“为何·是何·如何”培养“数学眼光”

诗与远方

《课程标准（2022 年版）》明确指出培养数学核心素养要求“三会”: (1)会用数学的眼光观察现实世界； (2)会用数学的思维思考现实世界； (3)会用数学的语言表达现实世界。 这就告诉我们：数学课程要培养的学生核心素养，主要包括数学的眼光、数学的思维、数学的表达三个方面。其中，“会用数学的眼光观察现实世界”又包含四个维度，分别指向“提出有意义的数学问题”“形成概念、关系与结构”“感悟数学的审美价值”和“发展创新意识”，并且提出了义务教育阶段数学眼光的主要表现。本文从“为何？是何？如何”三个层面予以解读，以期教师们能够在课堂教学的实践中更好地落实。 为何 　　为什么提出“会用数学的眼光观察现实世界”我们如何理解“会用数学的眼光观察现实世界”呢？ 从数学基本思想来看，数学眼光其实就是数学化过程的表达，主要包括数学抽象和迁移创新。一方面是水平方向上对现实生活的数学化，另一方面是垂直方向上对数学知识的迁移运用，实现生活与数学之间思维的相互转换。 从认识论的视角来看，数学眼光其实就是联系的眼光，聚焦数学结构和数学体系。从方法论的视角来看，数学眼光关注数学课程的整体性和一致性，要建立起知识之间的联系。简言之，数学眼光就是用数学的方式来认识并且探究现实世界。 是何 　　要正确理解“用数学的眼光观察现实世界”，我们可以从育人价值方面来看，培养学生的数学眼光主要有以下三个方面的意义。 首先，借助数学眼光搭建起现实世界和数学世界之间的桥梁，可以加强数学学习与真实生活之间的联系。 其次，通过数学眼光，可以发展认识和探究世界的新视角，感悟和想象数学知识背后的原理和数学美。 第三，用数学眼光观察真实情境，有助于学生在主动探究的过程中提高好奇心和想象力。 此外，数学眼光对于未来的数学教学而言，更加强调从关注“教”转向关注“学”，关注学生数学学习过程中经验的积累。对于数学教师来说，运用数学眼光进行教学设计，可以精准捕捉知识建构的“生长点”。对于学生来说，运用数学眼光进行学习，可以建立起数学与生活之间的联系，培育创新人格。 如何 　　明确了“是何和为何”那么，如何在课堂教学中落实理解“用数学的眼光观察现实世界”呢？我以为教师应该力求做好以下四个方面： 1. 体验知识形成过程，培育数学的眼光。 传统的数学教学通常采取去两端、留中间的做法，比较关注知识的结论，而忽视知识形成和发展的过程。培养学生的数学眼光需要还原知识发生、发展的过程，让他们完整经历数学知识的抽象过程。例如，小学生入学的第一个学期就要分两段认识“10 以内的数”和“11～20 各数”，而认数的过程就是一个不断抽象的过程。怎样让一年级学生感悟数是对数量的抽象呢？以认识“2”这个数为例，教学时可以从学生熟悉的事物入手，引导学生观察并数出教室里的2 张桌子、2 个学生、2 本书等,并把这些可以用“2”表达的数量抽象成两个“●”，再由2 个“●”抽象成数字“2”。这样的学习过程，遵循了建立数学概念的一般过程，即“感性具体—感性一般—理性具体—理性一般”的过程（尽管这个阶段学生的认识还不能达到“理性一般”的水平），同时也还原了人类发明和运用阿拉伯数字符号表示数的过程。这既符合学生的认识规律，又遵循了数学知识发生、发展的内在逻辑，有利于学生感悟数学知识的本质。 不仅在认数学习中，其实很多数学知识的学习也都需要经历这样的知识发生、发展过程。例如徐斌老师执教“认识乘法”这节课时，设计了“乘号是怎样发现的”这一环节，还原了人类创造和使用乘号的过程——表示几个相同的加数连续相加，当加数的个数比较多，算式写起来比较麻烦的时候，怎么办？能不能想到一种更为简洁的表示方式呢？让学生经历了知识再创造的过程，还原乘号发现和使用的过程。在这样的学习活动过程中，学生主动、积极地经历了数学抽象的过程。 　　2. 经历知识抽象过程，形成数学的眼光。 从学生成长的历程来看，每一个数学概念的形成，都经历了不同层次的抽象。学生在一次抽象和二次抽象的进阶学习中，就能逐步形成数学眼光。例如，教学“三角形的认识”这节课，首先，引导学生寻找生活中形状是三角形的物体，通过观察和描述找到的三角形的形状，逐步在头脑中建立起三角形的表象。这个过程可称为第一次抽象。这一次抽象的过程是把颜色、材质等非本质属性舍去，保留三角形的形状、大小等几何属性。接着，引导学生把头脑中各种形状的三角形分类，思考“它们有什么相同点和不同点”。这个过程可称为第二次抽象，即进入到内部来研究三角形的性质。比如，可以按“角”的特征将三角形分为三类，即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；也可以按“边”的特征将三角形分为一般三角形和等腰三角形，等腰三角形又可以分为一般等腰三角形和等边三角形。 教材中呈现的数学概念，都经历了这一逐步抽象的过程，并且在不同学段还提出了不同的抽象要求。比如“轴对称图形”这一教学内容。如何判断一个图形是不是轴对称图形？三年级上册初次学习轴对称图形时，学生在头脑中折一折，看看图形两边能否完全重合，需要借助于动作思维来进行判断。到了四年级下册，教材再引导学生找轴对称图形的时候，不再止于动作思维的对折，而是要通过寻找对称轴，观察并想象图形的对应点到对称轴的距离是否相等。这里，判断对应点到对称轴的距离是否相等，压缩了思维过程，也是对轴对称图形特征的再次抽象。 　　3. 尝试结构迁移方法，催化数学的眼光。 结构迁移包括知识结构的迁移和研究方法的迁移两个方面。其中知识结构的迁移是大家所熟知的。教学中绝大多数教师都能精心设计数学探究活动，引导学生通过同化和顺应将新知纳入到原有认知结构之中，自主完成认知结构的迁移。而研究方法的迁移却容易被忽略。 事实上，研究方法的迁移也是一个逐渐抽象的过程。以平面图形的学习为例，教材一般都是在直观认识常见平面图形的基础上，按长方形和正方形，三角形、平行四边形和梯形以及圆的顺序安排教学内容的。由于长方形和正方形是学生探索和理解平面图形特征的起始内容，教学中教师都特别注重对学生进行学习方法的指导。例如“长方形、正方形的认识”这节课的教学，教师一般都会组织如下四个层次的探索活动： 首先，引导学生从身边物体的表面找到长方形或正方形的面，并画出或描出这些面的形状。接着，引导学生比较这些形状、大小各不相同的长方形（正方形），找到它们的共性与差异，发现长方形（正方形）边和角的特征。之后，引导学生进一步通过比较和交流，初步理解长方形和正方形之间的关系。在此基础上，启发学生通过回顾和反思，归纳并总结探索长方形（正方形）特征及其相互间关系的过程与方法，初步获得研究平面图形特征的方法，为学习方法的迁移做好准备。 后续认识图形的活动，可以以“怎样研究平面图形的特征呢”这一问题为统领，引导学生按“从生活中寻找图形的原型—观察边和角的特点—按一定的标准进行分类”的方法展开学习和探索活动。 以“三角形的认识”这节课为例，可以组织学生通过找一找、画一画、说一说、分一分等活动，自主发现三角形的特征及其关系，获得对三角形特征的结构性认识。学生经历这样的学习过程，一方面在同化和顺应中实现知识结构的迁移；另一方面在研究平面图形的活动中实现研究方法的迁移。同时，学生的抽象能力也会得到长足的发展，用数学的眼光观察现实世界的意识也会随之增强。 　　4. 注重知识创新应用，发展数学的眼光。 数学源于生活，又服务于生活。数学教学的过程应从现实的、有意义的问题情境出发，引导学生在解决现实问题的过程中获取数学知识，再将数学知识应用到生活中。学生只有在应用知识的过程中，数学眼光才能够充分地被调取并激活。以“认识乘法”为例，教学时可以创设如下情境：鸭子2 只2 只的在水上嬉戏，小鸡3 只3 只的在一起觅食。引导学生思考：“有多少只鸭子，可以怎样数？小鸡呢？你发现了什么？”并通过交流，明确：鸭子可以2 只2 只地数，小鸡可以3 只3 只地数。其实生活中还有许多这样的例子，樱桃是一对一对的，彩旗是一组一组排列的……由此抽象出乘法的意义，即求几个几相加的和可以用乘法计算。学生对乘法意义的理解是一个从具体到抽象的过程。 另一方面，学生真正能够建立起这种数学的眼光，还需要在新的现实背景中进行迁移运用。比如，进入到一间教室，怎样知道教室里一共有多少个学生呢？如果学生还是按照1 个1 个地数的话，说明他们尽管有了乘法的概念，但还是没能建立起相应的数学眼光。怎样数才能体现出数学的眼光呢？不同的方法可以看出思维的层次。假如学生只关注一张课桌坐2 人，这样2 个2 个地数出24 个2 人，由此得出教室里一共有48 人，说明他们已初步具备了乘法的眼光。但面对类似的真实情境，学生仅能2 个2 个地数是不够的，还要能根据教室里座位的排列特点，合理、灵活地选择数的策略。 比如教室里桌子是一组一组摆放的，一共有4 组。每组有6 张桌子，可以坐12 人。4 组是4 个12人，所以教室里可以坐48 人。这说明学生在现实情境中读出的信息不只局限于人的排列，还能兼顾人与课桌的对应关系，并从不同角度找到几个几连加的实例。这反映出学生的乘法观念真正走进到现实的场景当中，能在不同的背景中找到相同加数，并用头脑中已有的乘法模型描述和解决问题，具备了用数学眼光观察生活的意识。有了这样的经验和意识，学生在遇到诸如描述电影院座位数等更复杂的现实问题时，就能运用概念有效地、富有个性地，甚至是创造性地解决问题。因此，创新性应用才是真正意义上拥有数学眼光的表现。 结语 　　总之，小学生数学眼光的培养从纵向来看经历以下四个阶段：还原知识的发生发展历程，逐步抽象的过程，尝试迁移转化的过程和创新应用的过程。数学眼光培养的四个策略，应该是贯穿于学生学习的全过程。正如孙晓天教授所说，“数学眼光不是被动接受的结果”，数学眼光的培养要突出过程性、层次性和应用性。从知识的习得到应用，每一个环节都可以培养学生的数学眼光，数学眼光的培养应该融入到数学学习的过程之中。