《学习笔记》分享小学数学部分精品例题归纳＆解析

辛钰明

从《精品文档小学数学典型应用题归纳汇总30种题型》中选择了几种常用题型例题，不仅对小学生学习数学有所帮助，还能激发他们对学习数学的兴趣和提高其思维能力。这些题对老年人提高大脑活力和思维能力也有一定好处和帮助，为此对有些不常用的和偏题就没有被纳入，而是有针对性的选择了以下十二种常用题型，通过改编和添加插图保存到该篇中以便于学习和参考。01归一问题 02归总问题 03和差问题 04和倍问题 05差倍问题 06相遇问题 07追及问题 08年龄问题 09牛吃草问题 10鸡兔同笼题11幻方问题 12构图布数问题 1, 归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例1 ，买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.6÷5＝0.12（元） （2）买16支铅笔需要多少钱？ 0.12×16＝1.92（元） 列成综合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元） 答：需要1.92元。 2 , 归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1份数量×份数=总量 总量÷1份数量=份数 总量÷另一份数=另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？ 解:（1）这批布总共有多少米？ 3.2×791=2531.2（米） （2）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8=904（套） 列成综合算式 :3.2×791÷2.8=904（套） 答：现在可以做904套。 3 , 和差问题 【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数=(和＋差)÷ 2 小数=(和－差)÷ 2 【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 解:甲班人数=(98+6)÷2=52(人)乙班人数=(98-6)÷2=46(人) 答：甲班有52人，乙班有46人。 4，和倍问题 【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和÷(几倍+1)较小的数 总和-较小的数 = 较大的数 较小的数 ×几倍 = 较大的数 【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？解 :(1)杏树有多少棵？248÷(3＋1)=62(棵) (2)桃树有多少棵？ 62×3=186(棵) 答：杏树有62棵，桃树有186棵。 5 ,差倍问题 【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差÷(几倍-1)=较小的数 较小的数×几倍=较大的数 【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解 :（1）杏树有多少棵？ 124÷(3-1)=62（棵） （2）桃树有多少棵？ 62×3=186（棵） 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。 6，相遇问题 【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】相遇时间=总路程÷(甲速＋乙速) 总路程=(甲速＋乙速)×相遇时间 【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。………………例(由于该题比较典型故选此题): 甲乙二人同时从两地骑自行车相对而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。 解 : “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)两地距离=(15＋13)×3=84(千米) 答：两地距离是84千米。 7，追及问题 【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速)×追及时间 【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 解 :(1)劣马先走12天能走多少千米？75×12=900(千米)(2)好马几天追上劣马？ 900÷(120-75)=20（天） 列成综合算式 75×12÷(120-75)=900÷45=20(天) 答：好马20天能追上劣马。 ……………………………………例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 :小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40×(500÷200)]秒，所以小亮的速度是 (500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3米/秒 答：小亮的速度是每秒3米。 8，年龄问题 【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解 35÷5=7（倍）(35+1)÷(5+1)=6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。 例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？ 解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37-7=30（岁） (2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷(4-1)-7=3(年)列成综合算式 (37-7)÷(4-1)-7=3(年) 答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？ 解今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，今年二人的年龄和为 :49＋3×2＝55（岁）把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于(4+1)倍，因此，今年儿子年龄为 55÷(4+1)=11（岁） 今年父亲年龄为 11×4=44(岁) 答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。 例4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？解 :这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析： 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析： 表中二个＂□＂表示同一个数，表中二个＂△＂表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，因此二人年龄差为 (61-4)÷3=19(岁) 甲今年的岁数为 △=61-19=42(岁) 乙今年的岁数为 □=42-19=23(岁) 答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁 9，“牛吃草”问题 【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？ 解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答： （1）求草每天的生长量 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1x10x20=原有草量÷20天内生长量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天内草总量 5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头） 答：需要5头牛5天可以把草吃完。 例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？ 解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时） 答：17人2小时可以淘完水。 10 ，鸡兔同笼问题 【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2） 假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2） 第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2） 假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解 例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解假设35只全为兔，则鸡数=（4×35-94）÷（4-2）=23（只）兔数7=35-23=12（只）也可以先假设35只全为鸡，则 兔数=（94-2×35）÷（4-2）=12（只）鸡数=35-12=23（只） 答：有鸡23只，有兔12只。 例2（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？ 解假设100只全都是鸡，则有 兔数=（2×100-80）÷（4+2）=20（只）鸡数=100-20=80（只）答：有鸡80只，有兔20只。 　例3，有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？ 解假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人） 共有大和尚 100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。 11，幻方问题 【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和＝45÷3＝15 五级幻方的幻和＝325÷5＝65 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。 例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。 设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）+（4－1）Χ＝15×4 即 45＋3Χ＝60 所以 Χ＝5 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。 例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。解 只有三行，三行用完了所给的个数，所以每行三数之和为 （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18 假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3 最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4 最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4 最大数是7： 18＝7＋6＋5 刚好写成8个算式。首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。 9 4 5 2 6 7 8 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。10 3 最后确定其它方格中的数。如图。 ⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️⬇️以下另补充4阶幻方的二种制作方法 12，构图布数问题 【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。 例1 :十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。 解符合题目要求的图形应是一个五角星。4×5÷2=10因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。 例2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。 解 :符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。 　　例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。解 :符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。 4×3－3＝9