求代数式的值(二)

稳心颗粒

上海市四平中学尹永林

‌ 对于代数式的求值问题，一题多解通常意味着可以从不同的角度或利用不同的数学技巧来得到相同的结果。下面就以一道代数式的求值为例，列举几种解法，供学生参考。

已知：实数a、b、c, a+b=8, ab=c²+16，

求：a+2b+3c的值.

解法一：韦达定理

解：

∵a+b=8，ab=c²+16，

∴a、b是关于x的x²-8x+c²+16=0的两根,

∴Δ=64-4(c²+16)=-4c²≥0，

∴c²≤0，∵c²≥0，∴c²=0，c=0，

∴x²-8x+16=0，∴x₁=x₂=4，∴a=b=4，∴a+2b+3c=4+8+0=12，

即a+2b+3c的值为12.

解法二：代入消元

解：

∵a+b=8∴b=8-a，

∵ab=c²+16，∴a(8-a)=c²+16，

∴8a-a²=c²+16，∴a²-8a+16+c²=o

∴(a-4)²+c²=0，∴a=4，c=0，

∴b=8-a=4，∴a+2b+3c=4+8+0=12，

即a+2b+3c的值为12.

解法三：乘法公式

解：

∵(a+b)²-(a-b)²=4ab, ab=c²+16, a+b=8，∴64-(a-b)²=4c²+64，

∴(a-b)²+4c²=0，∴c=0，a=b，

∵a+b=8，∴a=b=4，

∴a+2b+3c=4+8+0=12，

即a+2b+3c的值为12.

解法四．均值换元

∵a+b=8，∴设a=4+t， b=4-t

∴ab=(4+t)(4-t)，∴ab=16-t²，

∵ab=c²+16，c²+16=16-t²，

∴c=t=0，∴a=b=4，

∴a+2b+3c=4+8+0=12，

即a+2b+3c的值为12

解五：均值不等式

解：

∵ab=c²+16>0，∴a、b同号，

∵a+b=8>0，a>0，b>0，

∴(a+b)/2≥√(ab)，当仅当a=b等式成立,

∵a+b=8，ab=c²+16，

∴4≥√(c²+16)，16≥c²+16，

∴c²≤0，∵c²≥0，∴c=0，

∴a=b=4，∴a+2b+3c=4+8+0=12，

即a+2b+3c的值为12.

解法六．构造对偶式

解：

∵a+b=8，∴设2a=8+t，2b=8-t，

∴4ab=64-t²，∵ab=c²+16，

∴4c²+64=64-t²，∴4c²+t²=0，c=t=0，

∴a=b=4 ，∴a+2b+3c=4+8+0=12，

即a+2b+3c的值为12.

　　在解上述求代数式的值题中，我们从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种解题方法．最终使问题获得圆满解决的思维方式，就是数学学习中的"一题多解"．它可以培养学生发散思维的能力，同时培养学生刻苦钻研的精神。