五日一题⑶(21--30)解法与解析集锦

海阔天空

文字：海阔天空

图片：原于资料

目的要求和建议

1.“五日一题集锦”的目的是引领一部分有志向的优秀学子在数学这门课上达到遥遥领先，为升入高中后理科学习打下坚实基础，即大幅度提升自学自钻能力，绝对避免升入高中后理科滑坡现象。五日一题集锦既是知识积累又能难点突破，在不知不觉中潜移默化的达到不断开发智力的重要作用和目的。

2.能深刻理解每一道题的解题思路和问题转化方法达到一题多解，更需完整表达解题过程。引导使用者对每一道题都会做到深刻挖掘，因为深刻挖掘1道题可强过简单重复10道题甚至更多。本作法还有一个重要作用就是让“依赖型向自主型转化”、“态度型向方法型转化”，具备更强的挑战和竟争能力。

3.我对本五日一题解法与解析集锦的每一道题目都是按照题意分析、详解过程和解后反思这“三步走”进行的，并将反复修改更新和完善。建议阅读使用本五日一题集锦者可先详读原题，首先自己尝试着分析题意和书写解答过程，适当时候再参考我提供的“三步走”，如果有不解之处必要时还可通过电话，视频通话等方式面对面的跟我交流和沟通，万一你对个别题目没有能力自主完成，但你对我提供的“三步走”能认真阅读和思考达到绝对透彻的理解也能达到预期目的。

几点说明:

1.本五日一题集锦适合于六年级学生中数学基础比较扎实者在第一学期结束前夕开始使用直至初中毕业。

2.据我所知小学和初中阶段普遍配套了人教版【学习与评价】这一套教辅资料非常的好。但我还感觉市面上另有一套北师大版的【5.3天天练】的教辅资料也相当好，特别是每课时练习题中都有一道“智慧加油站”题目很有特色和亮点。一套好的资料需要一个强有力的团队付出大量心血，它自然凝聚着不少名师和佼佼者们的劳动和汗水。故此我就想充分发挥这套教辅资料数学科的不可小觑的作用。

3.本“五日一题集锦”题目主要来源于“5.3天天练”中四至六年级“智慧加油站”栏目、各单元达标练习题中“附加题”、寒署假作业中被我加注了标记的题目，都有一定的深度和难度。说白了就是及早瞄准了中、高考中20℅的所谓的“压轴题”。为了突破难点，在“三步走”中篇幅有意偏大是为了让使用者都能读懂。

上接“五日一题⑵(11--20)解法与解析集锦(2024年2月25日题--2024年4月15日题)。

2024年4月20日题

21.一个圆柱表面积为240dm²，其中底面半径是高的3/5，这个圆柱的側面积是多少平方分米？(5.3天天练六年级下册第一单元“圆柱与圆锥”达标练习附加题)

题意分析:

1.关于圆柱各种面积和体积的题目总体分两种类型:❶对于比较简单的题目，首先要考虑把圆周率π取3.14，先由已知条件求出半径再继续进行。❷对于复杂题目一般把圆周率保留到π，再由已知条件先求出关于π的一个式子的值再继续进行，适当时候可把关于π的式子进行整体代换来达到解决问题的目的。

2.本题作为一个单元达标练习里的“附加题”，不可能很容易凭经验首先考虑第❷种类型。

详解过程:

设圆柱的高为hdm，则底面半径为(3/5)hdm，由题意得

2×π(3/5h)²+2π(3/5h)×h=240

(18/25)πh²+(30/25)πh²=240

(48/25)πh²=240， πh²=125

圆柱侧面积为:

2π×(3/5)h×h=(6/5)πh²

=(6/5)×125=150(dm²)

答:圆柱侧面积为150dm²

解后反思:

1.本题是首先设圆柱的高为h，用含h的式子表示出圆柱的底面半径，再用表面积为240dm²列出一个关于h的方程，最后导出πh²=125，这一切都应该是在认识了这个题目的特点后有目的的进行着，并非冒凑。

2.本题其实也可首先设圆柱的底面半径为rdm²，则圆柱的高为(5/3)rdm²，仍然用上面的方法，肯定能导出一个同时含有π和r的式子的值再继续进行，这就是本题的特点。

2024年4月25日题

22.甲、乙两辆车同时从某地出发，匀速驶向相同的目的地。当甲车行驶了100km时，乙车行驶了80km。两车速度不变，当乙车又行驶了100km时，甲车一共行驶了多少千米？(5.3天天练六年级下册第二单元“比例”p25页第7课时练习二智慧加油站第7题)

题意分析:

1.本题的特点是给了三个量求第四个量，凭经验应该想到用列比例方程求解。

2.在小学数学中，“归一问题”、“倍比问题”都可用列比例方程求解，这些类型的题目均可从题目的叙述方式得出。

解答过程:

解:设甲车一共行驶了X千米，由题意得

100:80=X:(80+100)

80X=100×(80+100)

80X=18000 X=225

答:甲车一共行驶了225千米。

解后反思:

1.方程中(80+100)表示乙车一共走的路程。

2.本题也可设甲后面走了X千米，先列方程求解，再加上前面走的100米。

3.列比例方程时每一个比的前项和后项必须是同类的或同期的两个量。

4.所列比例方程可从不同角度进行理解。

2024年4月30日题

23.在中国铁路12306平台购票后所获得的积分，在一定条件下可以按规定比例兑换车票。王叔叔已经攒了18000乘车积分，还有票价为350元的车票未用，使用后可以计入积分，他一共可以兑换多少元的车了？(5.3天天练六年级下册第二单元“比例”素养练习题p28页五.2题)

积分兑换车票比例规定：

题意分析：

1.在“比例”这一单元有一个很重要的知识点就是列出比例方程求未知数，本题就是其中之一。

2.要列出符合题意的比例方程，首先要理解透彻“积分兑换车票比例规定”。才能列出合理的方程。

详解过程：

解法一：设他一共可以兑换X元的车票，由题意得

1:100=X:(18000+350×5)

100× X=1×(18000+1750)

100X=19750

X=197.5

答:他一共可以兑换197.5元的车票。

解法二：

(18000+350×5)÷100

=(18000+1750)÷100

=19750÷100

=197.5(元)

答：他一共可以兑换197.5元的车费。

解后反思：

1.解法一中列比例方程的本质是如果“积分与车票兑换比例规定”里有怎样的分数或倍数关系，那么具体兑换时积分与车票也有同样的关系，由此可列方程，再按两外项之积等于两内项之积解方程求解。

2.解法二中所列除法算式意思是，总共的积分里包含了多少个100，就能兑换多少元钱。

2024年5月5日题

24.甲、乙两只小昆虫同时从A点爬向B点，当甲虫爬了全程的5/6时，乙虫爬了全程的8/9。已知乙虫的速度是48米/分，甲虫13分可以爬完全程。A、B两点之间的路程是多少米？(5.3天天练六年级下册第二单元“比例”素养练习题p28页五4题)

题意分析:

1.本题要求A、B两点之间的路程，容易看出要先求出甲的速度，因为已知甲虫爬完全程的时间。

2.要求甲虫的速度，由题目前3个数据信息应该想到列比例方程可先求出甲虫的速度。因为在相同时间里，甲、乙两虫爬行的路程和它们的爬行速度成比例。

3.也可按照两虫爬行时间相等列方程。也就是说同一方程可从不同角度去思考和理解。

4.也可按照同类量的倍数不变思考列算式计算求解。

详解过程:

解后反思:

1.解法㈠所列方程既可理解为在同一时间里两虫所爬路程与它们的速度成比例；也可理解为两虫所用时间相等所列。

2.解法㈡所列算式中，前面的“÷”表示甲虫爬行路程是乙虫爬行路程的多少倍，后面的“×”表示甲虫爬行速度也是乙虫爬行速度的多少倍。

3.有了上面第2点理解，实际上也就是解法㈠中所列方程也可变为(5/6)/(8/9)=X/48。

4.无论所列方程还是所列算式都必须有据可依，不应该有丝毫的含糊。

2024年5月10日题

25.有一杯盐水，盐与水的质量比为1:10，放入22g盐后，盐与水的质量比是2:9，杯子中原有盐水多少克？(5.3天天练六年级下册第二单元“比例”达标练习附加题)

题意分析:

1.本题中涉及盐、水、盐水三种物质名称；其中盐叫溶质、水叫溶剂、盐水叫溶液；质量间关系式为盐水=盐+水。

2.盐水往往需要根据需要进行加浓或者稀释，加浓时需加盐，稀释时需加水。无论加盐或加水总有一种保持质量不变的物质。

3.加盐时水的质量不变，加水时盐的质量不变，无论哪种情况，盐水质量都要发生变化。

详解过程:

解后反思:

1.本题解法㈠中所列方程根据的是“加盐前的含水量=加盐后的含水量”。10/(1+10)表示加盐前的含水率，9/(2+9)表示加盐后的含水率。

2.本题解法㈡中所列算式中，2/9-1/10表示盐占水的分率变化量，这个变化量是由加盐22克而来。“÷”表示比较量除以它的对应分率等于单位“1”。这个单位“1”就是加盐前和后不变的水的质量。再×(1+1/10)可理解为原来的盐水中盐水质量比水的质量增加了1/10。

3.本题若改为“放入90g水后，盐与水的质量是为1:15”其它照旧。那么这个题目列式计算为:

90÷(15-10)×(1+10)=198(克)。上式中15-10表示水是盐的倍数变化量。“÷”表示比较真除以对应分率等于单位“1”，这里的单位“1”应是放水前、后不变的盐的质量。后面的1+10表示原盐水比盐的质量增加了10倍。

4.本题给了盐与水之比为1:10，要明白只要知道这两种物质的比，可以随意写出三种物质中任意两种的比或倍分关系。比如水与盐水的比为10:11或盐水是水的11/10或盐水是盐的11倍等。

2025年5月15日题

26.某玩具公司新出了一款形状是等边三角形儿童盾牌，内部镶嵌了一个最大的圆形罗盘，再在罗盘上贴上了一个最大的等边三角形商标(如下图)。已知商标的面积是1.6dm²，你能算出这个儿童盾牌的面积吗？(5.3天天练六年级下册第三单元“图形的运动”第3课时p33页智慧加油站题)

题意分析:

1.本题从图形上看，除了知道内部小三角形的面积是1.6dm²，再无其它信息。按正常题目思考的话要由小三角形的面积先求出圆的半径，再进一步求大三角形的一边及这边上的高。但此法特别麻烦，必须寻找简单方法。

2.本单元标题是图形的运动“平移和旋转”，所以不妨考虑图形的旋转。若将小三角形和圆绕着圆心旋转，使小三角形的每个顶点在大三角形的边上时再进一步思考。

解答过程:

将小三角形和圆绕圆心旋转，使小三角形的每个顶点在大三角形的边上，容易看出小三角形是大三角形的¼，那么大三角形自然就是小三角形的4倍。

1.6×4=6.4((dm²)

答:这个儿童盾牌的面积是6.4dm²。

解后反思:

1.这个题目在进一步的学习中将会用到三角形的几心有关结论和特殊的直角三角形相关知识。

2.现在由于知识所限只能用特殊方法进行解答。

2024年5月20日题

27.下图直角三角形ABC中的空白部分是正方形，正方形顶点D将这个直角三角形的斜边分成两部分。图中涂色部分的面积和是6㎝²，线段DB的长是多少？(5.3天天练六年级下册第三单元“图形的运动”第6课时p37页智慧加油站题)

题意分析:

1.本题给了两个三角形的面积和一条线段的长，求另一条线段，这还是要考虑把问题归结到在一个图形当中，再在该图形中求未知线段。

2.要让上面的三角形跟下面的三角形成为一个图形，若将△ADE绕点D按逆时真旋转90º得到△DAˊF，则涂色部分的面积就是△AˊDB的面积，即6㎝²。可在△DAˊB中求DB。

详解过程:

如上图，把△DAE绕点D按逆针方向旋转90º得△DAˊF。

∵旋转后的图形形状不变，

∴∠1=∠3。

又CEDF是正方形

∴∠1+∠2=90，

∴∠3+∠2=90º

∴△DAˊB是直角三角形。

∴A′D×BD÷2=6

∵AˊD=AD=3

∴BD=6×2÷3=4(㎝)

答:线段DB的长是4㎝

解后反思:

1.在三角形中已知某一条边及其该边上的高和面积，这三个量中知其任何两个都可很快求出第三个。

2.本题实际是在直角三角形形中知道面积和一条直角边求另一条直角边的问题。

3.实际上上面的作法是在有目的的进行着，把不在同一个图形中的条件首先要进行转化，这正需要用到图形的运动。

2024年5月25日题

28.如下图所示，小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20:51，那么实际时间为多少？(5.3天天练六年级下册第三单元“图形的运动”达标练习一.5题)

题意分析:

1.在生活当中，我们每个人都有照镜子的经验，从镜子里看到的自己明显的有一个大特点，当你把右手放在头顶上时，镜子里的你一定左手放在头顶上，这说明镜子里看到的你上下不变，左右交换。

2.那么从镜子里看到的物体也会发生同样的变化，一部分形象的数字也同样，比如2和5都播一笔写成的话2是左上起笔右小落笔，而5是右上起笔左下落笔，刚好符合了上下不变，左右交换。因此从镜子里看见的2原来一定是5；从镜子里看见的5原来一定是2。

答:如下图所示，镜子里看到的电子钟上20:51，实际时间是15:02。

解后反思:

1.我们对照镜子里的时间和实际时间可以认识以下几点:❶镜子里的时间从左向右看而实际时间变为从右向左看；❷也可想像从镜子背面看到的情况;❸还可把镜子里看到的时间沿任意一条竖直线旋转180º后看；❹原来是5的变2，原是2的变5。

2.但要注意的是1、0、8这三个数从镜子里看见的和实际的完全一样。3、4、6、7、9这些数字不可能在这种题目中出现。

2024年5月30日题

29.已知(1/A)×4=¼÷B(A和B均不为0)，A和B是否成正比例？试着用你喜欢的方式说明。(5.3天天练六年级下册第四单元“正比例与反比例”第2课时⑴p42页智慧加油站一题)

题意分析和解答:

1.本题毫无疑问是首先要明白什么是正比例，然后说明题目条件满足条件。

2.因为比值一定的两个变量成正比例，所以可用不同方法说明:❶用列表法给出A的一组数值比如1、2、3、4、5，代入所给式子求得B的一组对应值，再观察A/B的值是不是一定；

❷由所给式子首先用一个字母表示出另一字母，如A=16B，再求A:B=16B:B=16:1=16从而说明A和B成正比例。

❸也可直接把所给式子有目的的变形达到目的。由原式可得

4:A=1:4B 再得A=16B

再得A:B=16:1=16同样说明A和B成正比例。

　　2024年6月5日题

30.两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转动的总齿数是相同的。利用齿轮可以做成下图的传送系统，它由主动轮、从动轮和传送带组成，可将货物从B点传送到A点。

⑴从动轮齿数为24个，主动轮齿数为12个，从动轮和主动轮齿数比为多少？

⑵若主动轮转动12圈，则从动轮转动多少？

⑶假如主动轮每秒转1 圈，这个系统10秒内能把货物从B点传送到A点吗？请计算并说明理由。(5.3天天练六年级下册第四单元“正比例与反比例”p50页素养练习二.3题)

题意分析:

1.动力传动一般有皮带传动和齿轮传动。无论哪种传动都分主动轮和从动轮，皮带传动主要是主、从动轮的直径和转速有关，而齿轮传动主要是主、从动轮的齿数和圈数有关。

2.本题是用齿轮传动做成的传送装置，由已知的两个传动轮的齿数和一个传动轮的圈数求另一个传动轮的圈数，但不同齿轮转动的总齿数相同。这就是解决问题的主要依据。

解答过程:

⑴答:从动轮和主动轮齿数比为2:1。

⑵设从动轮转X圈，由题意得

12×12=24×X

X=144÷24 X=6

答:主动轮转12圈，从动轮转6圈。

⑶1×10=10(圈)

10×(6÷12)=5(圈)

3.14×0.8×5=12.56(m)

因为12.56＞12，所以货物被传送路程超过了12m。

答:这个系统10秒内能把货物从B点传送到A点。

解后反思:

1.由12×12=24X可得24:12=12:X，细观这个比例式有: “主动:从动=从动:主动”。也可以直接利用这个关系解决关于传动轮问题中的有关计算问题。

2.这类问题中，一般都是高转速问题，所以都是主动轮直径大于从动轮直径，这个题目之所以例外，其原因是要求速度不能太快。

五日一题(21--30)解法与解析集锦到此结束，后续(31--40)另文发出，欢迎光临和关注！