<p class="ql-block" style="text-align:center;"><b style="font-size:20px;">数学中群、环、域的严格定义</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">在集合<i>A</i>上定义一个二元运算+：(<i>A</i>×<i>A</i>)→<i>A</i>，把它称为加法。现在有以下这些法则：</p><p class="ql-block">⑴<span style="color:rgb(237, 35, 8);">结合律</span>：对于任意a,b,c∈<i>A</i>有(a+b)+c=a+(b+c)</p><p class="ql-block">⑵存在<span style="color:rgb(237, 35, 8);">单位元</span><b>0</b>使得a+<b>0</b>=a=<b>0</b>+a</p><p class="ql-block">满足⑴,⑵的<i>A</i>被称为<span style="color:rgb(22, 126, 251);">幺半群</span>（monoid）。</p><p class="ql-block">⑶对于每一个a∈<i>A</i>存在<span style="color:rgb(237, 35, 8);">逆元</span>b满足a+b=b+a=<b>0</b></p><p class="ql-block">满足⑴,⑵,⑶的<i>A</i>被称为<span style="color:rgb(22, 126, 251);">群</span>（group）。</p><p class="ql-block">⑷<span style="color:rgb(237, 35, 8);">加法可交换</span>：对于任意a,b∈<i>A</i>，a+b=b+a</p><p class="ql-block">满足⑴～⑷的被称为<span style="color:rgb(22, 126, 251);">交换群</span>（<span style="color:rgb(22, 126, 251);">阿贝尔群</span>）（abelian group）。</p><p class="ql-block">⑸结合律：对于任意a,b,c∈<i>A</i>，a×(b×c)=(a×b)×c</p><p class="ql-block">⑹存在单位元<b>1</b>使得对于任意<span style="font-size:18px;">a∈</span><i style="font-size:18px;">A</i><span style="font-size:18px;">，a×</span><b style="font-size:18px;">1</b><span style="font-size:18px;">=</span><b style="font-size:18px;">1</b><span style="font-size:18px;">×a=a</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;">⑺</span>左右分配律：对于任意<span style="font-size:18px;">a,b,c∈</span><i style="font-size:18px;">A</i><span style="font-size:18px;">，a×(b+c)=a×b+a×c，(a+b)×c=a×c+b×c</span></p><p class="ql-block">满足⑴～⑺的<i>A</i>被称为<span style="color:rgb(22, 126, 251);">环</span>（ring）。</p><p class="ql-block">⑻乘法可交换：对于任意<span style="font-size:18px;">a,b∈</span><i style="font-size:18px;">A</i><span style="font-size:18px;">，a×b=b×a</span></p><p class="ql-block">满足⑴~⑻的<i>A</i>被称为<span style="color:rgb(22, 126, 251);">交换环</span>（commutative group）</p><p class="ql-block">⑼对于每一个a∈<i>A</i>，a≠0存在逆元b使得<span style="font-size:18px;">a×b=b×a=</span><b style="font-size:18px;">1</b></p><p class="ql-block">满足⑴~⑼的<i style="font-size:18px;">A</i>被称为<span style="color:rgb(22, 126, 251);">域</span>（field）。</p><p class="ql-block">对于一个环<i>R</i>的子集<i>I</i>，如果<i>l</i>满足以下两个条件：</p><p class="ql-block">(ⅰ)<i>I</i>是加群<i>R</i>的子群</p><p class="ql-block">(ⅱ)<i>I</i>吸收乘法：对于任意r∈<i>I</i>，a∈<i>R</i>，r×a∈<i>I</i>，a×r∈<i>I</i></p><p class="ql-block">那么<i>I</i>被称作一个<span style="color:rgb(22, 126, 251);">理想</span>（ideal）。</p><p class="ql-block">对于一个交换环<i>R</i>，如果满足以下条件：</p><p class="ql-block">对于任意a,b,c∈<i>R</i>，如果ac=bc，a≠0，那么b=c</p><p class="ql-block"><i>R</i>就被称作一个<span style="color:rgb(22, 126, 251);">整环</span>（integral domain）。</p><p class="ql-block">对于一个阿贝尔群<i>V</i>和一个域<i>F</i>，定义标量乘法<i>F</i>×<i>V</i>→<i>V</i>。如果它还满足以下条件：</p><p class="ql-block">(a)对于任意x∈<i>V</i>，<b>1</b>x=x（<b>1</b>是域<i>F</i>的乘法单位元）</p><p class="ql-block">(b)对于任意a,b∈<i>F</i>，x∈<i>V</i>，(ab)x=a(bx)</p><p class="ql-block">(c)对于任意<span style="font-size:18px;">a∈</span><i style="font-size:18px;">F</i><span style="font-size:18px;">，x,y∈</span><i style="font-size:18px;">V</i><span style="font-size:18px;">，a(x+y)=ax+ay</span></p><p class="ql-block">(d)<span style="font-size:18px;">对于任意</span>a,b∈<i>F</i>，x∈<i>V</i>，(a+b)x=ax+bx</p><p class="ql-block">那么<i>V</i>就被称作一个在<i>F</i>上的<span style="color:rgb(22, 126, 251);">向量空间</span>（vector space）。</p>