比多比少问题的结构化认识

雪莲花

用小华的张数减去小丽的张数，便得到小华比小丽多的张数。为什么用减法计算呢？多数孩子的回答就是：求多出多少张，就用减法计算。如果求“小丽比小华少多少张？”该用什么运算呢?为什么还用减法计算呢？为什么求多多少张和求少多少张，都用减法计算呢？学生们哑口无言了。因此，帮助学生抓住数学问题的本质，形成对该问题的结构化认识，才能形成解决此类问题的能力。一、激活经验：这个比多比少的问题，可以追溯到一年级上册的大小比较问题，如下图：

我们知道自然数可以表示基数和序数两种意义，而比较数的大小是从自然数基数意义的角度进行比较的，所以数的大小就与该数量所包含的物体个数的多少有关。因此，比较数量的大小首先要理解一一对应的思想方法。比如：比较5和3的大小。孩子直接就可以得到答案：5＞3或3＜5。要是问他们为什么，答案就是：5本来就比3大。“5”可以表示五个什么？“3”可以表示三个什么？（5个苹果、5个香蕉、5块糖、┄┄，3棵树、3支铅笔、3把尺子、┄┄）既然5和3可以表示这么多的物体，不如用5个“○”表示五个物体，3个“△”表示三个物体。

这样学生就会直观看到：5个“○”中的3个“○”与3个“△”建立了一一对应的数量关系，也就是同样多的关系。那么，5个“○”中剩下的2个“○”就是比3个“△”多的数量，即5个“○”比3个“△”多2个“○”，也就是5大于3的理由。如果能在孩子的头脑中形成物体数量关系的对应图，那么数量之间的大小关系也就会自然生成，不但知其然而且还能知其所以然。其次，要注意数量大小关系的逆向比较。如：5比3大2，反过来怎样说？不就是3比5小2嘛！可是，孩子的思维不像大人们那样成熟、抽象，他们更乐于直观形象的图形。在这样一个对应图的基础上，去比较数量间的大小关系，不管是正向比较还是逆向比较，都变得简单多了，无非是练习的熟练与否。 

最后，要加强数量大小关系的语言表达。数量大小关系的语言表达一直是学习的难点与易错点，我们不妨从以下三个方面着手训练：一是，低年级学生的语言表达，要建立在直观图形的基础之上。结合直观图形，让他们经历观察、比较、抽象等思考过程，先是用自己的语言，去表达所看到的或所想到的。然后，在老师或家长的指导下，慢慢学着用数学语言进行表达与训练。二是，为了理清思维表达的顺序，可以结合图形进行分段的语言表达。比如：如何用语言表达5和3的大小。① 结合对应图，指出5大还是3大；② 5大，5比谁大；③5比3大多少，用完整的一句话进行表达。在此过程中，要注意多观察、多比较，慢抽象、慢表达，待形成完整的思维认知后，再提高要求。

三是，摒弃直观图形，直接用数字符号进行语言表达。这是在经历前两个层次的训练之后，直接用抽象的数字符号进行训练，对某些学生仍具有挑战性。二、建立模型有了比较数量多少的方法之后，再回到题首的问题“小华比小丽多多少张？”便可以用实物图或线段图表示小华与小丽的画片张数：

从图中，可以直观地观察到小华的画片张数被分成两部分，一部分是与小丽画片张数相同的数量，一部分是比小丽张数多出的数量。这样，小华的画片张数就可以表示成：

换句话说，已知整体数量30张，和其中一部分数量8张，求另一部分数量是多少，所以用减法计算。“小丽比小华少多少张？”，同样也可以把小华的画片张数30张，分成两部分，一部分是与小丽张数相同的数量8张，一部分是小丽比小华少的数量（小华比小丽多的数量）。要求小丽比小华少的数量，就要从整体数量30张里面减去部分数量8张，得到这部分数量。所以也要用减法计算。可见，比多比少问题，是整体与部分数量关系的一种类型。因此，掌握了比多比少问题的本质，再来解决以下易错题就非常容易了。1、①比30多8的数是多少？

②比30少8的数是多少？

2、①30比哪个数多8？ ②30比哪个数少8？随着解题数量的增多，线段图与分合图在大脑中逐渐形成映像，抽象思维能力得到很大的提升，慢慢地就可以做到不画图形也能顺利解题了。三、应用与解决在建立了比较数量大小的简单关系之后，及时的巩固与有层次的练习就十分的必要，因为这是形成知识模型、熟练掌握与灵活应用知识的重要环节。那么，如何设计有层次的练习呢？主要遵循以下原则：一是基础知识的训练；二是适当改变条件或结论进行拓展训练；三是把各方面知识综合在一起进行综合练习；四是灵活应用知识进行提高练习。基础练习：

借助直观图形去判断两种事物之间的数量关系，相对简单些，是基础。拓展练习：

根据数量之间的关系去画图，就是对数量关系的运用，相对有些难度。能力综合练习：

如果孩子能够想到画图进行解答，说明他已经具备了解决这方面问题的基本能力。倘若能把图形映像在大脑中，并没有动手去画图，就解决了问题，说明他不但具备解决这方面问题的能力，而且已形成初步的抽象思维能力，这与平时的这方面训练是分不开的。思维提高训练：

根据条件五角星比笑脸多2个，如果先画多出的2个五角星，那么两种图形就剩下6个了，并且是同样多的，因此每种图形各3个。这样五角星就有5个，笑脸有3个。可见，要解决这个问题，不但要求孩子熟练掌握对应图，清晰理解事物数量之间的关系，而且要知道从哪个条件开始入手解答，可以说是对孩子思维能力的一次挑战。