小学数竞：出题容易解析难，标准答案不标准

metoo

闲来无事，找小学数学题来做，挑了几道数学竞赛中带有趣味性的题。

做完之后，会去看看试卷后附的标准答案。结果令人失望，看到的推导既不严谨，过程也不完整，标准答案不标准。

于是存下一个疑问：出题人只管出题，不提供标准答案吗？

先看一道题。

北京市第十三届迎春杯小学数学竞赛初赛第12题：

在图中七个小圆圈中各填入一个自然数，同时满足以下要求：

（1）使所填的七个自然数的和是1997；

（2）使图中给的每个数都是相邻两个○中所填数的差。

○

7 1

○ ○

6 2

○ ○

5 3

○ 4 ○

这类题，出题很容易。随便换一个数作为七数之和都有解。但解题就不那么容易了。

通常我们会建立一个方程式。如本题，设最上面圆圈里的数为x；其它六个数大于或小于x的那部分数值之和，设为y。列方程显示以下关系：

7x+y=1997

此题难点在于y值的确定，需要将已知相邻两数之间的差转换为对x的增减值(它们的和可称之为“待选y值”)；同时还要从多个待选y值中找到能使本题中7x+y=1997成立(即x为正整数)的y值。因为计算量大，考生在规定时间内做出正确答案有难度。

我们先看看试卷后附的解题方案，一般是出题人给出的答案，作为判分的参考，通常被视作标准答案。

【解答】解：设最上面的数为A，由题意得：因为1加到7的和是28，所以加号的是14，减号的是14；

那么：1-2-3-4-5+6+7＝0，即：

A+1-2+3+4-5+6-7＝A，

这样七个数分别为A，A+1，A+1-2＝A-1，A+1-2+3＝A+2，A+6，A+1，A+7，则：

7A+16＝1997

A＝283

（以下略）

以上解答，得数对，但过程不对。解题中1-2-3-4-5+6+7=0跳到A+1-2+3+4-5+6-7=A这一步，将前式中的“-3”、“-4”、“+7”改变成相反符号，没有推导，毫无逻辑。

我们解释一下为什么两式前后不一。

上面的解答中，前式1-2-3-4-5+6+7，得到相应的对x值的增减值是：1-1-4-8-13-7+0=-32；后式1-2+3+4-5+6-7，转换得到1-1+2+6+1+7+0=16。前式的y=-32，代入方程7x+y=1997，x没有正整数解。看来出题人知道答案，却不知正确的解题步骤，只好在后式中通过改变数字的正负号，试出本题答案。

下面我们展示一下此类题的解法。

由图示可以看出，自x的下一个数起，经过相邻差1到6的加减后，第6个数必是x+7或x-7。这相当于在六个数字之间添上加减符号，使等式成立的简单数学题，即：1 2 3 4 5 6=7；1 2 3 4 5 6=-7 (消去了等式两边的x)，只不过本题不仅要得到所有的添加方式，还要将相邻两数差转换为对x的增减值。

先来看看有几种加减符号添加方式？

1到6的数字和是21，根据题意，加减后第6个数的得数是7或-7。如此，21的搭配方式有14-7=7和7-14=-7两种。

先看14-7搭配：在1+2+3+4+5+6全是加号的情况下，将其中数字和等于7的数字变成负数，即满足结果等于7的要求。这样变负数的数字组合有四种：-1-6；-2-5；-3-4；-1-2-4。

接下来，要将各组合中后数对前数的增减值转换成对x的增减值。转换结果如下：

(-1-6)：-1+2+3+4+5-6

转换：-1+1+4+8+13+7=32

(-2-5)：1-2+3+4-5+6

转换：1-1+2+6+1+7=16

(-3-4)：1+2-3-4+5+6

转换：1+3+0-4+1+7=8

(-1-2-4)：-1-2+3-4+5+6

转换：-1-3+0-4+1+7=0

四个组合得到四个待选y值，其中，只有“-2-5”组合y=16符合本题题意。代入方程得到：7x+16=1997，解得x=(1997-16)÷7=283。

七个数按照“1-2+3+4-5+6”的相邻数加减关系计算，依次为：283，284，282，285，289，284，290。

此类题型中，总共有八种相邻差的组合，除了上面14-7搭配的四种，7-14搭配也是四种，即：

(+1+6)：1-2-3-4-5+6

(+2+5)：-1+2-3-4+5-6

(+3+4)：-1-2+3+4-5-6

(+1+2+4)：1+2-3+4-5-6

以上组合经过换算，也得到四个待选y值：0、-8、-16、-32。与上述14-7搭配的四个待选y值合在一起，全部待选y值共有七个：0、±8、±16、±32。

这七个y值，涵盖了此类题的所有情况，分别对应以下七种情形：

1. 七数和被7整除，y=0，适用“-1-2+3-4+5+6”和“1+2-3+4-5-6”两种组合。

2. 七数和除以7余1，y=8，适用“1+2-3-4+5+6”组合。

3. 七数和除以7余2，y=16，适用“1-2+3+4-5+6”组合。

4 七数和除以7余3，y=-32，适用“1-2-3-4-5+6”组合。

5. 七数和除以7余4，y=32，适用“-1+2+3+4+5-6”组合。

6. 七数和除以7余5，y=-16，适用“-1+2-3-4+5-6”组合。

7. 七数和除以7余6，y=-8，适用“-1-2+3+4-5-6”组合。

如将本题型中相邻数的七个差改换成差大于1的等差数列，也能用相同的方法得到七个待选y值，轻松完成解题。

本题要求解出7个得数，计算中要多次转换，比较麻烦，用EXCEL函数自动计算相当方便，计算方法在文后介绍。

再来看同一届数学竞赛决赛中的一道题。

第十三届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题第一部分第6题：

图中的六条线分别连接着九个○，其中一个○里的数字是6。请你选九个连续自然数（包括6在内），填入○内，使每条线上各数的和都等于23。

先看试卷后附的参考答案。

参考答案正确地计算并推导出九个连续自然数是4到12，并确定最右边竖线上的两数只能是11和12，分别设为x和y。中层的两个未填入数字，左边的设为c，右边的设为f。

答案接着推导，7若不是与x或y在一条线上，则23-7=16，只能表示成10+6，而过7的线却有两条，所以必须f=7。

它的意思是说，如果f≠7，则c=7。此时7可以和10、6在一条线上，但无法和9、7在另外一条线上，因为7重复了。由此确定f=7。

这个推理不充分，既没有排除7在x或y的同一条线上有其它位置的可能，也没有排除f值可以是7以外的其它数。f=7的论证不周全。

以下是推荐的解法。

解：填入圆圈内的九个数，在六条线上的数字相加中，除了数字6加了一次之外，其余八个数都加了两次。设连续数中最小数为n，最大数为n+8，列方程：

(n+n+8)/2×9×2-6=23×6

(2n+8)×9-6=138

18n+66=138

n=4 (最小数)

n+8=12 (最大数)

设未知数如下：

a d g

6 c f

b e h

由图中各数位置可知：

g+h=23 (1)

由于：

2c+d+e+23-6=46

2f+d+e+23=46

以上两方程联立：

2c+23-6=2f+23

c=f+3 (2)

由(1)式得到：

g=12

h=11

用排除法确定f值：

f≠4。若f=4，由(2)式c=f+3，c=7。由于f=4和12在同一条直线上，线上第三个数只能是7，与c=7重复，不合题意。

f≠5。若f=5，5和12在同一条直线上，线上第三个数是6。因6已占用，不合题意。同理，f≠6。

f=7。若f=7，由(2)式，c=10，10是此时可选的最大数，即f不能大于7。至此，f值的唯一选择是7。

填入推导出的已知数：

a d 12

6 10 7

b e 11

依次求出：

d=5

e=4

a=9

b=8

全部数字填充如下：

9 5 12

6 10 7

8 4 11

下面这道题，也是迎春杯赛的试题。

请在等号左边的数字之间填入加号或减号，使等式成立。

23456789=101

此题未见标准答案，需要有清晰的解题思路，才能快速找到此题答案。有兴趣的朋友，可以试解一下。

写于24年愚人节。

注：本文发表后，陆续发现还有数学竞赛题的“标准答案”，差强人意，解题缺乏章法。为此增加例题如下：

2022年迎春杯数学竞赛小学高年级组决赛试卷C

第二部分第6题

将0～9分别填入到上图的10个圆圈中，使得各条直线上圆圈中所填数的和都相等．现已将1填入，那么圆圈A、B、C、D中所填数字依次组成的四位数是__________．

E F 1

G

H I

A B C D

(各个数字的位置图)

本题试卷的后附答案，列了一个方程，计算出每条直线的三数之和，然后进行各种数字试填，令人眼花缭乱。

既合理又简洁的解法是：列出四个方程，得出三组数字，简单搭配后即得到答案。见下。

首先，设每条直线上的数字和为S。0-9的十个数字和为45。图中位置待定的九个数分别用A-I表示。列方程：

45×2-F=6S

(十个数字和的两倍减去F等于六条线上数字相加的总和)

由于F是个位数，有：

F=0或6

若F=0，S=14。E也是个位数，E=14-0-1=13不合题意。

因此，F=6，S=14，E=14-1-6=7。

利用三角形三条线上的数字关系列方程：

14×3=45-14+A+D+G

A+D+G=11

在待填入数字0,2,3,4,5,8,9中，三数之和等于11的数字组合有：0,2,9；0,3,8；2,4,5。

先看038组合：当3和8在同一条直线上时，直线上只能再有一个数，而且只能是3，但3已占用。排除。

再看245组合：当2和5在同一条直线上时，第三个数是7，已占用；若2和5填入最下面横线的两端，另外两数B+C只可以是3+4，但4已占用。排除。

至此，三角形三顶点只能填入0,2,9，最下面的横线上四数为2、4、8、0。全部数字填充如下：

7 6 1

9

3 5

2 4 8 0

接下来是所谓的“标准答案”，即试卷后附的答案。对比一下解题过程。

〖解析〗

共6条直线，除了F只在1条直线上，其余圆圈都恰好在2条直线上．设每条直线上圆圈中所填数的和为S，则6S＝(0+1+2+…+9)×2－F．

由6|F得F为0或6．若F＝0，则S＝15，E＝14，矛盾！

∴F＝6，从而S＝14，E＝7．

若9在A~D中，则14＝9+5＝9+0+2+3，而C≥14-1-9＝4，只能C＝9，从而I＝4，H≤14-7-2＝5，8只能在G，D＝14-8-4＝2，余下5在H，B ＝14-7-5＝2，矛盾！

∴9不在A~D中，G＝9或I＝9．

若I＝9，8不能与7或9同直线，只能A＝8，从而B+D＝14-8-4＝2＝2+0，B＝2，D＝0，得H＝14-7-2＝5，G＝14-9-0＝5，矛盾！I≠9

∴G＝9．8不能与7或9同直线，只能C＝8．

从而I＝14-1-8＝5，D＝14-9-5＝0，A＝45-14×2-6-9-0＝2，

B＝14-2-8-0＝4，H＝14-7-4＝3，如右图．

∴圆圈A、B、C、D中所填数字依次组成的四位数是2480。

附：EXCEL解题一例

上图为EXCEL工作表，只需要在B15格内输入任意数作为总数，就可以得到7个数的值。其自动运算过程如下：

当B15中输入一个数字，在C15中用MOD函数计算出该数字除以7的余数，在D15中用IFS函数给出该余数对应的Y值，在E15中计算出X的值 --（总数-Y)÷7的得数。

接下来计算其它6数的值。除以7的余数有7个，余数不同，7个数中彼此加减关系也不同。我们在B18到B25的格子里用IF函数去找A18到A25中与C15中相同的余数，找到后该行B列格中填入E15的值，即X的值。

本图中，我们在B15中随机输入了8995，余数为0，程序检测到与A24和A25的值相同，0对应着两种加减模式，24和25这两行中通过函数自动加减，得到第2到第7个数的值，从而解出本题两组解。