平行与垂直”教学思考

诗与远方

一、重组解构，“静”线现特征

　　单元整体视角下的教学实践，尝试将“平行和垂直”和“认识梯形”进行重组，并在劣构的整图环境下——直角梯形，通过“梯形解构--共性探讨--特征总结”，辨别相交与不相交两种不同的位置关系，初步形成平行和相交的概念。

课始，教师先呈现直角梯形，引导学生分解出两组对边和四组邻边，将对边和邻边两端无限延伸置身于直线环境下进一步观察图形的特征。学生很快就能发现直线a、c和直线b、d不相交理由是并没有产生一个交点，有学生也会从角的角度进行诠释，直线a、b和直线b、c形成了四个直角，直线a、c和直线c、d也形成了四个角（两个钝角、两个锐角），在学生的独立思考、比较分类中“平行”与“相交”概念初显。教师及时介入，引导学生讨论：相交和不相交的两条直线各有什么特点？在讨论后总结相交的特征为有一个交点，形成4个角，反之为不相交（平行）。紧接着学生自由选择长方形、正方形、平行四边形等图形巩固相交与平行的特征。

　　概念源于对特征共性的提炼，拓展则依托于整图下的解构认识。以整图视角解码出的静态对边线和邻边线让学生的特征提炼与图形的整体认识二合一，既有效的对两种位置关系有了理解，凸显其核心概念，又实现了图形的认识，丰富了单元的整体认知。

二、贯通联结，“动”线辨概念

　　在初步感知平行、相交的特征后，需要进一步辨析平行与垂直这两种特殊的位置关系。教学中，这两种特殊的位置关系往往在学生作品分类后，逐一给出平行、垂直的概念，这种静态方式呈现的两条直线给学生的误区是平行是平行，垂直是垂直，而忽略了这是由两条直线在特殊位置所形成的不同关系的事实。从这个意义上说两条直线的不同的位置关系实际上是两条直线运动到不同位置的结果，这也能更好帮助学生整体建立平行与垂直的概念。单元整体视角下的教学实践，联结两种位置关系，以梯形解构出的两条看似不相交的两条腰的学习材料贯通，在两线的运动变化中，位置关系从相交——特殊相交（垂直）——相交——平行，学生则经历“辨析特征——定量测算——建构概念”等活动，让概念得以自然生长。

教师对两腰所在直线动态演示（一线固定、另一线运动），引导学生观察并对部分位置关系拍照记录。在众多的相交中，学生主观认为①和③比较特殊，部分学生延续的环节一的感觉认为①没有相交，部分学生则抓住了③位置特别的“直”。抓住学生这种眼见的感觉，教师追问：①号两条直线真的没有相交吗？引发学生思维的冲突，学生从直线的特征出发，发现两条直线延长之后会相交，在对比中突破看似不相交的相交。适时教师继续引导学生讨论:③号图的两条直线是相交吗？特殊在哪儿？在对比和讨论中，学生渐渐认识到这里的四个角均为直角与一般的相交大不相同。教师继续追问：你想怎么说明？学生自发选择用三角尺或量角器测量说明，建立垂直概念。教师引导学生对比①号和③号，学生达成共识①号形成的四个角两个是锐角，两个钝角无法定量属于一般相交，③号形成的四个角4个均为直角能测量，提炼出垂直是相交的特殊情况，顺势得出垂直的概念并通过对书本的自学掌握其特征及命名。

　　继续寻找特殊的位置关系。有了之前的学习经验，学生谨慎地提出了⑥比较特殊，理由是目测延长后两条直线应该也不会不相交。教师放手让学生操作：“怎么说明这两条直线不相交？”，同时提供资源（⑥号图形、透明方格纸等），提供支架（独立思考、小组合作、集体交流），在思考、操作、讨论、交流中，学生将⑥号图形旋转后叠放在透明方格纸上观察发现两条线的距离都是2格，像并行的两条轨道碰不到一起，借此联想到如能说明两条线上垂直的线段长度（距离）相等就能说明不相交，至此平行的概念得到二次的夯实：等距的两条直线互相平行。

两条直线在不同的位置变化里，学生头脑里的概念也在澄清、顺应与同化，澄清的是相交与不相交不能只顾眼前，而要关注延长后是否相交，顺应的是相交会产生四个角，只有四个直角的垂直才是最特殊的，同化的是等距是平行的本质。单元整体视角下的垂直与平行，也在联结、贯通、组合。小结时的回顾，又将平行、相交、特殊相交（垂直）在本质上进行了联结，方法上进行了贯通，建构起两条直线位置关系的概念维恩图。

三、题组进阶，“多”线拓概念

　　在学生定量刻画的方式等距验证平行，量角验证垂直建立平行、相交、垂直（特殊相交）的概念后，设计“两线的位置关系——三线的位置关系——四线（封闭图形）的位置关系——多线的位置关系（立体图形）”习题组，通过线的数量逐步增加，思维深度上层层递进，学生从数学走向生活，并在板块进阶中，进一步理解“平行”和“垂直”这两种特殊的位置关系的前提必须是两条直线，无关线的多少，而且也必须是同一平面，与线的位置紧密关联。四线围成的封闭图形又还原了梯形、长方形、正方形等四边形的特征，为后续的学习埋下了种子。

两条线的位置关系，旨在不同的变式中拓展平行和垂直概念的外延。如⑤号变式让学生在讨论中明确平行本质除了等距还要以两条直线为前提。①号和③号夯实的是学生元认知中对相交和不相交的初印象。在对两条直线特殊的位置关系②、③、⑦号展开时，以定量刻画为判断依据，让学生测量角度判断是否垂直，测量距离判断是否平行。

　　三条线的位置关系，旨在②号这样两条平行线的基础上添加一条新的垂线和平行线，让学生猜一猜这三条直线互为怎样的位置关系。路径上，先理解，做出猜想，再摆一摆、画一画说明关系，盘活三线下的垂直与平行其实质仍然是两线下的两种特殊位置关系。

　　四条线的位置关系，打破习题你问我答固有的藩篱，学生主动在三条线的基础上继续添加直线，追问：此时能围成一个怎样的封闭图形。学生马上能想到围出一个四边形，进而想到如添加的是与两条平行线垂直的线就能围成长方形、如刚好平行线间的距离和两条垂线距离相等就能围成正方形；如添加的是与两条直线一般相交的线就围成了梯形，从梯形这个平面解构出了两线，两线在重组后围成的图形又回归到了面，图形的特征在位置关系的变化中丰厚。

　　线的添加还在继续，当学生还停留在线只能添在同一平面时，第五条线拓到了立体图形，这一拓突破的是同一平面的教学难点，学生在描述第五条线与前四条线的位置关系时，与前两条互相垂直的关系都没问题，到了第三条线和第四条线犯了难，垂直没有交点，平行只能找出一处垂直线段的长度（与第二条线部分重合），在学生讨论交流中揭示不在同一平面内的两条直线既不平行也不相交，概念的建构在由线及面再体的过程中层层深化。

趣味数学

　　你知道吗？生活中有的平行线其实并不平行。

两根电线挂着两盏电灯,从天花板上垂下。这两根电线平行吗？自然是平行的,因为它们都和地面垂直嘛！可是,我们仔细想一想,电灯为什么会下垂？这是因为受到地心吸力影响的缘故。既然如此,若把两根电线延长,它们必相交于地心。也就是说,从天花板上下垂着的两根电线所在的直线并不平行,而是相交的。

我们把太阳光看成是平行的,这似乎没有什么问题了。可是,太阳光是从哪儿发出来的？是从太阳这个星球的中心发出来的。也就是说,太阳光线都是从一点发出的射线。

因此,从人类生活范围来看,我们把太阳光线看成是平行的,甚至天花板上两根下垂的电线也视为平行的,这也未尝不可。但从客观来看,把光线乃至下垂的电线视为相交的直线则更为合理。由此可见,研究问题要看在什么范围内,一个结论在较小范围内是正确的,但在较大范围内就不一定正确了。现在中小学所学的几何主要是研究较小范围内的图形性质,即欧几里得几何学。如果在宏观世界或微观世界里研究,就产生了非欧几何学,这就是罗巴切夫几何学和利曼几何学的内容了。