引言 <p class="ql-block"> 如果你被关在监狱中,牢房里除了一个让你不至于冻死的可怜的小火盆之外一无所有，你会做什么？ 有人找到了人生新的意义，他从小火盆中捡起几小块木炭，开始在牢房的墙壁上画图验算。两年后，当他离开牢房的时候，随身携带了7个笔记本的手稿。 后来，他利用了这些材料，创立了射影几何学.</p> <p class="ql-block">他利用一切可能利用的时间，或者重温过去学过的知识，或者潜心思考萦绕于脑海的问题。当时监狱的条件很差，有时候连饭都吃不饱，更不会有细笔和书籍了。然而这一切并没有让彭赛列气馁，他用木炭条当笔，把监狱的墙壁当成演算和画图的黑板，哀求给他们送饭的俄国人给他一些废纸来做笔记。就这样，他连续奋斗了400多个日夜，写出了七大本研究笔记.而正是这些字迹潦草的笔记，记述了一门新的数学分支--射影几何的光辉成果！</p> 彭赛列其人 <p class="ql-block"> 彭赛列于1788年出生在法国的梅斯，他曾经在巴黎综合工程学院学习，后来进入了梅斯的军事学院学习。在哪里，他接触了蒙日的画法几何和卡诺的位置几何学。（彭赛列是蒙日的学生）</p><p class="ql-block"> 1812年，彭赛列跟随拿破仑侵略俄罗斯。在莫斯科市长的带领下，莫斯科全民坚壁清野，法国全军覆灭.大家以为彭赛列死去了，就把他弃置在克拉斯诺伊（今俄罗斯境内）彭赛列运气好，被俄罗斯清理战场的人员救出，放在萨拉托夫的监狱里。在狱里，什么工具都没有，彭赛列靠记忆力思考数学题，这反而让他思考前任没有考虑过的问题.他在狱中沉思，于1813年写成而在1822年出版的射影几何学的第一部系统著作《图形的投影性质》。十九世纪射影几何的复兴，以致后来成为数学主流之一，这个短期孤立的环境是有帮助的。</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block ql-indent-1">彭赛列一生的工作和军事工程有关，1815-1825年在梅斯，1825-1835他子啊梅斯应用学院做力学教授，改进了涡轮和水车的设计。1838-1848他在巴黎大学做理科教授，1848-1850他在巴黎综合理工学院做为有将军头衔的指挥官. 彭赛列对人类真正的贡献，是射影几何的重新兴起。十七世纪法国数学家笛沙格及帕斯卡开始研究什么几何性质在投影时保持不变。但是直到彭赛列，才有系统地将距离和角度这些欧氏空间的观念丢开. 彭赛列创立了射影几何学。彭赛列于1814年回到法国，并在1822年发表了在狱中取得的成果《论图形的射影性质》彭赛列《图形的投影性质》的第二卷在1824年出版，而两卷本的第二版则分别出现子啊1865年和1866年。彭赛列曾经做过巴黎综合理工学院的校长，直到他1850年退休为止.他在1862年出版了《分析和几何的应用》作为他早期工作《图形的投影性质》的入门书，第二卷则在1864年出版。在这本书中，他描述了1813年到1814年在萨拉托夫坐牢时他没有任何书本，只是怀念从蒙日及卡诺那里学到的几何学方法，从而发展了射影几何.他的研究兴趣在于几何图形的投影性质，以及几何图形的所有能够从投影得到的性质。当一个图形投影到两个不同的平面时，从一个平面变换到其他一个平面的坐标变换是一个重要的工具。他和合作者写了一篇文章《关于纯几何和代数分析的主要方法之间的协调》，其中的“纯几何”以后叫做综合射影几何.</p> 射影几何 <p class="ql-block"> 射影几何：把无穷远点看作是一个理想点，通常的直线加上一个去穷远点就是一个无穷直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于他们的无穷远点，通过无穷远点的所有直线都平行。有了射影点，蓬塞列又引出了射影几何中的“对偶原理”：平面射影几何中的所有命题都是成堆出现的，因此只要交换点和线两个字，立即就能从特定的命题中的一个命题推出另一个命题.</p> 彭赛列定理 <p class="ql-block">彭赛列闭合定理：平面上给定两条圆锥曲线，若存在一个闭合多边形，外切其中一条圆锥曲线且哪节另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样性质的封闭多边形的丁顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同. 最简明的彭赛列闭合定理表示为：一个三角形外接于一个圆，内切一个圆，则外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个。</p> <p class="ql-block">推论：椭圆内接三角形DEF的内切圆G，过圆锥上任一点A引内切圆G的两条切线分别交椭圆于另两点B，C，则直线BC必是圆G的切线.双曲线内接三角形DEF的内切圆G，过双曲线上任一点，A引内切圆G的两条切线，分别交双曲线于另两点B，C，则直线BC必是圆G的切线.抛物线内接三角形DEF的内切圆G，过抛物线上任一点A引内切圆G的两条切线，分别交抛物线于另两点B，C，则直线BC必是圆G的切线.</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">升华：彭赛列闭合定理展示了基于圆锥曲线关系上的一种“群结构”（group structure）关系——“彭赛列结构”（Poncelet type），表示为：有一个满一种结构的关系存在，则所有都满足这种结构的关系都存在，可以扩展为更为高维的概念，彭赛列闭合定理只是这种结构关系的其中一种。</p> 彭赛列定理证明 <p class="ql-block">定理：当封闭多边形边数n=3时△ABC内接一条圆锥曲线，内切一条圆锥曲线，△DEF外接于外锥线，其DE、DF与内锥线相切，则EF也与内锥线相切.</p> <p class="ql-block">证明：根据帕斯卡定理知EC∩BF∩MN=P（DE∩AB=M，DF∩AC=N），则观察彩色凹六边形EMBCNF，由布列安桑定理（逆）知EF与内锥线相切，得证。</p><p class="ql-block">定理：当封闭多边形边数n=4时四边形ABCD外接一圆锥曲线，内切一圆锥曲线，则有四边形A'B'C'D'同样内接及外切这两条圆锥曲线.</p> <p class="ql-block">定理：当封闭多边形边数n=4时四边形ABCD外接一圆锥曲线，内切一圆锥曲线，则有四边形A'B'C'D'同样内接及外切这两条圆锥曲线.</p> <p class="ql-block">证明：在异于题设所在平面的空间上取一投影点，将右图1（左上）中的AB、CD和AD、BC分别射影为一对平行线（右图1右上），则四边形ABCD为平行四边形，且根据对称性知此时两条圆锥曲线被射影为中心重合的形式，其中心为平行四边形中心O，再将其外圆锥曲线仿射为圆（右图1下），因圆内接平行四边形都为矩形，故利用蒙日圆性质知存在矩形A'B'C'D'满足这样的切接关系，逆射影回原题设，得证。</p> 彭赛列定理一些延伸