五日一题(5)(41--50)解法与解析集锦

海阔天空

文字:海阔天空

图片:源于资料

目的要求和建议

1.“五日一题集锦”的目的是引领一部分有志向的优秀学子在数学这门课上达到遥遥领先，为升入高中后理科学习打下坚实基础，即大幅度提升自学自钻能力，绝对避免升入高中后理科滑坡现象。五日一题集锦既是知识积累又能难点突破，在不知不觉中潜移默化的达到不断开发智力的重要作用和目的。

2.能深刻理解每一道题的解题思路和问题转化方法达到一题多解，更需完整表达解题过程。引导使用者对每一道题都会做到深刻挖掘，因为深刻挖掘1道题可强过简单重复10道题甚至更多。本作法还有一个重要作用就是让依赖型向自主型转化、态度型向方法型转化，具备更强的挑战和竟争能力。

3.我对本“五日一题解法与解析集锦”的每一道题目都是按照题意分析、详解过程和解后反思这“三步走”进行的，并将反复修改完善和更新。建议阅读使用本五日一题集锦者可先详读原题，首先自己尝试着分析题意和书写解答过程，适当时候再参考我提供的“三步走”，如果确有不解之处必要时还可通过电话，视频通话等方式面对面的跟我交流和沟通，万一你对个别题目没有能力自主完成，但你对我提供的“三步走”能认真阅读和思考达到绝对透彻的理解也能达到预期目的。

几点说明:

1.本五日一题集锦适合于六年级学生中数学基础比较扎实者在第一学期结束前夕开始使用直至初中毕业。

2.据我所知小学和初中阶段普遍配套了人教版【学习与评价】这一套教辅资料非常的好。但我还感觉市面上另有一套北师大版的【5.3天天练】的教辅资料也相当好，特别是每课时练习题中都有一道“智慧加油站”题目很有特色。一套好的资料需要一个强有力的团队付出大量心血，它自然凝聚着不少名师和佼佼者们的劳动和汗水。故此我就想充分发挥这套教辅资料数学科的不可小觑的作用。

3.本“五日一题集锦”题目主要来源于【5.3天天练】六年级教学内容及总复习“智慧加油站”栏目、各单元达标练习题中“附加题”、寒署假作业中被我加注了标记的题目，都有一定的深度和难度。说白了就是及早瞄准了中、高考中20℅的所谓的“压轴题”。为了突破难点，在“三步走”中篇幅有意偏大是为了让使用者都能读懂。

上接五日一题⑷(31--40)解法与解析集锦(2024年6月10日题--2024年7月25日题)。

　　2024年7月30日题

41.修一条公路，已修的和未修的长度比是1:3，又修了300米后，已修的占这条路总长的一半。这条路总长是多少米？(5.3天天练六年级下册总复习1.数与代数第14课时p80页智慧加油站题)

题意分析:

1.本题可用方程解法，相等关系应是最初修的+300=最终共修的。

2.本题也可用分率公式列式计算，题目中公路总长度是唯一的可作为单位“1”思考的量。

详解过程:

解法㈠:

设这条公路总长是X米，根据题意得 ¼X+300=½X

½X-¼X=300

¼X=300

X=1200

答:这条路的总长是1200米。

解法㈡:

300÷(½-¼)=300÷¼=1200(米)

或列成下面的算式计算程

300÷(¾-½)=300÷¼=1200(米)

答:这条路程总长是1200米。

说明:上面两个算式前者表明已修路程由¼增加到½；后者表明未修路程由¾减少到½。

解后反思:

1.本题中解法㈠和解法㈡中两个算式3种情况中，虽然最后都有一个共同的计算过程300÷¼，但最初各自的思路绝不一样。

2.本题中单位“1”只能是总路程。解法㈡中，两个算式都是以300米作为比较量的，而它的对应分率❶是已修路程占总路程比例的增长，❷是未修路程占总路程比例的减少，都是因“又修了300米”而产生。

　　2024年8月5日题

42.客车9:00从A市出发匀速行驶去B市，到10:30距离B市还有320km，到13:30距B市还有110km。A市和B市相距多少千米？(5.3天天练六年级下册总复习1.数与代数第15课时p81页智慧加油站题)

题意分析:

1.仔细读题可以看出本题有两种解法:❶因为是匀速运动中两段时间和所走路程成正比可列方程求解；❷是由两段路程差与两段时间差相除可先求出速度再继续进行。

2.本题牵涉时间的概念必须清楚，❶是10:30-9:00=1.5时，❷是13:30-9:00=4.5时。

详解过程:

解法㈠:

❶设A市和B市相距X千米，根据题意得 (X-320):1.5=(X-110):4.5

4.5×(X-320)=1.5×(X-110)

4.5X-1440=1.5X-165

3X=1275

X=425

答:A市和B市相距425千米。

说明:上面所列比例方程是按速度不变(一定)作为等量关系的。

❷设A市和B市相距X千万，根据题意得(X-320):(X-110)=1.5:4.5

解之得 X=425

答:A市和B市相距425千米。

说明:上面所列方程是按匀速运动中路程和时间成正比作为等量关系的。

解法㈡:(列式计算)

①10:30-9:00=1.5

13:30-9:00=4.5

②(320-110)÷(4.5-1.5)

=210÷3=70(千米/时)

③1.5×70+320=425(千米)

或4.5×70+110=425(千米)

答:A市和B市相距425千米。

解后反思:

1.本题中解法㈠中所列方程是按照速度一定路程和时间成正比而列，如果题目所给条件是路程已知，由时间或速度作为未知数的列方程可能会用时间与速度成反比列方程。

2.本题解法㈡中所列算式②是用路程差÷时间差=速度思考的。算式③是按照已走路程+剩余路程=全路程思考的。

2024年8月10日题

43.有一批商品第一天卖出1/5多100件，第二天卖出剩余的2/7少100件，第三天卖了2/3还剩200件。这批商品一共有多少件？(本题由5.3天天练六年级下册总复习1.数与代数第6课时p72页知识演练场3⑶题改编和拓宽)

题意分析:

1.本题是一改编题目，原题只涉及到第二天的变化过程和所剩数据，可用方程、分率、倒推还原三种方法，而本题多了一天的卖出和剩余，若再考虑那三种解法就显得不易思考和表述了。

2.本题的有意拓展是为了进一步强化倒推还原法的绝妙之处。

3.首先考虑每天剩余情况的表达方式，因为第一天卖出1/5多100件，那么剩余的就是4/5少100件；在这个基础上，第二天卖出2/7少100件，那么剩余的就是5/7多100件，再在这个基础上，第三天卖出2/3还剩200，那么剩余的是1/3即200。

4.上面这个变化过程就是在这批商品的基础上×(4/5)-100、再×(5/7)+100、再×(1/3)=200。上面变化过程用了5个运算符号由未知到了已知，把这个过程再倒推回去，所用运算符号跟上面恰好是互逆运算的符号。

5.上面这个过程可通过一个倒推还原图来进行，这个倒推还原图由一些方框和间隔构成，方框个数比运算符号多1(下图所示)。

6.有了这个倒推还原图只需先从左边填到右边，再从右边填到左边问题就解决了。

解法过程:

①由题意可知本题变化过程中有5个运算符号，故应首先画出6个方框，并留有一定间隔。

②先由左向右依次填表，最前面的方框是要求的未知数，最后的方框是最后剩余的数据；中间变化过程即每天所剩数据都暂时空下，只填有关运算符号从左到右依次为×、+、×、-、÷即可。

③再由右倒推到左，每个运算符号依次为×、+、÷、-、÷即可，并把每个方框的结果算出一并填上。(如下倒推还原图所示)

④也可列综合算式计算:

[(200×3-100)÷5/7+100]÷[1-(1/5)]

=(500×7/5+100)÷4/5

=800×5/4=1000

答:这批商品共有1000件。

解后反思:

1.本题解法适合于变化环节比较多但又有一定规律，本题主要是弄明白每天剩余量。

2.本题方法具有一题吃透，百题皆通的特点，具有事半功倍的绝妙之处。

3.需要注意的是本题填表时×4/5就是×(1-1/5)，×5/7就是×(1-2/7)，÷3就是×1/3。

4.填表时从左到右就是从未知--已知；从右再到左就是从已知--未知。达到倒推还原之目的。

2024年8月15日题

44.找规律填出下面各括号:

①4/5，1，5/4，25/16，( )，( )，( )。

②3，8，15，( )，35，( )，( )，( )。(5.3天天练六年级下册总复习1.数与代数第16课时“探索规律”p82页智慧加油站题)

题意分析及解答:

1.本类题目也并不少见，但是每遇一个题目往往还并不十分顺手甚至一时间找不出规律来。

2.最常见的是给出一组数的前几个，然后让你找出规律再填写后面的括号，无非是由第一个数开始通过仔细观察或乘或除或加或减某一个数得第二个数，再用同种方法看能否得到第三数。如果后面隔几个括号还有已经给定的数，那就要一直用前面方法进行下去，直至吻合为止。

3.上面第①题通过观察得到的规律是从一个数开始乘以5/4继续下去即可。第②题通过观察得到的规律是这一组数是从2开始的连续自然数数的平方再减1。

①4/5，1，5/4，25/16，(125/64) (625/256 )，( 3125/1024)。

②3，8，15，( 24 )，35，( 48 )，(63)，( 80)。

解后反思:

1.本题的规律第①题是从第一个数开始，乘以5/4得第二个数，再乘5/4得第三个数，依次类推下去。第②题的规律是从2开始连续自然数减1的一组数。

2.探索规律也有可能是图形，总之要找到最起码自己感觉根据很充分才可以。

2024年8月20日题

45.每年的4月23日是世界读书日，网上购书平台都会推出优惠活动，今年在D网站可享“每满200元减80元”；在E网站可享“折上折”，在七折的基础上再打九折。张老师打算为班级小书屋购买一套原价为1200元的系列童书，在哪个网站购买更优惠？(5.3天天练六年级下册总复习1.数与代数“数与代数综合练习”p85页四.4题)

题意分析:

1.这类题目是当下比较时尚的题目，但变化也非常大，无论哪种情况无非就是优惠程度的区分，毫无疑问还是对每种优惠情况真正的理解。

2.本题中D网站的优惠就是对“每满200元减80元”的理解，即1200元中有多少个200元，就可以享受多少个80元，E网站的优惠情况应该不在话下。

解答过程:

D网站:

①1200÷200=6

②6×80=480

③1200-480=720

E网站:

1200×70%×90%=756

720＜756

答:在D网站购买更优惠。

解后反思:

1.商品优惠问题是当下数学题中相当时尚的题目，最常见的有“买机送几”、“打几折”、“每消费多少元优惠多少元”等。

2.无论哪种优惠都是有规则的，必须仔细理解题意才能按要求解答。

　　2024年8月25日题

45.一个高为12㎝的长方体，有四个面的面积是48㎝²，这个长方体的体积是多少立方厘米？(5.3天天练六年级下册总复习2.图形与几何“第4课时图形与测量p90页智慧加油站题)

题意分析:

1.凭经验可知，长方体的六个面，分别是由长、宽、高三个数据两两做为对边构成的，即由长、宽可构成上、下两个面；由宽、高可构成左、右两个面；由长、高构成前、后两个面。

2.再经思考可知，❶当长、宽相等时，上、下两个面是相同的正方形，前、后、左、右四个面完全相同(下图1)；❷当宽、高相等时，左、右两个面是相同的正方形，上、下、前、后四个面完全相同(下图2)；❸当高、长相等时，前、后两个面是相同的正方形，上、下、左、右四个面完全相同(下图3)。

3.由四个面完全相同，又知每个面的面的是48㎝²、高为12㎝先求出下底面的中所需的一边，再求出长方体的体积。

详解过程:

图1中: 长、宽相等时，前、后、左、右四个面的面积都是48㎝²，AB=48÷12=4㎝，这个长方体体积为4×4×12=192㎝³。

图2中:宽、高相等时，上、下、前、后四个面面积都是48㎝²，CD=48÷12=4㎝，这个长方体体积为4×12×12=576㎝³。

图3中:高、长相等时，上、下、左、右四个面面积都是48㎝²，EF=48÷12=4㎝，这个长方体体积为4×12×12=576㎝³。

解后反思:

1.本题对于空间想像力的要求是要明白在怎样情况下，有哪四个面能完全相同，再由一个面的面积求出所需边长。

2.本题对逻辑思维力的要求是要求长方体的体积，首先要求出一个底面的面积，因为高已知。

3.在解答过程中有的过程需在心里完成，不必写出，但在这里详细叙述是为了让阅读者能看懂。

2024年8月30日题

46.如下图，在一块长为20m.、宽为10m的长方形草坪中铺设了两条小路。现在草坪(涂色部分)的面积是多少？(5.3天天练六年级下册总复习2.图形与几何“第4课时图形的运动p92页智慧加油站题)

题意分析:

1.本题若从图形运动的角度思考可以很快找到计算的算式。即若把右边两块向左平移2m，上边两块向下平移2m，得到一个完整的长方形再计算。

2.本题若从原草坪面积减去两条小路面积思考也可以，但要考虑到两条小路的重叠部分要适当处理。

详解过程:

解法㈠:

(20-2)×(10-2)=18×8=144(㎡)

解法㈡:

20×10-20×2-2×10+2×2

=200-40-20+4=144(㎡)

答:现在草坪的面积是144㎡

解后反思:

1.本题两种解法是从不同角度思考问题的，解法㈠是把4块面积变成一块面积，用的是平移法。

2.解法㈡算是这类问题常规的思路，但必须要合理，多减的还要加上。

2024年9月5日题

47.笑笑在期末考试中，语文和数学的平均分是89分，数学和英语的平均分是94分，语文和英语的平均分是90分。笑笑的语文、数学、英语成绩分别是多少分？(5.3天天练六年级下册总复习3.统计与概率第一课时统计p97页智慧加油站题)

题意分析:

1.本题首先要对平均数有一个基本认识，即平均数的2倍就是这两个数的和。

2.有了上面的基本认识马上课以得到三个等式，再观察三个等式特点寻找正确解。

3.本题还有一种思路是，把三个平均分数相加可得语、数、英三科总分，再继续思考解决方法。

详解过程:

解法㈠:

语+数=178 ①

数+英=188 ②

语+英=180 ③

由②-③，得

数-语=8 ④

再由①+④，得

2数=186，数=93。

再由①得，语=178-93=85。

由②得，英=188-93=95。

答:语、数、英成绩分别为85分、93分、95分。

解法㈡:

①语+数+英=(89+94+90)×2÷2

=89+94+90=273

②语=273-94×2=85。

数=273-90×2=93

英=273-89×2=95

答:语、数、英成绩分别为85分、93分、95分。

解后反思:

1.解法㈠是由已知信息得到三个等式，再通过等式的加或减，先求出其中一科成绩，再由原得等式中由一个加数求出另一个加数的。

2.解法㈡是由三科总分与两科总分之差表示出某一科成绩的。

2024年9月10日题

48.某公司对A、B、C、D四个项目共投资2000万元，下面是投资金额分布情况与各项目利润统计，其中A项目的利润占总利润的40%。(投资回报率=利润÷投资金额)

1.将两幅统计图补充完整。

2.B项目的投资金额是( )万元，比C项多( )%。

3.B项目的投资回报率为( ),C项目的投资回报率为( )。

4.总投资金额与各项目投资回报率均不变，只调整对B、C两个项目的投资金额，可以使总利润增加52万元吗？如果可以，写出调整方案；如果不可以，请说明理由。(5.3天天练六年级下册总复习3.统计与概率综合练习p101页三题)

题意分析:

1.本题是统计与概率中综合性题目，同时给出了条形和扇形两种统计图，首先要求看懂图，然后既有填图又有计算，对理解题意要求很高。

2.扇形图中要填数据应为100-45-25-10=20，其中直角符号所起作用是B项目占1/4，即25%。

3.条形图中要填数据应为先求出总利润为1200÷40%=3000，再用3000-1200-560-280=960

4.填空2中第一空为2000×25%=500。第二空为(500-2000×20%)÷2000×20%=100÷400=25%。

5.填空3中第一空为960÷500=192%。第二空为560÷400=140%

6.因为B项目投资回报率高于C项目投资回报率，所以B项目增加多少，那么C项目就要减少多少，再列解方程即可。

详解过程:

1.将两幅统计图补充完整。

扇形图中填:100-45-25-10=20

条形图中填:(500-400)÷400=25%

2.B项目的投资金额是( 500 )万元，比C项多(25)%。

3.B项目的投资回报率为( 192% ),

C项目的投资回报率为( 140%)。

4.总投资金额与各项目投资回报率均不变，只调整对B、C两个项目的投资金额，可以使总利润增加52万元吗？如果可以，写出调整方案；如果不可以，请说明理由。

设B项目增加X元，则C项目减少X元，由题意得(500+X)×1.92+(400-X)×1.4=960+560+52。解上面方程可得X=100。所以B项目投资由500攺变为600，C项目由400变为300。

解后反思:

1.本题几乎是小学阶段难度最大的题目，不过这样的题目也才有意思，跟吃饮食一样越品越有味道，最终感觉是会家不难，难家不会。

1.本题不容你有半点含糊的，可以反复看图反复思考，最终应该是透彻理解，只有这样才能过关的。

2024年9月15日题

49.五名跳水运动员本轮的得分从高到低排名如下表所示(无并列成绩)，但是这个表格被弄脏了。已知每名运动员的得分和他们的平均分数都是整数，你知道他们的平均分数吗？(5.3天天练六年级下册总复习3.统计与概率综合练习p102页五题)

题意分析:

1.要求这5个数的平均数，就要首先求出弄脏了看不清的这个数。

2.由题目所给信息应得到两点:❶不清楚的这个数应是83、84、85、86、87当中的一个；❷92+88+82+74+X=336+X的结果中末尾应为0或5。

3.仔细看看这个数只能是84。

详解过程:

设弄脏的这个数为X，则五个运动员得分总数为92+88+X+82+74=336+X。因为这个和是5的倍数，所以这个数是84。所以有

(336+84)÷5=84。

答:他们的平均分数是84分。

解后反思:

1.这个题目表明了对一个题目所给信息的理解是很重要的，并不需要全用列式计算。

2.这里无非是对整数、5的倍数、平均数的理解和应用。

2024年9月20日题

50.甲、乙两车分别从A、B两城出发，相向而行，4小时后相遇，相遇时甲车比乙车少行25%。已知乙车每小时行80km，A、B两城相距多少千米？



题意分析:

1.本题是应用题中最基本最常见的行程问题的一个分支相遇问题，行程问题的基本关系式是路程=速度×时间(及其变形)；而相遇问题基本关系式是全程=共同用时×合速度。

2.本题既可列式计算，也可用方程解法。本题中“相遇时甲车比乙车少行25%”这个关于路程的关系也可变通为“相遇前甲车比乙车速度漫了25%”这个关于速度的关系。

详解过程:

解法㈠: (列式计算)

4×80×(1-25%)+4×80

=320×¾+320=560(千米)

答: A、B两城相距560千米。

解法㈡: (方程解法)

设A、B两城相距X千米，由题意得

①4×80×(1-25%)+4×80=X

(甲行程+乙行程=全程)

②80×(1-25%)+80=X÷4

(甲速度+乙速度=和速度)

解这两个方程均可得X=560

答:AB两城相距560千米。

五日一题(41--50)解法与解析集锦到此结束，后续(51--60)将另文发出，欢迎光临和关注！