<p class="ql-block ql-indent-1">暑假回新疆的路上,在火车上与人聊天,有人说天津消费低,教育好,是一个适合居住与生活的地方。以前没有去过天津,不知真假,刚好在纠结把孩子的学籍落在什么地方最合适,便对天津产生了兴趣,闲来无事,准备从天津的高考数题来初步了解一下天津。</p> <p class="ql-block ql-indent-1">首先题目的数量是20题。比新高考全国卷要多一题。比上海北京等少一题。</p> 一、选择填空 <p class="ql-block ql-indent-1">1.先看选择题的第一题,是我见到的最简单的考集合的题,看懂符号明白集合的定义就可以做对,典型的送分题,且一点点的弯没有,保证送到学生手里!</p><p class="ql-block ql-indent-1">2.再看第二题,考点是充要条件,考的是逻辑推理。学会了,且做题的时候心静了下来,会觉得很简单,但如果处于心浮气躁的情况下,也是很容易做错的,这也是为为什么有些同学考试分数波动大,而有的同学成绩稳定。还有一些习惯投机取巧,直接蒙也很容易丢分。所以不是容易的题,分就一定好拿,要看出题人给不给你挖坑,还有你走路时看不看路!</p><p class="ql-block ql-indent-1">3.第三题,明确相关系数概念的,可秒选A。</p><p class="ql-block ql-indent-1">4.考函数的奇偶性,第一步就是看定义域,如果定义域不关于原点对称的,直接排除,第二部看是否符合偶函数的定义。选B,容易。</p><p class="ql-block ql-indent-1">5.熟悉基本初等函数图像的同学秒选B。具体思路先以零做参照,c小于零,a,b用指数函数的单调性来判断。也是超级简单,不拐一点弯的题。</p><p class="ql-block ql-indent-1">6.第六题是一道简单的几何体,选C,只需要基本的空间想象能力。网购了一套2024的数学真题卷,这道题竟然是缺失的,太急于出版销售了!也可以理解,时间稍微长点时效性就低了,但漏题会损害信誉,以后可能我就不会再买这套卷子,高考完直接自己网上搜了。</p><p class="ql-block ql-indent-1">7.考查的是三角函数的周期与最值,方法一用五点法画出函数图像,在图像描出定义域范围内的这一段,最小值一目了然。方法二整体法,根据自变量的取值范围,得出正弦函数的取值范围,从而得出最小值。核心素养:逻辑思维。难度中等。只拐了一点点的小弯,用心学习的孩子都可以做对。</p><p class="ql-block ql-indent-1">8.第八题开始有点难度,前面都是一层的小平房,第八题开始盖楼了,每一步都不难,就是步骤多点。这题考点是双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系,还涉及到直线的斜率。要做出这道题首先得找到着手点,就是斜率,把它与题中的直角三角形关联到一块,再用面积,解出两条直角边的长,然后用勾股定理得出c,再用a,b,c的关系解出a,b,就得到解析式了。这道题用到的思想方法是数形结合,不画图找不到明确的解题思路,边读题边画图,题读完解题的思路就有了。</p><p class="ql-block ql-indent-1">这道题对于大多数不会的同学来说,难点在解关于线段的方程组,解方程组是初中的基本功,所高考数学仅靠高三或者高中阶段的努力是很难拿到高分的,初中乃至小学的基础必须要扎实,这一点与体育是相通的。</p><p class="ql-block ql-indent-1">天津卷也就从这题开始,才有点高考题的意思,前面的都太简单小学生都可以教会。</p><p class="ql-block ql-indent-1">9.第九题C,需要用到划归与转化的思想方法。把这个几何体分割为三棱柱、四棱锥、三棱锥这三个简单的几何体。分别算出体积再累加。</p> <p class="ql-block">选择题小结</p><p class="ql-block ql-indent-1">总的来说,2024天津卷数学当中,选择题里没有难题,比I、II卷都要简单一些,基本上都是送分题,8、9两道也就计算步骤稍微多点而已。所以不论在全国哪个地方参加高考,数学要想考出理想的成绩,计算都必须百分之百的过关。</p> <p class="ql-block ql-indent-1">天津卷没有多选题,直接上了6道填空题。</p> <p class="ql-block ql-indent-1">10.第十题考的是复数的运算,单纯运算,除了复数的概念是高中学的,涉及到的能力水平有小学初中的就够了。熟练的同学直接口算就可以得出实部与虚部,不熟练的,用整式的乘法一步一步来,先分后合。做不对的除了高中没听课的原因,就是初中小学的数学基础太薄弱。</p><p class="ql-block ql-indent-1"><span style="font-size:18px;">只考乘,没有考除,是这类简单题里面的简单题!</span></p><p class="ql-block ql-indent-1">11.第十一题,考点是二项式定理,求展开式中的常数项,属于常规题,记住通项公式就可以。记不住的自己推导一下,可以算出来,但就占用了后面题的时间!这道题就可以体现出平时是否花功夫,而不是是否聪明,是否有学数学的天赋!</p><p class="ql-block ql-indent-1">另外如果排列与组合学得不透,或者忘记了,这道题的相关公式要记住也不太容易。数学的记忆以理解为基础,特别是长时记忆必须以足量的适时训练为基础。但高三就这一年时间,要想取得理想的复习效果,基础一般都考生取舍非常重要!不然就像猴子掰苞米,边摘边丢,最后手里拿住的非常少。</p><p class="ql-block ql-indent-1">所以要注意知识点之间的关联,需要模块化深入的系统的复习,而不是面面俱到!</p><p class="ql-block ql-indent-1">12.考的是圆锥曲线,圆与椭圆的交点,还有点到直线的距离。涉及到的知识点多,有一定的运算量,哪一步算错了,或者考虑不周,都得不到正确的答案。这道题要用到解二元二次方程组,运算功底不够的基础又弱的,圆锥曲线这一块可以直接选择放弃。</p><p class="ql-block ql-indent-1">13.考的是概率,古典概型、条件概率。概率统计这一模块运算量相对较小,运算求解的难度低,数学基础薄弱的同学,可以在这模块多下功夫!</p><p class="ql-block ql-indent-1">14.第一个空考的平面向量基本定理,这个定理明白了就相当于初中的解二元一次方程组了,如果初中的解方程组没学会,就得从解一元一次方程讲起。总之,这个分,是必须让学生拿到。第二空,考的是平面向量数量积的坐标表示,如果这个知识点明确,还是不会做,应该是还没有形成方程的思想或者数形结合的思想。考试的时候第二问如果心理没底可以暂时放弃,因为计算步骤稍微多一些,有思路的就一气呵成,省得之后再花时间读题。</p><p class="ql-block ql-indent-1">第二空的难点是动点的坐标表示,能正确的表示出来就成功了一般。需要的核心素养是运算、直观想象、逻辑推理。</p><p class="ql-block ql-indent-1">另外,二元一次函数的最小值,也是在道题的一个难点,不少同学会忽略函数自变量的取值范围,直接用公式写出最小值,就功亏一篑了。基础薄弱的同学可以忽略第二问,这个空是用来考中等生的。</p><p class="ql-block ql-indent-1">15.第十五题,难,基础一般都同学考试时直接放弃,看都不用看,若有时间不如用检查做过的会的题以确保正确。因为对于很多同学来说,听都听不懂,听懂的自己也不一定做得出来,能勉强做出来的,结果也不一定正确,能正确做出来的,你算算时间和分数,也不一定合算。所以这样的题,在全国范围内绝大多数学校,都属于一带而过,面对目前的高考现状,都是不需要花大量时间和篇幅去讲的。正真对数学感兴趣的,实际上通过自学就可以解决,一般都学生不来个三五遍,是不可能消化吸收的,而作为高中的老师,把这道题讲一遍,就至少得一堂课的时间,学校的课程进度根本不允许。</p><p class="ql-block ql-indent-1">但对于平时考试成绩不错,想拿高分的同学来说,这样的题一看到就应该思路明确迅速选择适合自己的方法,草稿纸也得备够,这一道题可能就需要一页草稿纸。压轴题基本上都需要分类讨论。难点一,分类时,分界点的选择。作为填空题,这道题可以先令函数值为零,把函数简化为方程,求解。求解过程中对a再分类。</p><p class="ql-block ql-indent-1">a为零时,有两解,就是有两个零点,不合题意。</p><p class="ql-block ql-indent-1">当a不为零时,先试一下x=0是不是方程的根。带入后,等式不成立,所以不是。所以可以用换元法,用一个字母t(t不为零)来代替两个字母的积ax。根据t取值范围的不同,把原函数转换成分段函数。</p><p class="ql-block ql-indent-1">再分离参数,把a方写到等式左边。</p><p class="ql-block ql-indent-1">这之后才到这道题的核心考点导数。两段函数要分别求导!过程很长,超过很多同学注意力能集中的时间长度。平时训练量不够,知道怎么做的,一场考试就这一道题做到底,再检查一遍,时间也不一定够。</p><p class="ql-block ql-indent-1">这也是为什么很多国家卫星或者导弹试射总是失败,因为细节太多,没有大脑足够复杂并能流畅运转的大量技术人员,是无法事无巨细面面俱到的!</p><p class="ql-block ql-indent-1"><br></p><p class="ql-block ql-indent-1"><br></p> <p class="ql-block ql-indent-1">认真的做了一下15题,一个空,5分,过程整整用了一页纸!还不算计算时用的草稿。对于能力一般的学生,如果平时数学成绩上不了120分,这道题果断放弃!不然这道题的5分你拿到了,整个数学考试就废了!作为老师也是一样,教会了这一道难题,学生如果考场上真的做,就害了学生!应试教育与素质教育完全是两回事,高三的学生只能把分数放在第一位,平时学习,不光是要会,关键是要熟,烂熟!考场上才能轻松得分!</p><p class="ql-block ql-indent-1">该舍弃的题,一定要舍弃。舍不得的同学,可以记个时,看看这道题,独立做一遍,究竟要多长时间。我自己不加思考与整理,光写过程接近半个小时,如果是在黑板上讲,中间需要给学生留一下消化吸收和记笔记的时间,需要两节课才能讲完这一道题。</p> <p class="ql-block ql-indent-1">填空题小结</p><p class="ql-block ql-indent-1">填空题有难度梯度,前四道简单,有一定的运算量,第五道难度中等,对罗辑思维要求增加了,最后一道难,不光是运算量大,也几乎把高中数学常见的难点都集中到了一块,没有多种思想方法为指导,思路不是十分明确,或者计算能力稍微弱一点点,这道题都是做不下来的。</p> <p class="ql-block">客观题总结</p><p class="ql-block ql-indent-1">做了前15道题,感受是,简单的题极致简单,难的题十分的难,区分度特别的大,所以天津卷的平均分应该不算低,但满分的估计特别的少!第15题这道填空题的压轴题,应该比有些卷子最后一道主观题的压轴题都难。是把很多高中的难点集中到了一起,所以难上加难。做这套卷子就像去走独库公路,前面一马平川,后面一山更比一山高,给人高处不胜寒的感觉。没有厚实的基础,就像穿着单薄的衣服在哈西勒根达坂玩雪!</p> 二、解答题 <p class="ql-block ql-indent-1">16.作为解答题的第一道题,跟其他高考卷差不多,都是考的解三角形。只不过,分了三道小题,知识点的覆盖面比较大,所以对于知识点和基本题型也是要非常的熟练才行。熟练的情况下,需要十几分钟时间。</p><p class="ql-block ql-indent-1">这道题那个卷子都不难,没有思路的就先把正选定理余弦定理公式写出来,变变型,看看已知条件带到那个公式里合适。中等生,有一点高中数学基础的,这道题是必须要攻克的,无论你理解不理解逻辑思维怎么样。我做一遍记个时,你就会发现做这道题特别合算,哪怕最后算的结果有误,也可以得到一部分过程分,当然算对是最好的,这需要小学的基本功扎实。</p> <p class="ql-block ql-indent-1">17.第17题网上下载的题目有点问题,原卷应该没有,出题人应该想说的是四棱柱,而不是四棱锥。这道题也是三个小问。第(1)小问考的是线面平行。中间稍微过渡一下,就是基本概念第(2)考的是二面角的余弦值,用到空间直角坐标系,原点选择没有绕弯,求出两个平面的法向量,再求法向量夹角余弦即可,没有绕弯,简单直接。第(3)问考的是点到平面的距离。都属于常规题,记住公式可以直接套求。</p><p class="ql-block ql-indent-1">如果空间想象力差,一开始高一的时候就没有学明白,可以直接放弃。如果空间想象力还行,这道题就是送分题,运算量不算太大,步骤也不特别多,唰唰唰,快快写完15分就到手了。</p><p class="ql-block ql-indent-1">另外涉及到几何的要学就干脆多花点时间学透,从平面几何到立体几何解析几何,这一块分数的比例不小,平面向量空间向量无论那套卷都要考,而且难度都不大,适合中等生提分。有把时间花在导数上,不如花在这一块实惠。因为变化少,对逻辑思维要求也不高。</p><p class="ql-block ql-indent-1">18.第18题的第一问,求椭圆方程,必须要会做,第二问不会可以放弃。对于想在数学上多得点分的同学,高三复习到这个阶段向量的数量积这个知识点要学透,多做些有关的题,月考的分数会再上一个台阶。因为不少中等难度的题,如果这个知识点不是个问题,难度就会降低一个级别了。这道题的第二问就是通过这个知识点来提升题目难度的。</p><p class="ql-block ql-indent-1">另外,中等生要想圆锥曲线这一块拿上分,必须熟练掌握二元一次方程根与系数的关系,熟练使用韦达定理,能巧设直线的解析式。计算这一块也必须要过关。不然第二问如果平时功夫不够,通常劳而无功!</p> <p class="ql-block ql-indent-1">19.数列也是全国范围内都要考的题,一般都是第一问,容易,第二问难。</p><p class="ql-block ql-indent-1">时间不够的同学,先把第一问做完,直接就做第20道题的第一问。</p><p class="ql-block ql-indent-1">20.导数压轴题,第一问一般都是球切线方程,简单。平时这一块没学透,第二问考试时也就不用考虑了,不如把其他解答题的第一问验算一下,看看与之前的答案是否一致。</p><p class="ql-block ql-indent-1">总结:天津卷的解答题里竟然没有概率统计的题,这是与其他地区考卷明显不同的地方。另一个特点就是简单的特简单,难的就是想方设法让你做不出来,会做的也增加步骤和计算量让你没时间做!</p>