数学核心素养培养19问

段

一、数学眼光问题1：为什么要把数学眼光作为核心素养？数学眼光之所以如此重要，首先是数学的学科特点决定的，其他自然科学学科，都是以“真实”为学习和研究对象。直接认识真实世界，解决真实问题，并把初中或实验作为检验真理标准。而数学不是这样的，它并不以“真实”为研究对象，而是以真实世界里不存在的抽象数学关系和空间形式为对象，通过一种间接的方式，达到认识真实世界、解决真实问题和目的。这是数学独特的教学价值，也是把数学眼光作为核心素养的原因。问题2：数学眼光如何形成的？数学不是以“真实”本身为对象，而是通过“剥离”或“去掉”真实对象中的“真实”“去掉”找到代表“真实”的本质属性，进而得到数学的研究对象。问题3：数学眼光和数学抽象是什么关系？由于数学眼光始终聚集抽象的数量关系和空间形式，在这个意义上，可以把数学眼光理解为我们熟悉的“数学抽象”，但不能完全等同于数学抽象。相比之下，数学眼光相当于数学抽象的门槛，如果没有数学眼光，就走不进数学抽象的大门。问题4：数学眼光的教育意义体现在哪些方面？1.数学眼光对整个教育而言不可或缺。数学眼光对事物的去粗取精最明确，去伪存真最彻底，本质聚集最深刻，从迷惘中寻找规律也最精准，数学眼光具有无可替代的独特教育价值。2.数学眼光是数学检验真理的标准之一。唯有经过数学眼光的过滤，或经由数学眼光的“剥离”或“去掉”真实之后得到的结果，才可能成为数学的真理。3.数学眼光有助于创新人格的培育。数学眼光与创新人格之间，是一种自然的相互成就的关系。4.数学眼光有助于打通数学课程与社会生活之间的联系。加强课程内容与学生经验、社会生活的联系是课程建设的一个基本原则。5.数学眼光有助于弥补我国数学教育的弱项。数学眼光是数学抽象的门槛，每一个学生都要不断经历“剥离”或“去掉”真实对象中的“真实”，发现抽象数量关系和空间形式的过程，逐步具备跨过这个门槛的能力。6.数学眼光奠定了真实情境的课程地位。没有真实情境就不会有真正的数学眼光，学生也没有机会理解抽象，更谈不上学会抽象。 二、数学思维问题5：理解和把握作为核心素养的数学思维时需要特别注意些什么？1.“三会”中的数学思维相对侧重推理作为核心素养的“三会”是一个整体，三者互为支撑。一方面，数学眼光的观察和数学语言的表达都离不开数学思维；另一方面，数学思维也肯定要在“眼光”和“语言”拓展出的空间中开展。因此，“三会”中的数学思维与我们一般了解的广义的数学思维不完全一样。广义数学思维活动中的观察、概括、正确阐述等内容，实际上已经分别对应于“三会”中的数学眼光和数学语言了。也就是说，在“三会”的框架下，数学眼光、数学思维和数学语言都既有各自的单独表述，又在同一个目标体系中以相互支撑的方式共为一体。所以，比起一般意义上几乎包罗万象的数学思维，在共为一体的“三会”结构中，数学思维事实上相对侧重推理。推理是数学思维活动中最能反映数学独特思维价值的部分。所以，一般意义上思维活动涉及的归纳、比较、猜想、分析、综合等，在作为“三会”的数学思维中，都应在推理的框架之下，以有条理并言之有据的方式开展，都要有规律可循。2.推理的形式 推理的形式是相当丰富的，但无论有多少种形式，都有统一规律可循。所有推理的基本形式都是：如果P,那么Q,或者写成P→Q。其中P和Q是命题, 也可以称P是前提，Q是结论。数学推理的P和Q就是与数学有关的命题。3.推理的类型推理的方法决定了推理的类型。如果推理采用的是归纳法，就称为归纳推理；如果用的是演绎法，就称为演绎推理；如果借助的是图形直观，就称为直观推理或空间推理；如果运用的是数据，就称为统计推理（或统计推断）；等等。只要满足第2点的要求并言之有据、步步有据，推理在类型上是比较开放的。4.必然性推理虽然推理形式比较开放，但必须清楚的是，推理形式本身的合理性并不能保证推理结果的必然性。对于任何一个推理形式P→Q,如果对讨论问题范围（论域）内任何一个元素都有“如果P成立，那么Q就一定成立”，或者说“如果P是真的，那么Q就一定为真”，这样推理得到的结论是可靠的。因此，像归纳、类比等推理形式就不能保证结果一定是可靠的。5.演绎推理是必然性推理用演绎法做出的推理被称为演绎推理。演绎法就是通常所说的“三段论”，也就是先要证明A是成立的，接下来再证明A→B是成立的，那么结论B就成立。在教学中，这种方法会被称为从一般到特殊。“三段论“有许多等价形式，在教学中我们也会用不同称谓来区分，如分析法、综合法，这里就不一一列举了。演绎推理的言之有理是遵循规则的结果。考虑到义务教育阶段学生的年龄特征，一般是用朴实且不突兀的方式引入推理规则。例如，把学生已有的知识积累和生活经验作为依据，像矛盾律和排中律等也是作为应有之意，不去刻意强调。即使是2022版课标中给出的“基本事实”，也大多数是已知的性质或可以被证明的结果。这样的推理规则，本身就是促进学生大脑健全发育的丰富营养。数学推理形式多种多样，在所有推理形式当中，只有演绎推理是必然性推理，即只有演绎推理的结果一定是正确的。其他推理的结果可能成立，也可能不成立，即推理结果是或然的，或者说是未必可靠的。所以，如果一定要确认一个结论普遍成立，就只能用演绎推理。为了有所区分，从2001年颁布的课标开始，把演绎推理之外的推理形式统称为合情推理，所以数学推理事实上相当于演绎推理+合情推理，这也是2022版课标中“推理”一词的含义。6.演绎推理与合情推理的比较可从两个方面比较，这种比较对于理解数学思维很重要。一方面，演绎推理虽然可靠，但只是一个根据已知命题确认一个新命题成立的推理。虽然在推理过程中也可能产生提出新概念、开发新方法的需求，存在进一步发现问题和提出问题的可能，但仅就推理的结果而言，因为都是已知的，所以只是确认了一个事先备好的命题的真伪，与发现新命题没有关系。而几乎所有的合情推理都是为发现一个新事物或提出一个新命题而发起的，虽然它们推出的结论是或然的，不一定为真，甚至可能推不出什么结果，但数学和科学领域的开疆拓土往往与合情推理提出的猜想或假设有关。在数学课程领域，合情推理已经被视为引导学生进行数学“再发现”的一个基本途径了。另一方面，合情推理遍布于基础教育的许多学科，不为数学课程所独有，也就是说没有数学课程，学生也多少会受到合情推理的熏陶，只不过机会没有这么多，熏陶程度也没有这么强烈。演绎推理在基础教育其他学科中只是零星地出现，故可以认为系统的演绎推理在义务教育阶段仅存于数学课程中。加之演绎推理在培育思维严谨性方面具有显著作用,所以使得数学思维表现出不可替代的教育价值。把这两个方面的比较放在一起，可以明显看出：如果想给学生的数学思维插上发现的翅膀，合情推理必不可少；如果想让学生的数学思维严谨扎实，演绎推理不可或缺。如果想两者兼得，就一定要赋予演绎推理和合情推理同等重要的思维教育使命。因此，那些关于演绎推理和合情推理哪种重要哪种次之的讨论意义都不大，如何在教材和教学当中平衡严谨扎实与开放灵活之间的关系，使之相互协调、成为一体，才是最为重要的。在教学实践中，这个关系有时会表现为一对矛盾，可能不太好协调。如果遇到这种情况，应该怎么办？其实核心素养已经给出了一个协调的标准：在义务教育阶段，数学思维是“会用数学的思维思考现实世界”的简称，所以无论是演绎推理还是合情推理，无论是严谨求实还是开放灵活，能否相互协调、熔于一炉, 归根结底，要由“思考现实世界”的需要决定。如果现实需要探索发现，就一定要开放灵活；如果现实需要求真务实，就一定要严谨扎实。基于“思考现实世界”的需要，基本可以避免严谨扎实与开放灵活之间可能产生的矛盾。毕竟，现实世界是我们思考数学思维问题的基础。更重要的是，思维是属于大脑的功能，大脑的发育有年龄特征和大脑本身的分区特征。通常所说的“多大的孩子做多大的事”或课程要“符合学生的生长发育规律”等，都与大脑发育的节奏有关。上面强调的“相互协调、熔于一炉”是仅就教师对数学思维的整体认知与把握而言，“同等重要”也仅针对思维教育的使命而言，与课程中合情推理与演绎推理之间各自所占的比重没有任何关系，这一点务必不要搞混。事实上，西方发达国家在我们的义务教育年龄段几乎没有几何的演绎证明，而是尽力拓展合情推理的教学空间。这样的做法是自20世纪 70年代之后，在脑科学的一些新发现(如大脑的左右半球理论)的引领下，逐步调整的结果，到今天已经是约定俗成。这方面的经验值得借鉴，至少教师应该意识到，当学生在演绎证明过程中遇到挑战时，可能并不是因为他们不努力，而是因为这个内容可能在高中学才更合适。7.统计推理与其他推理的关系虽然统计推理的说法在教学或研究领域已经被广泛使用，但统计推理与前面提到的演绎推理或合情推理其实是不一样的推理。这个不一样差不多是完全不一样，主要表现在三个方面。一是对象不一样。数学的推理，一般是对命题之间的逻辑关系而言，对象是命题；而统计的推理是就数据的获取与分析而言，对象是数据。二是目标不一样。数学推理的目标是确认或提出一个事实；而统计推理的目标是对一个未知事件发生的可能性做出预测。三是推理的结果不一样。数学推理的结果是一个命题的成立与否，是一个纯客观的结果；统计推理的结果是关于一个事件发生可能性大小的估计，是一个相对主观的结果。在专业的统计科学领域里把推理称为推断，这个“断”字，在汉语中反映的就是人的主观性。问题6：为什么把统计推理纳入数学推理？原因在于统计和数学的对象和方法论在方方面面深度地相互整合与借鉴。 三、数学语言问题7：为什么把数学语言作为核心素养？把数学语言作为核心素养是时代发展的要求使然。数学语言已经成为人们日常交流不可或缺的组成部分。一个人想要公平地获得信息和有理有据地做出判断，几乎离不开数学语言。是发展的需要推动数学语言走上课程的前台，数学语言本身作为公民必备品格和关键能力的特质，使数学语言满足了作为核心素养走进数学课程的条件。没有数学的表达就无法形成数学概念，因而也就无法揭示数学的本质，更谈不上用数学分析问题、解决问题了。数学语言是沟通真实世界与数学世界的桥梁、理解数学世界的工具和解决数学问题的载体。问题8：数学语言的功能和表现形式是什么？数学语言的功能：信息的载体、认识世界的工具和交流桥梁三个功能。形式：文字语言、图形语言和符号语言数学符号语言三类元素：基于阿拉伯数字的数字表示、通用的运算符号、字母——包括英文字母、希腊字母和拉丁字母。数学的符号语言就是由这样的数字、符号和字母“串”在一起组合而成的。问题9：什么样的数字、字母、符号串是有意义的数学符号语言？只有作为沟通真实世界与数学世界的桥梁，理解数学世界的工具和解决数学问题的载体的数字、字母、符号串，即具有桥梁、工具、和载体作用的数字、字母、符号串，才是有意义的数学语言。问题10：有意义的数学语言从何而来？从教学实践的角度看，当教学过程中需要学生自己“想一想”、“说一说”或“写出来”时，“学会用数学的语言表达”就开始登场了。需要说明的是，有意义的数学语言离不开数学眼光和数学思维。数学语言的意义来自解决问题进程中的表达需求。“三会”虽然各自表述，但本质是共为一体、不可分离的关系。语言的产生伴随着眼光和思维，眼光和思维的产生亦是如此。问题11：数学语言作为核心素养有哪些意义？相对于2011年“三位一体”目标中的“过程”，2011年四基四能目标中的思想和经验等在当时体现出的创新意义，2022版课标的创新标志是以“三会”为代表的核心素养。“会用数学的语言表达现实世界”是其中最为体现时代特征的目标创新。下面从三个方面探讨会用数学的语言表达现实世界的意义：1.为数学建模在基础教育数学课程中找准了位置。数学语言可以说是数学语言表达的最高层次，数学建模是在基础教育中为数不多与高等教育名称完全一样的内容，目前数学建模已经是我国高中的一个数学学科核心素养。数学建模原产地是美国。把数学建模融入基础教育数学课程，要提供充分的弹性空间，更重要的是要在数学建模本身的数学价值与教育价值之间找到一个平衡点，这个点既能体现出数学建模的数学价值，又要符合基础教育数学课程的基本要求。这个点必须满足核心素养是必备品格和关键能力的定位。数学建模追求的目标肯定是数学模型，包括“建立、求解、检验、完善”的建模要求。数学建模不只是个以目标的刚性要求，更是一个从问题情境中提炼数学要素、确定关键元素、发现关键元素之间的联系，并逐步做出数学表达的“弹性”过程。在这个过程中，数学语言是不可或缺的成分，如果没有发现酝酿、提炼和选择数学语言，数学语言就无从谈起。数学建模的教育意义，很大程度上体现在用数学语言表达方面，而且对小学、初中和高中都是一样的，也满足了核心素养对必备品格和关键能力的定位要求。2.促成了大众数学与我国数学课程融为一体。语言是属于每一个人的。3.拓宽了数学教学实践创新的视野。从情境出发是推动教学改变的一个新举措。问题是教材里的情境大多是人为编出来的，多少有些牵强，现实意义并不那么鲜明。问题引领也是推动教学改变的一个新举措，问题本身的质量决定着问题引领的效果。关键在于，情境也好，问题也好，它们是不是真实的情境、真实的问题，它们是不是真实世界发生的事。对于义务教育数学课程而言，“真实”才是数学教学真正发生改变需要的切入点。现实世界无穷无尽的语言中，会源源不断生成与真实情境、真实问题有关的数学语言，每一句都可能蕴藏着数学教学实践创新的切入点。 基于“三会”的数学课程目标体系及其教育意义问题12：为什么数学课程要培养的核心素养是“三会”？任何一门课程都要以核心素养为统领性目标构建课程目标体系，还要符合完备性和独立性。完备性是指这个目标体系中的核心素养能延伸到该课程的每一个角落，无一遗漏。独立性是指这个目标体系中的核心素养缺一不可，核心素养的个数已经减至最少，不能再少。由于“三会”已经符合完备性和独立性的要求，再增加或减少都会对完备性和独立性产生影响。问题13：如何确定“三会”的完备性和独立性？先说完备性，即“三会”能够推及义务教育阶段每一个具体的数学内容。再说独立性，“三会”彼此之间既互有交叉，又都有各自的主攻方向和无可替代的独特教育价值，少了哪个，作为数学课程的目标体系都会出现缺失。问题14：可否选择数学领域之外的内容作为核心素养？如以增加“学会学习”为例。事实上，“三会”的“会”就是“学会”，本身就与“学会学习”相通。数学眼光、数学思维和数学语言等所代表的就是，数学课程领域内“学会学习”的具体含义，其中，“眼光”、“思维”和“语言”清楚地告诉我们数学课程要学什么，“观察”、“思考”和“表达”清楚地告诉我们怎么才能学会。显然，“三会”就是一个如何通过数学课程”学会学习”的答案，所以“学会学习”已经蕴含在“三会”之中，再增加，就显得冗余了。问题15：如何保持数学课程目标与教学目标之间的一致性？一是数学课程标准同时也是数学教学标准、数学评价与考试标准、数学教材编写标准。课程标准就是教学、评价和教材编写的标准。二是基于“三会”构建的数学课程目标体系是一个符合教学逻辑的目标架构。在2022版的课标中，基于核心素养的数学课程目标体系，就是一个以“三会”为核心、层层递进的多层目标架构。层层递进指的是目标的不同层次及层次之间以递进为标志的联结方式。 问题16：数学课程目标体系如何把具体数学课程内容与“三会”联系在一起？基于核心素养的目标体系是一个有三层结构且层层递进的目标体系。这三层结构的体系是：1.最终目标：“三会”是这个目标体系的统领性顶层目标，即核心素养是数学课程中知识、技能等所有具体目标的最终目标。2.中间目标：为达成“三会”，设置了通往“三会”或为“三会”提供支撑的中间目标或过渡性目标，这被称为核心素养的主要表现，也就是11个主要表现：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、数据意识、推理意识、模型意识、应用意识、创新意识。3.支撑性目标：第三层目标是达成核心素养主要表现的支撑性目标，也就是大家熟悉的“四基”“四能”目标。其中“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”共同撑起一条教学实施路径。 用箭头标出的具体执行过程大体是这样的：从以真实世界中的真实问题为基础创设情境出发，沿着“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”支撑起来的教学路径，逐步前行，在发现知识和收获技能的同时，积淀一些超越具体知识、技能，更具有一般性的想法（基本思想）和体验（基本活动经验）；这些想法和体验经过持续的积累和提炼，以基本思想和基本活动经验为标志，与核心素养的主要表现融为一体，并共同指向“三会”。 　　用箭头标出的具体执行过程大体是这样的：从以真实世界中的真实问题为基础创设情境出发，沿着“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”支撑起来的教学路径，逐步前行，在发现知识和收获技能的同时，积淀一些超越具体知识、技能，更具有一般性的想法（基本思想）和体验（基本活动经验）；这些想法和体验经过持续的积累和提炼，以基本思想和基本活动经验为标志，与核心素养的主要表现融为一体，并共同指向“三会”。 问题17：“四基”与核心素养的主要表现是什么关系？ 知识、技能应当以蕴含在问题情境中的方式，结合适宜的教学引导，经由“四能”支撑起来的教学路径，由学生在一个主动学习的氛围里，一步一步地在学习过程中发现、挖掘和提炼。只有这样，才能在收获知识、技能这“双基”的同时，积淀一些属于自己的想法和亲身体验。这些思想想法和经验都可以在中间目标——核心素养的主要表现当中寻得踪迹。如，有的思想就就表现为符号意识、有的经验则体现为为运算能力等等。问题18：核心素养的主要表现与“三会”是什么关系？ 核心素养的主要表现与“三会”的关系是简单而直接的，即每个核心素养的主要表现都同时指向“三会”。核心素养的主要表现各有侧重，如数感、量感、符号意识、几何直观、空间观念与创新意识与数学眼光有关，运算能力、推理意识与数学思维有关，数据意识、模型意识和应用意识与数学语言有关。问题19：基于核心素养的课程目标体系对教学方式有什么具体要求？ 教学方式是指根据课程目标确定的教学路径，在具体教学过程中采取的教学呈现方式和活动细节。教学路径是以核心到头为目标的教学大道，而教学方式是这个大道各有侧重的具体教学选择。 2019年，发布的《中国教育现代化2035》中明确提出“推进启发式、探究式、参与式、合作式等教学方式 ”，在关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中又增加“重视情境教学、项目化、合作式学习”等等。《课程方案》对深化教学改革进一步提出了一些更为具体的要求，如“活动化、游戏化、生活化的学习设计，倡导“做中学、用中学，创中学”“注重真实情境的创设，增强学生认识真实世界、解决真实问题的能力，“探索大单元教学，积极开展主题化、项目式学习等综合性教学活动，创设以学习者为中心的学习环境，凸显学生的学习主体地位。内容来源 | 《义务教育课程标准（2022年版）课例式解读小学数学》