√7/7AF＝12√7/7因此C△ABF＝6+18√7/7