五日一题⑵(11--20)解法与解析集锦

海阔天空

文字：海阔天空

图片：源于资料

我为什么要这样做？

关于这个问题我在“五日一题⑴(1--10)解法与解析集锦”一文里已有过2087个文字的详尽阐述，在此不必再叙。只需再重申一点，本人对“五日一题解法与解析集锦”的搜寻和撰编纯属是人有所爱和乐趣展现、与人为善和爱心奉献，毫无任何利益所图。

目的要求和建议

1.“五日一题集锦”目的有四：❶引领一部分有志向的学子在数学这门课上达到遥遥领先，为升入高中后理科学习打下坚实基础，即大幅度提升自学自钻能力。❷“五日一题集锦”既是知识积累、又能难点突破，在不知不觉中潜移默化的达到不断开发智力的重要作用。❸让小学和初中学段由“依赖型向自主型转化”、“态度型向方法型转化”，绝对避免升入高中学段后理科滑坡现象。❹题目选择及早瞄准中、高考中20℅所谓的“压轴题”，这应该是本作法的最终目的。

2.“五日一题集锦”的根本要求，是能深刻理解每一道题的解题思路和问题转化方法甚至一题多解思路，更要能完整的表达出解题过程。引导使用者对每一道题都做到深刻挖掘，因为深刻挖掘1道题可强过简单重复10道题甚至更多，说白了深刻挖掘就是把别人的认知真正变为自己的认知。我对本五日一题解法与解析集锦的每一道题目都是按照题意分析、详解过程和解后反思这“三步走”进行的，这本身就是为题目的深刻挖掘在引路。

3.建议阅读使用本五日一题集锦者可先详读原题，首先自己尝试着分析题意和书写解答过程，适当时候再参考我提供的“三步走”，如果有不解之处必要时还可通过电话，视频通话等方式面对面的跟我交流和沟通，万一你对个别题目没有能力自主完成，但你对我提供的“三步走”能认真阅读和思考达到绝对透彻的理解也能达到预期目的。

几点说明:

1.本五日一题集锦适合于六年级学生中数学基础比较扎实者在第一学期结束前夕开始使用直至初中毕业。

2.每遇逢5逢10日都有一题，但发题日期为提前两日的逢3逢8日，要求使用者自己钻研解答后在逢5逢10日反馈给我，我会在第一时间更新本“五日一题集锦”显示出我对本题的解法解析及深刻挖掘全过程以供参考对照。

3.为了达到前述目的，本五日一题集锦题目主要来源于“5.3天天练”中四至六年级“智慧加油站”栏目、各单元达标练习题中“附加题”、寒署假作业中被我加注了标记的题目，都有一定的深度和难度。为了突破难点，在“三步走”中篇幅有意偏大是为了让人人都能读懂。

上接“五日一题⑴(1--10)解法与解析集锦(2024年1月1日题--2024年2月20日题)。

2024年2月25日题

11.工人师傅从一块边长为10dm的正方形钢板上切割出下图中的涂色部分。求这块钢板的使用率。(“5.3天天练”六年级上册第四单元“百分数”第二课时“智慧加油站”一题)。

题意分析:

1.在小学数学中，有一个重要题型就是求阴影部分的面积，在这个题目中只是把阴影变为涂色而已。求阴影面积首先要把问题转化为基本图形面积的加或减或乘或除。本题中若连结AB、CD，不难看出基本图形无非就是正方形、圆、扇形(这里应是¼圆所在的特殊扇形，共有8个)。

2.细观图形容易看出: 以正方形中心为圆心的4个扇形正好是一个整圆；再以正方形的各顶点为圆心的4个扇形正好也能拼成一个整圆，这两个整圆大小完全相等。

3.细观图形进而看出: 前整圆包括涂色部分和中部的空白面积；后整圆包括涂色部分和边部的空白面积。

4.正方形的面积毫无疑问就等于两个空白部分面积与涂色部分面积的和。若把两个整圆加起来，自然也包括两个空白部分与涂色部分的面积，只不过涂色部分多加了一次。

5.上面分析最终得出一个结论，涂色部分面积就等于两个整圆面积的和减去正方形的面积，到此为止问题已显而易见了。

详解过程:

解:①连结AB、CD，由图可知涂色部分面积为:

3.14×(10÷2)×(10÷2)×2-10×10

=157-100=57(平方分米)。

②这块钢板使用率为:

57÷100×100℅=57℅

答:这块钢板的使用率为57℅。

解后反思:

1.本题重点不在计算过程而在于对图形的观察和问题的转化，求阴影面积往往都是不规则的图形，首先要转化为基本图形的和差倍分再进行计算。

2.基本图形都有面积公式，只需按部就班进行即可。

2024年2月29日题

12.护眼灯现售价是135元，比原价降低了15元，现售价比原价降低了百分之几？(六年级上册寒假作业54页三题)。

题意分析:

1.在百分数这一单元有一最常见题型就是“求一个量比另一个量提高或降低了百分之几”。

2.此类问题有章可循，计算公式是:大小二量的差÷“比”字后的标准量×100℅。

3.本题中大小二量的差为15，“比”字后的标准量为:原售价135+15=150。问题至此已显而易见了。

解答过程:

15÷(135+15)×100℅

=15÷150×100℅

=0.1×100℅

=10℅

答:现售价比原价降低了10℅。

解后反思：

1.本题是百分数这一单元中很重要的知识点，但计算方法有固定模式，即两个不等量的差÷“比”字后面的标准量×100%。

2.但这类问题在题目叙述方式上有很大的变化空间，所列算式区别比较大，但万变不离其宗，关键是找准标准量(单位“1”)。

2024年3月5日题

12.学校田径队设计了一种相互之间联络方式，一旦有事，先由教练同时通知两位队长，这两位队长再各自同时通知两名同学，每名同学再同时通知另外两名同学，依次类推。如果每人通知另外两人共需1分钟，那么6分钟可以通知多少名同学？(六年级寒假作业52页三题)。

题意分析:

1.第1分钟可通知到1×2=2人(2¹人)，第2分钟可通知到2×2=4人(2²人)，第3分钟可通知到4×2=8人(2³人)，第4分钟可通知到8×2=16人(2⁴人)……，那么第6分钟就应该是2⁶人(如下图所示)。

2.把每一分钟通知到的人累加起来，就是6分钟通知到的所有人数(如下图所示)。

解答过程:

2+4+8+16+32+64=128(人)

答:6分钟可以通知128名同学。

解后反思:

1.本题需要找规律，第几分钟就能通知2的几次方个人，这就是本题的规律。比如第10分钟可通知2的10次方个人，即10分钟内可通知2+4+8+16+ ……+1024=2048(人)(2的1次方到2的10次方的和)。

2.如果把原题改为第6分钟可通知多少名同学，那么计算结果应为: 2⁶=2×2×2×2×2×2=64(人)

3.如果把本题改为每个人满1分钟可通知3个人，那么用同样的方法规律可计算出在6分钟可通知的同学数为:3+9+27+81+243+729=1092(人)(3¹到3⁶的和)。

注:上面1、3两种都是假设，实际上学校田径队不可能有那么多的人。

2024年3月10日题

13.有一筐鱼连筐重38千克，第一次卖了一半，第二次又卖了剩下的一半，鱼连筐重14千克。问现在还剩多少千克鱼？鱼筐重多少千克？(由六年级上学期寒假作业55页趣题“买鱼”修改而成)。

题意分析：

1.要求还剩几千克鱼，首先要求出原有的和卖出的。

2.卖出的显然是38-14=24，而原有的应是本题的单位1。

3.要求单位“1”，只要知道24的对应分律问题就解决了。

详解过程：

解法一：分步解法。

①38-14=24(千克) (卖出的)

②24÷(1-½-½×½)

=24÷¾=32 (千克) (原有的)

③ 32-24=8(千克) (剩下的)

⑶14-8=6(千克)或38-32=6(千克)(鱼筐重量)

答：现在还剩8千克鱼。鱼筐重6千克。

解法二：列综合算式计算

①剩余的鱼的千克数:

[(38-14)÷(½+½×½)]×

(1-½-½×½)

=[24÷¾]×¼=32×¼=8(千克)

②鱼筐的千克数:

38-32=6(千克) 或14-8=6(千克)

答：现在还剩8千克鱼，鱼筐重6千克。

说明：综合算式①中，第一个“÷”是由比较量求标准量；第二个“×”又是由标准量求另一比量。

解法三：用方程解法

设原有X千克鱼，则鱼筐重(38-X)千克，现在还剩14-(38-X)千克，由题意得

38-½X-½×½×X=14

38-14=¾X

¾X=24

X=32

¾X =24

X=32

则 38-X=6 她14-6=8

答：现在还剩8千克鱼，鱼筐重6千克。

解后反思：

1.本题第一种解法是分步进行，比较简单直观易懂，但第二步是分率公式的基本应用，应该一清二楚才是道理。

2.第二种综合算式，关键的是对算式①的理解，对“÷”、“×”的作用的理解，这是对“分率公式的”两种应用，更需明白的是标准量、比较量、对应分率之间的关系。这里包括卖出量的对应分率和剩余量的对应分率，都应深刻理解。

3.第三种解法关键是设出恰当的直接未知数和间接未知数，这个题的解法是对已知的两个数据利用的恰到好处。

2024年3月15日题

14.六年级有男生135人，男生人数比女生人数少10%，六年级一共有多少人？(六年级上学期完寒假作业第50页五.1题)。

题意分析：

1.本题是“百分数”、“百分数的应用”这两单元中一个很重要的知识点，即求一个数比另一个数多或少百分之几。

2.这个知识点有固定模式，即用两个数的差除以单位“1”，再乘以100%，这里关键是怎样找到单位“1”。

3.本题中“比”字是关键词，后面的女生人数就是单位“1”。

4.本题是个逆行思维问题，把本来要求的10%先告诉你，反过来要求六年级一共有多少人，所示可利用这类问题的模式用方程求解，只是不用再乘100%了，因为乘100%的作用只是为了把小数化成百分数。

详解过程：

解：设六年级一共有X人，则女生人数为X-135，由题意得

[(X-135)-135]:(X-135)=10:100

(X-270)×100=(X-135)×10

100X-27000=10X-1350

100X-10X=27000-1350

90X=25650

X=285

答：六年级共有人数285人。

说明：

1.本题是把“÷”变为“:”，然后用两外项之积等于两内项之积进行。

2.也可把“÷”换成分数线，按交叉相乘结果相等进行。



解后反思：

1.本题设未知数是采用的直接未知数，即问什么设什么。相对所列方程和解法要复杂些。

2.本题也可设间接未知数，所列方程可能相对要简单些，比如先设女生人数为X，则全班人数为135+X。所列方程应为

(X-135):X=10:100，显然方程和解法都简单的多。

2024年3月20日题

15.要从6名同学中选出2名同学参加“迎新春相声大赛”，有多少种不同的组队方案？(六年级上学期结束寒假作业上第50页第二题)

题意分析：

1.在实际应用中，多个球员进行单循环赛场次数、多个人互相握手次数、多人中两两组队队数、直线上若干个点每两点之间的线段条数等这都是同一类问题。

2.本题最关键的是，每个人都要跟除自己外的所有人组成一队，显然是6-1=5，即每个人都要组到5个队中，那么6个人自然要组6×5=30。但这里要注意到，当张三组的时候要跟李四，而李四组的时候要跟张三，这两个队实际上是同一个队，显然每一个队都算了2次。为了避免同一个队算2次，只需除以2即可。

3.这类问题一般都有计算法、列表法、画图法三种。

详解过程：

解法一：计算法

6×(6-1)÷2

=6×5÷2

=30÷2=15(个)

答：有15种组队方案。

解法二：列表法

由下表可知：5+4+3+2+1=15(条)

解法三：画图法

由下图可知：5+4+3+2+1=15(条)。

解后反思：

1.如果6张卡片上的数字每两个数字组成一个数，那么一共能组成多少个数？这个问题好像跟上面题目很接近，但并不一样。因为两个人交换顺序还是同一个队，但两个数字交换顺序就不是同一个数了。

2.计算结果应为：

6×(6-1)=30(个)

2024年3月25日题

16.如下图所示，阴影正方形面积是2㎝²，以这个正方形对角线为边做第二个正方形；再以第二个正方形的对角线为边做第三个正方形；照此法依次做下去，请找出规律填写下表。(六年级上学期末寒假作业p54页探索规律题)

题意分析：

1.仔细观察图形可以发现，第二个正方形是第一个正方形的2倍，依次类推每个正方形都是前面正方形的2倍，可以填出序号为1、2、3、4、5对应的每一个正方形的面积分别是多少。

2.再仔细观察得到的每一个数又可以发现，所有数都是2的多少次方，可以依次写成：2¹、2²、2³、2⁴、2⁵。这就可以继续填表。

再仔细观察得到的每一个数可以发现，所有数都是2的多少次方，可以依次写成2¹、2²、2³、2⁴、2⁵。这就可以继续填表。

解后反思：

1.本题属于探索规律题目，首先要抓住每一个正方形跟前面的正方形的关系，找出一定的规律。

2.进一步要找出每一个数跟第一个数的关系，最终能发现都是2的多少次方。

2024年3月31日题

17.下图中的长方形与两个完全相同的圆形可以组成一个圆柱，你能算出这个圆柱的体积吗？(六年级下册5.3天天练第一单元“圆柱与圆锥”第5课时“智慧加油站”一题)。

题意分析：

1.细观图形可以发现，长方形的长就是圆柱的底面周长=6.28r，长方形的宽就是圆柱的高=4r，只要能求出圆柱底面半径r问题就解决了。

2.这自然要想到要用41.4㎝跟圆柱底面半径的关系先求半径本，还要想到圆柱体积=底面积×乘高。

详解过程：

解：由图可知

2r+6.28r=41.4

8.28r=41.4

r=5

圆柱体积为：

3.14×5²×4×5=1570(㎝³)

答：这个圆柱的体积为1570㎝³

解后反思：

1.本题首先应从分析法的角度知道要求圆柱体积需要先得到底面半径。

2.再从综合法的角度要想到把41.4跟底面半径r联系起来，即由(2+6.28)r=41.4能得到底面半径的大小。

3.需要的正好能得到这就是解决问题的基本思路和方法。

2024年4月5日题

18.沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据从一个容器漏到另一个容器的沙量来计量时间的。如图所示，如果再过1分，沙漏上部分中的沙子就可以全部漏到下部分，那么现在已经计量了多少分？(5.3天天练六年级下册第一单元“圆柱和圆锥”第7课时“智慧加油站”一题)。

题意分析：

1.细观图形可以发现，本题就是由上下两部分的沙量的多少来类比计算时间的。

2.上面的沙量可以直接按圆锥体积公式计算，而下面的沙量应有全圆锥与上部圆锥体积的差表示出来。

3.用上面沙量÷1=每分钟漏沙量。

4.用下部分沙量÷每分钟漏沙量=已经计量了的时间。

详解过程：(分步计算)

①上部分沙量对应的体积：

3.14×(2÷2)²×3÷3

=3.14(㎝³)。

②下部分沙量对应的体积：

3.14×(8÷2)²×12÷3

-3.14×(4÷2)²×(12-6)÷3

=200.96-25.12=175.84(㎝³)

③已计量时间为：

175.84÷(3.14÷1)

=175.84÷3.14=56(分)

答：已经计量了56分。

解后反思：

1.本题观察图形理解题意是一个最重要的环节，只要弄明白题的正确思路后，就可以按部就班的计算各部分沙量的体积了。

2.能得心应手的计算出上、下两部分体积应是一个基本功，应不厌其烦的动手才行。

3.分步计算③的理解也很重要，应明白栝号内“÷”和栝号前“÷”各自的作用，才能真正理解这个算式的意思。

4.其实这个算式也可先设已计量时间为X，列比例求解更好理解些。即3.14:1=175.84:X，再由3.14×X=1×175.84 得X=56

2024年4月10日题

19.把梯形ABCD分割成一个平行四边形(如下图)，已知梯形的面积是40㎝²，BE:EC=2:3,三角形CDE的面积是多少平方厘米？(5.3天天练六年级下册第20页第二单元“比例”第3课时“智慧加油站”一题)

题意分析：

1.本题要求△CDE的面积，而又给出了梯形ABCD的面积，显然就是要寻找这两个图形的面积之间的关系。

2.怎样才能把BE:EC=2:3这个条件用上是这个题目的关键，如果把BD连起来，立即应看出左右两个三角形面积的比为2:3，又可得出平行四边形与△CDE面积的比为4:3，还可得出梯形与△CDE面积的比为7:3，显然可以得到40×(3/7)=120/7(㎝²)

解后反思：

1.本题的知识点应是同底等高或等底等高的两个三角形面积相等，所以这样的两个三角形面积的比和两个底边的比都等于1:1，这就引伸到等高三角形面积的比等于两个底边的比这个结论，本题正是用到了这一结论。

2.要求的是三角形面积，已知的是梯形面积，要沟通这二者之间关系所连结的BD叫辅助线，新得到的三角形和原三角形就是同高三角形，所以它们的比就等于BE:EC=2:3。

3.这里在沟通几个图形面积关系时也可用份数的思想考虑问题更显得简单明了。

2024年4月15日题

20.第八颗北斗导航卫星由“长征三号甲”运载火箭送入太空预定轨道。火箭总长度为50米，下图为监控系统先后间隔2秒拍摄到的火箭点火后竖直向上做直线运动时所处位置的照片。(5.3天天练六年级下册第二单元“比例”素养练习五.3题第28页)

⑴要将照片上的火箭按2:1的比放大画在图纸上，该图的比例尺是多少？

⑵在这2秒内火箭向上运动的路程约为多少米？火箭的平均速度约为多少？

(下图应理解为竖直向上才合题意)

题意分析：

1.本类问题首先应明白照片本身是有比例尺的。图中线段式比例尺就是照片的比例尺。

2.图中的线段式比例尺，图上2㎝表示实际50m=5000㎝，所以照片的数字式比例尺应为2:5000=1:2500，也称摄像比例尺。

3.按2:1放大应理解为在原比例尺中，图上长度变为2倍，而实际长度不变，现在比例尺自然应为：1×2:2500×1=1:1250。

详解过程：

⑴用两个步骤完成：

①把线段式变为数字式为：

2㎝:50×100㎝=1:2500。

②按2:1放大的比例尺为：

1×2:2500×1=1:1250。

⑵①2秒火箭向上运动路程为：(6-2)×2500=10000(㎝)=100(m)。

②100÷2=50(米/秒)

答：按2:1的比例放大在图纸上比例尺为1:1250，这2秒火箭向上运动的路程约100米，平均速度为约50米/秒。

解后反思：

1.首先不能低估本题的难度，我也费了很大的劲，也包括本题的参考答案也是避重就轻，只有答案没有过程少有信服度。

2.本题需要多动脑少动手，因为外围思考几乎占了主要，不细心者还会误认为原题没给比例尺，其实是线段式比例尺，也应该是关于照片或说摄影的。

3.线段式变为数字式首先统一单位，其次都要化成分子为1的最简比才是比例尺。

五日一题(11--20)解法与解析集锦到此结束，后续(21--30)另文发出，欢迎光临和关注！

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