求代数式的值(一)

稳心颗粒

　　代数式的值，就是用数字代替代数式中的字母进行计算所得的结果。求代数式的值除了常用方法外，还可以根据代数式的特点进行灵活巧求，那么具体如何灵活、巧求代数式的值呢?下面介绍几种方法。

降次法

例1.已知：实数a满足a²-a-1=0，

求：a⁸+7a⁻⁴的值.

【分析】

虽由a²-a-1=0可得a=(1±√5)/2，但不可能代入原式通过计算求值，应该利用已知条件将原式中a的正(负)整数幂用a的一次幂表示。

【解答】

∵a²-a-1=0，∴a²=a+1

∴a⁴=a²+2a+1=a+1+2a+1=3a+2，

∴a⁸=9a²+12a+4=9(a+1)+12a+1

=21a+13，

∵a²-a-1=0，∴a≠0，∴a-1-a⁻¹=0，

∴a-a⁻¹=1，∴a²+a⁻²=3，∴a⁴+a⁻⁴=7，

∴a⁻⁴=7-a⁴=7-(3a+2)=5-3a，

∴a⁸+7a⁻⁴=21a+13+7(5-3a)=48，

∴a⁸+7a⁻⁴的值为48.

非负数为零法

例2.已知：

a²+b²+c²=d+48√(20a+24b-18c-d)-901,

求：a、b、c、d的值.

【分析】

由于一个方程四个未知数，其中有三个未知数的平方，所以应考虑用完全平方数之和等于零的方法，求得各数的值。引进新的未知数(e)使它等于已知中的二次根式，将此式两边平方后，用a、b、c、e的代数式表示 d，代回已知问题就可以得到解决。

【解答】

设e=√(20a+24b-18c-d)，

∴e²=20a+24b-18c-d，

∴d=20a+24b-18c-e²，

∴a²+b²+c²=20a+24b-18c-e²+48e-901,

∴a²+b²+c²-20a-24b+18c+e²+48e-901=0,

∴(a²-20a+100)+(b²-24b+144)+(c²+18c+81)+(e²-48e+576)=0

∴(a-10)²+(b-12)²+(c+9)²+(e-24)²=0,

a-10=0且b-12=0且c+9=0且e-24=0,

∴a=10，b=12，c=-9，e=24，

∴d=20x10+24×12-18×(-9)﹣24²，

＝200+288+162-576=74，

∴a=10，b=12，c=-9，d=74.

因式分解法

例3.已知：实数a满足a⁵+a+1=0，

求：a³-a²的值.

分析：

因式分解a⁵+a+1为(a³-a²+k)f(a)的形式，其中f(a)不为零，那么a³-a²=-k.

解一(通过待定系数来因式分解)：

设a⁵+a+1=(a³-a²+k)(a²+ba+c)=

a⁵+ba⁴+ca³-a⁴-ba³-ca²+ka²+kba++c=

a⁵+(b-1)a⁴+(c-b)a³+(k-c)a²+kba+c

由待定系数法：b-1=0且c-b=0且k-c=0且kb=1且c=1, 解得b=1，c=1，k=1合题意，

∴a⁵+a+1=(a³-a²+1)(a²+a+1)，

∵a²+a+1=(a+1/2)²+3/4>0，a⁵+a+1=0，∴(a³-a²+1)=0，∴a³-a²=-1，

即a³-a²的值为-1.

解二(通过竖式除法来因式分解)

用(a⁵+a+1)÷(a³-a²)，由多项式的竖式除法可得

∴a⁵+a+1=(a³-a²)(a²+a+1)+(a²+a+1)

=(a³-a²+1)(a²+a+1)

∵a⁵+a+1=0，∴(a³-a²+1)(a²+a+1)=0，∵a²+a+1=(a+1/2)²+3/4恒大于0，

∴a³-a²+1=0，∴a³-a²=-1，

即a³-a²的值为-1.

解三(通过添项减项来因式分解)

∵a²+a+1=0，∴a⁵-a²+a²+a+1=0，

∴a²(a³-1)+(a²+a+1)=0，

∴a²(a-1)(a²+a+1)+(a²+a+1)=0，

(a²+a+1)(a³-a²+1)=0，

∵a²+a+1=(a+1/2)²+3/4>0，

∴a³-a²+1=0，∴a³-a²=-1，

即∴a³-a²的值为-1.

解四(通过换元迭代来因式分解)

令a³-a²=t①, 则a⁴-a³=at②, a⁵-a⁴=a²t③

①+②+③得：a⁵-a²=(a²+a+1)t,

∵a⁵+a+1=0，∴a⁵=-a-1，

∴-a²-a-1=(a²+a+1)t,

∴(a²+a+1)t+a²+a+1=0，

∴(a²+a+1)(t+1)=0，

∵二项式a²+a+1的二次项系数为1>0，

且Δ=(-1)²-4<0, ∴a²+a+1恒大于零，

∴t+1=0，∴t=-1，即a³-a²=-1.