EXCEL解奥数题

metoo

EXCEL是在电脑上做表格文件的工具。我们可以利用EXCEL附带的计算功能，解决中小学奥数中常见的一些计算难题，比如一题有多解，需要大量计算的题，同类题的通解，等等。EXCEL计算要用到函数，你只需要会加减乘除，再要用哪项计算，可以用百度搜索对应的函数和用法，现学现卖就够用，不需要熟知EXCEL所有的计算功能。

先看下面这道题：

有30个人，其中有男人、女人和小孩，他们在一家小饭馆里共花了50先令；每个男人花3先令，每个女人2先令，每个小孩1先令；问男人、女人和小孩各有多少?（《马克思数学手稿》）

这道题看起来不难，但符合条件的解太多，计算起来很麻烦。用EXCEL来解，很简单。

设男人、女人、小孩数分别为x、y、z，列方程：

x+y+z=30

3x+2y+z=50

消元得到：

2x+y=20

接下来，在下面的EXCEL工作表中，我们在“x+y+z”下的A3单元格填入“30”，在“x的系数”下的B3单元格填入“2”，在“y的系数”下的C3单元格填入“1”，在“等式右边”下的D3单元格填入“20”。

自动计算的结果即时显现：一共得到11组自然数解。

这是如何实现的呢？

我们从表中第6行第2列“x”之下的B6单元格起依次向下填入数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”……；

在第3列“y”之下的C6单元格输入“=(d3-b6*b3)/c3”；

在第4列“z”之下的D6单元格输入“=IF(c6=INT(c6),a3-b6-c6,“非正整数解””，换成普通话就是:“如果c6格中的数是整数，则d6格的数等于a3格中的30减去b6中的数再减去c6中的数；若不是整数，则在d6格中输入“非整数解””。

实际效果就是，当x=1时，y=（20-2×1)÷1=18；z=30-1-18=11；

x=2时，……

上面输入的函数式中使用了四则运算符号--“+”、“-”、“＊”、“/”和“=”，逻辑函数“IF”，还有整数函数“INT”。

输入第一行的函数后，下面各行函数可以通过向下填充得到，函数式中的“b6”依次自动换成“b7”、“b8”、“b9”、……。

现在我们有了一个解题模板，可以用来自动解同类型题。

如古代《算经》中的“百鸡问题”：

鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡.问鸡翁母雏各几何?(译:每一只公鸡价值是5个钱,每一只母鸡价值是3个钱,每三只小鸡价值是1个钱,现有100个钱想买100只鸡。问公鸡,母鸡和小鸡各应买几只?)

设公鸡、母鸡、小鸡数分别为x、y、z，列方程：

x+y+z=100

5x+3y+1/3z=100

消元得到：

7x+4y=100

我们将模板中需要填入已知条件的四个单元格中的数字分别改为“100”、“7”、“4”、“100”，答案秒出，得到自然数解共4组，见下面的工作表：

接着用EXCEL解题，换一种类型。

迎春杯小学数学竞赛题：

在图中七个小圆圈中各填入一个自然数，同时满足以下要求：

（1）使所填的七个自然数的和是1997；

（2）使图中给的每个数都是相邻两个○中所填数的差。

○

7 1

○ ○

6 2

○ ○

5 3

○ 4 ○

设最上面圆圈内的数为x，其它六个数大于或小于x的那部分数值之和为y，列出等式：

7x+y=1997

上式中，求出y值即可得出x值。

y值是x之外的六个数各自与x的差的总和，因此首先要确定这六个数各自与x的差。七个数中，第一个是x，它和第七个数相差7，即第七个数与第一个数的差是±7。于是有下面这个等式，需要在等式左边的每个数字之间加入加减号，使等式成立。

1 2 3 4 5 6=±7

一共有八种加减号的添加方式，形成八种相邻差的组合，相邻差还要转换成对x的增减值，其和即y值。如此，得到七个不同的y值：

组合1：1+2-3-4+5+6=7

转换成y值：1+3+0-4+1+7=8

组合2：1-2+3+4-5+6=7

转换成y值：1-1+2+6+1+7=16

组合3：1-2-3-4-5+6=7

转换成y值：1-1-4-8-13-7=-32

组合4：-1+2+3+4+5-6=7

转换成y值：-1+1+4+8+13+7=32

组合5：-1+2-3-4+5-6=7

转换成y值：-1+1-2-6-1-7=-16

组合6：-1-2+3+4-5-6=7

转换成y值：-1-3+0+4-1-7=-8

组合7：-1-2+3-4+5+6=7

转换成y值：-1-3+0-4+1+7=0

组合8：1+2-3+4-5-6=7

转换成y值：1+3+0+4-1-7=0

本题给出的总数是1997，我们从上面的组合中找到符合题意的y=16（1997-16能被7整除）。由y=16，计算出x=283。其它六数的值可通过组合二中各数对x的增减值（1-1+2+6+1+7）

计算出来。

整个做题过程很繁琐：先要找到所有的加减符号添加方式，一一转换成y值，并从所有y值中挑选出满足题意的y值，再由y值计算出x值，最后通过符合条件的添加方式计算出其它六个数的值。

下次再遇到这种题时，比如把总数改为8995，其它条件不变。解题的时候，你不可能记住上面所有的加减符号添加方式和y值，你仍然要重复上面的步骤，花费一样多的时间。

下面，我们利用总数除以7的余数、相邻差的加减与y值之间的相互关系，用EXCEL建立一个计算模板。输入总数，秒出答案。

实际计算见下表：

我们在”总数”下的B5单元格中输入数字8995，MOD函数在”余数”下的C5单元格中计算出该数除以7余数为0，用IFS函数确定余数0对应的y值(D5单元格)也为0，并在”x”下的E5单元格中用算术函数自动算出x的值1285。

注：D5单元格中输入的函数公式：

=IFS(C5=1,8,C5=2,16,C5=3,-32,C5=4,32,C5=5,-16,C5=6,-8,C5=0,0)，意思是，如果表示余数的C5单元格中的数字为0-6之一时，则本单元格D5中填入该余数所对应的y值，例如，余数是1，则y值是8。

在接下来的第8-15行的列表中，0-6的七个余数对应着八种加减关系，即八种计算模式。EXCEL的IF函数从中找到余数为0的两种计算模式，并在所在行的B列单元格中自动填入x的值，在C-H列的单元格中根据对应的计算模式计算出后六个数，如此得到七个数的两组解。

注：B列中从上至下8个单元格，以第7个单元格为例，该单元格内输入的函数公式是：=IF(C5=A12,E5)，意思是，如果C5单元格的数值等于A12单元格的数值，则本单元格(B12)的数值等于E5单元格x的数值。

换一个数，比如总数改为998877，答案亦秒出，见下表：

（注：为避免七个得数中出现负数，随机输入的数字应大于66。）

继续用EXCEL解题。

韩信点兵是中小学数学竞赛中常见的一类题，例如，一队士兵，三个三个一排多两个，五个五个一排多三个，七个七个一排多两个，问至少有多少士兵？

这类题属于同余问题，通解用公式法。上题中，几个几个一排就是除以几，几个是除数（数学术语称之为“模数”），多几是余数。

选一道古书中除数(模)多的题：二数余一，五数余二，七数余三，九数余五，问本数。（杨辉：《续古摘奇算法》）

上题中，“二数”是“两个两个一数”的意思。“数”之前的数字二、五、七、九分别是模1(m1)、模2(m2)、模3(m3)、模4(m4)的值，“余”之后的数字一、二、三、五分别是余数1（b1)、余数2(b2)、余数3(b3)、余数4(b4)的值。由于是用EXCEL解题，要适用所有情形，无法使用奥数中的各种灵活解法，而是采用公式法。

设本数为x，通解公式是：

x=模2×模3×模4×乘率1×余数1+模1×模3×模4×乘率2×余数2+模1×模2×模4×乘率3×余数3+模1×模2×模3×乘率4×余数4。

公式看上去很复杂，实际上是由四个相似的乘式相加组成，每一个乘式都是由四个模数中的三个模数相乘，再与乘率以及余数相乘。

乘率不是已知条件，需要计算出来。当四个模数中的三个模数相乘的积除以另一个模数，余数不是1时，需要再乘以一个数，使它们的积再除时余数为1，再乘的这个数就是乘率。以乘率4为例：模1、模2、模3相乘等于70，70除以9（模4），余数为7，不是1。7再乘4等于28，28除以9余1，倒推出乘率4的值是4。乘率1、乘率2、乘率3的确定以此类推。

公式中不同的三个模数相乘的乘积，分别用M1、M2、M3、M4表示，M是四个模数的乘积。乘率1至4，分别用M'1、M'2、M'3、M'4表示。

计算过程见下面的工作表：

本题已知条件共有八个数字，模数2、5、7、9，余数1、2、3、5，分别填入上表中第3行的八个单元格中。第7行中是自动计算出的M、M1、M2、M3、M4的值。

表中第23行以下，第一列A列（试数）从1往下依次加1；

第二列B列，计算出试数乘以M1再除以m1的余数，此处（B23单元格）输入：=MOD(A23*A10,A4)；

第三列C列，当第二列的得数为1时，同一行第一列的试数就是乘率1(M'1)，此处（C23单元格）输入：=FILTER(A23:A43,B23:B43=1)，意思是说，B23到B43范围中的数等于1，则此单元格内的数等于A23到A43范围中相对应的数，即乘率1。

用同样的方法在第五列E列得到乘率2，第七列G列得到乘率3，第九列I列得到乘率4。

乘率1至4的值，我们只取第一行的数，自动填入第13行的四个单元格中。在F16单元格中按照通解公式用算术函数计算出x的一个值；在G16中用MOD函数计算出x的最小值。第19行显示x的所有解，即437、437+630、437+630×2、437+630×3 ………。

再用EXCEL计算下面这道有五个除数（模数）的余数题。

今有数不知总，以5累减之剩3，以715累减之剩538，以247累减之剩174，以391累减之剩109，以187累减之也剩109，问总数若干。（黄宗宪：《求一术通解》）

解同余式组，要求模数两两互质，即任意两个模数中均不得含有除了1之外的共同因数。上题不符合两两互质的要求，需要转化为两两互质并与原式有相同解的形式。

上题原式：

X≡3 (mod 5)

X≡538 (mod 5×11×13)

X≡174 (mod 13×19)

X=109 (mod 17×23)

X≡109 (mod 11×17)

转换为两两互质的形式：

X≡3 (mod 5)

X≡109 (mod 11×13)

X≡3 (mod 19)

X≡17 (mod 23)

X≡7 (mod 17)

”≡”是同余符号。“X≡3 (mod 5)”表示X与3同除以5有相同的余数3。

转换后新的同余式组，用现代文字描述为：自然数x，除以5余1，除以143余109，除以19余3，除以23余17，除以17余7，求x。

自动计算结果见下表：

上表第4行逐一输入模1-模5和余数1-余数5的值。

其中乘率2的计算，计算量较大。用M2除以m2，即37145除以143，得到余数108。用108乘以一个数，使乘积除以143余1，经过从1试算到49才得到M'2的值。由于是自动计算，计算步骤再多也感觉不出来。

上面的EXCEL模板，解锁了这一类同余式方程组的所有题解。需要注意的是，此类题要求模数（除数）两两互质，满足这个条件才能用上面的模板自动计算。

为什么要用EXCEL做题？

计算器是计算工具，普及了计算器之后，笔算和珠算就淡出了。而EXCEL就像一个超级计算器，用了它，计算器就多余了。经常有考试禁止带计算器入场，小学应用题不让用方程解题的规定，这些限制毫无意义。数学是用来解决问题的，解决问题不应当限制工具的使用。