“当且仅当”——聆听王老师讲几何

万仞山

　 上学遇见一位好老师是一生的幸福

今年是第四十个教师节。向教过和没有教过我的老师们致敬。

此文回忆了几何王老师教书的一个片段，以此纪念教师节。

‌ 这是几十年前的一段往事。

那时我正在读初中。数学几何是比较难学的一门课。记得是王老师担任我们的课任老师。曾经讲到过一个概念“当且仅当”。刚接触这个概念时觉得有点抽象有点难理解。王老师用简洁的例子帮助我们理解。

如果两个数相等，那么它们的平方也必定相等，反之也成立。

再比如说等边三角形‌：当且仅当三角形的三个角都相等时，这个三角形是等边三角形。反之亦然。

概而括之，当且仅当‌表示的是‌互为充分必要条件‌，即"A当且仅当B"意味着"A是B的充分条件，同时也是B的必要条件。

王老师当时讲的是否是上面的例子，已经不重要了。但王老师讲课的风采记忆犹新。微胖的中等身材，上课时精神抖擞。声音清脆悦耳，板书书写规范，推理演绎严谨，我们听得津津有味。本来很抽象难懂的几何证明让王老师讲活了。

在王老师耐心认真的教授下，我们学习几何的氛围浓厚，成绩不断提高。课代表主动找来课外题和几个同学练习，提高了更多同学的兴趣。

升入高中后，王老师不再担任课任老师了。我们仍然保持了这股学习热情和钻研劲儿。立体几何，平面解析几何学的同样学的不错。

后来我在学习高数的一阶导数（基本概念）时，同样学到了“充要条件”的应用。比如导数存在的充要条件是：函数在该点的‌左极限和‌右极限存在且相等，并且函数在该点的值等于左右极限的值，则可导（有导数）。反之亦然。

生活中也有很多这样的例子。

若思想品德好、学习好、身体好，就是三好生。反之也一样。

学会应用“当且仅当”，这是老师教给了我们一个重要且有用的解题思路，而且是提升我们逻辑思维的一个重要方法。可以使我们的逻辑思维更加科学，判断更加合理准确，综合归纳能力也会提高。对学习和工作中都有益处。

岁月如梭。传道授业。燃烧自己，照亮他人。王桂荣老师是把教书当成事业来干的人。她勤勉认真，诲人不倦。衷心地感谢老师传授给我们许多知识和科学方法。

万仞兰天2024.09.10

　　这是我初中高中上学的母校。我们曾经在这里聆听王桂荣老师讲几何——“当且仅当”。