五日一题⑴(1--10)解法与解析集锦

海阔天空

分率

本题

甲乙

女生

解法

对应

题目

单位

正方体

人数

文字：海阔天空

图片：源于网络

　　我为什么要这样做？

由于本人多年来一直对数学的浓厚兴趣，虽然已退休多年，但不由得还在关心和关注着有关数学学习的诸多方面。我的大孙女上六年级第一学期即将结束，学习成绩优异，数学科名列前茅成绩喜人。由于数学是理科之首又先行一步至关重要，所以我一直关心孙女数学学习动向，多以引导和促进学习方法特别是自学方法、发现和纠正存在问题为重点，并未以就题论题的常规方法给予经常性辅导。

我一直注意到本级学生都配有一套名为《学习与评价》的同步练习册，其中的数学科每一课时练习题前面都有“画龙点睛”这一栏目，对课时知识进行了恰如其分的描述性的概括和总结，非常精辟和到位，这应该是这个练习册的第一亮点。练习题题型具有轻松做做、开心读读、大胆猜猜、巧妙算算、快乐玩玩、不妨试试等栏目。特别是“不妨试试”一题稍有深度和难度，具有加深和拓宽知识视野的作用，这应该是本练习册的第二个亮点。

我感觉这套数学练习册编写的非常好，不愧为教育行政部门选中的一套教辅资料，它是本级学生一直配合课堂教学的教辅用书，我为了满足孙女或其他学子的随时发问，每学期也到书店购买了该练习册并逐题进行严格仔细的过目思考和融会贯通，自然也包括每个学期的假期作业都是同样的做法。可以说我跟这一级学生是高度同步。我除了经常叮嘱孙女高度重视这个练习册的两个亮点外，还随时叮嘱一定要听好每节课。

另外在市面上还有一套名为《5.3天天练》的教辅资料也挺不错，我孙女也和好多同学一样购买了这套册子。我通过认真钻研发现也很好，也具有两大亮点:①每课时练习题后面都有一道取名为“智慧加油站”的加深和拓宽性题目，并在答案里附有解析和详解过程。②每单元结束都归纳出该单元的“知识梳理”方阵图特别详尽，非常值得一读，因为花几分钟时间对一单元知识能达到系统掌握和整体的认知。我曾指导和建议孙女这套练习册在数学科上只要抓住这两大亮点就可以了。

但根据实际情况特别是时间上的冲突最终未能达到预期的目的，随着年级的增高纯粹就无瑕顾及这份资料的价值和效果了。所以我一直在想怎样能够让《5.3天天练》这个教辅资料让我的孙女和同级学子们尽可能的用极少的时间得到极大的受益，于是从她上三年级后，我手头一直也常备着这套练习册的数学册子，同时首先把所有“智慧加油站”题目进行了仔细阅读和思考;对每单元“知识梳理”也毫不放过认真详读;还把每单元的达标练习题也都认真完成，同时把有难度且感觉有价值的题目都加了标记，后面我孙女尽管已不再购买这个册子了，但我还在一直坚持原来做法。

一套好的资料需要一个强有力的团队付出大量心血，它自然凝聚着不少名师和佼佼者们的劳动和汗水。如果能找到正确方法让其发挥作用的话，那效果是可想而知的。因此我经长时间深思熟虑从2024年元旦开始，搞了一个“五日一题解法与解析集锦”(后称五日一题集锦)。题目就来源于这个数学练习册的“智慧加油站”栏目及配套的达标练习活页试题中以及假期作业中被我加注过标记的题目，说白了就是我花大量时间和精力给学子们精选出相对极少的精华题目进行了深钻细研让一些有缘相遇的学子们吸取。

这个五日一题集锦本人初步设想要持续到本级学子初中毕业。至少按三年计算总题量为(365÷5)×3=219道，这么庞大的题目量，若装订成册肯定也是厚厚的一本，而且每道题都是有一定难度、深度甚至个别题目还有一定的跨度，对于一个在校学生而言，如果一次性拿到这样的海量题目，那无疑是望而生畏，不知所措，但若分散成在五日之内才消化理解一道题，再发挥我的作用和“5.3天天练”的后盾作用，显然又成为小菜一碟不在话下了。如果能长期坚持，既是知识积累又能达到难点突破，这自然就发挥了“铁棒磨成针功到自然成”的作用。

如何处理这个集锦里的每一道题呢？本人打算对每道题都做好三步走①题意分析，②详解过程，③解后反思。在题意分析里，首先突出问题如何转化，这自然要有从结论入手的分析法和从条件入手的综合法，不断渗透这种主要的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。详解过程中尽可能做到显而易见，通俗易懂。解后反思应该是对题意分析的补充和完善，达到“回头再一看，一切全了然”的目的，另外更有对该题进行深刻挖掘的分析和总结，以期达到举一反三和触类旁通的作用。

这个五日一题集锦要伴随着这一级学生学习进程的不断推进和时间的不断推移将陆续进行，长达三年之久，我将把电子版分享在美篇平台，这一漫长过程的目的是让我孙女和相关的学子们，能学好数学乃至理科全部打下一个坚实的基础，更是对其智力的不断开发和自学方法能力的检测和拔高，以达数学科遥遥领先之目的。帮助那些学习基础较好而又立志成才的小朋友们顺利到达理想的彼岸。

我的小孙女才上幼儿园大班，到小学高年级乃至初中还有好多年时间，所以我只好趁现在头脑还很清楚，顺便跟大孙女上小学直至初中同步把小学和初中知识再认真过一遍，并把一些精华题目以及有一定深度难度但又有趣味性和价值的题目积累起来，在一题“三步走”中把本人在多年中的教学方法和教学理念也渗透进去，免得到时候老眼昏花、力不从心，干着急没办法，这才是我能把这件事坚持做到底的最主要的动力和原因。

目的要求和建议

1.“五日一题集锦”的目的是使用者在数学这门课上达到遥遥领先，为升入高中后理科学习打下坚实基础，即大幅度提升自学自钻能力，绝对避免升入高中后理科滑坡现象。五日一题集锦既是知识积累又要难点突破，在不知不觉中潜移默化的达到不断开发智力的重要目的。

2.能深刻理解每一道题的解题思路和问题转化方法甚至一题多解思路，更需完整的表达出解题过程。引导使用者对每一道题都做到深刻挖掘。因为深刻挖掘1道题可强过简单重复10道题甚至更多。

3.我对五日一题集锦的每一道题目的“三步走”，将反复修改更新和完善。建议每位阅读和使用者可先详读原题，首先自己尝试着分析题意和书写解答过程，适当时候再参考我提供的“三步走”，如果有不解之处必要时还可通过电话，视频通话等方式面对面的跟我交流和沟通，万一你对个别题目没有能力自主完成，但你对我提供的“三步走”能认真阅读和思考达到绝对透彻的理解也能达到预期目的。

几点说明:

1.本五日一题集锦适合于六年级学生中数学基础比较扎实者在第一学期结束前夕开始使用直至初中毕业。

2.每遇逢5逢10日都有一题，但发题日期为提前两日的逢3逢8日，要求使用者自己钻研解答后在逢5逢10日反馈给我，我会在第一时间更新本“五日一题集锦”显示出本题的解法解析及深刻挖掘全过程以供参考对照。

3.本五日一题集锦题目主要来源于“5.3天天练”中四至六年级“智慧加油站”拦目、各单元达标练习题中“附加题”、寒署假作业中被我加注了标记的题目，都有一定的深度和难度。说白了就是及早瞄准中、高考中20℅的所谓的“压轴题”。为了突破难点在“三步走”中篇幅有意偏大是为了让人人都能读懂。

　　2024年1月1日题

1.如图所示，圆的周长是16.4㎝，圆的面积与长方形的面积相等。图中涂色部分的周长是多少㎝？(“5.3天天练”小学六年级上册第一单元“圆”达标练习题中附加题)。

题意分析:

1.本题若从结论入手，要求涂色部分的周长，当细观图形后可发现就是要求长方形长的2倍再加上圆周长的¼，这样问题就转化为如何求出图中的DC了。

2.本题若从条件入手，原题给了圆周长即2πr=16.4，这个已知条件有多种思考:①16.4除以2×3.14求出半径再继续进行，但16.4除以6.28不能整除求不出半径，故此路不通。所以还可考虑: ②若遇见16.4可代换成2πr，③若遇见2πr可代换成16，④也可把2πr=16.4先变为πr=8.2再进一步利用。

3.本题中圆的面积与长方形面积正好相等这样的已知条件可设圆的半径或长方形的宽为r，可得π×r×r=DC×r，可得出DC=πr=8.2，解决问题已经显而易见了。

详解过程:

解:设圆的半径或长方形的宽为r，则由题意可得

π×r×r=DC×r DC=πr

由图可以看出涂色部分周长为:

2DC+¼×圆周长。

因为圆周长=16.4。DC=π×r=8.2

所以 2×8.2+¼×16.4=20.5(厘米)

答:涂色部分周长为20.5厘米。

解后反思:

1.在“圆”的有关题目中，若给了圆的周长这个已知条件，常规的思路是先用这个周长除以3.14求出直径径，或除以6.28求出半径，再根据题目要求解决问题。(但除不尽时，显然此路不通另想别法）

2.在题意分析中，从结论入手显然是要先求出DC，而从条件入手显然又能求出DC=πr=8.2，圆周长的¼=16.4÷4=4.1。这就出现了从两头到中间，真可谓需要的正好能得到。

3.数学题目往往都是通过这个途径解决的，这正是一种最重要的数学思想方法—分析法与综合法，在一个题目中常常是这两个方法并用。

　　2024年1月5日题

2.深圳某小学女生占总人数的7/12，后来又转来了15名女生，这时女生占总人数的3/5。这个学校男生有多少名？(“5.3天天练”六年级上册第二单元“分数的混合运算”达标练习题中附加题）

题意分析:

1.原题中两个关系句子从表面上看都是以总人数为单位“1”的，很容易让人理解为转入15名女生的对应分率就是3/5-7/12。但这绝不可以，因为最终总人数和最初总人数有变化。只有男生人数才始终没有变化，可以变通为单位“1”，再列式计算。

特别提醒:如果把原题中“这时女生占总人数的3/5”中，“总人数”之前添上“最初”二字的话，那么最初总人数就可以用作单位“1”，那么15名女生的对应分率就是3/5-7/12，也就不用先变通单位“1”了，可以直接用15除以它的对应分率求出最初总人数再求男生人数。

2.在这里“女生占总人数的7/12”可理解为总人数占12份，女生占7份，则男生应占12-7=5份，有了这个理解就可以随便说出男生、女生、总人数中，任意一个是另一个的几分之几。

3.“女生占总人数的7/12可变为女生占男生的7/5”，“女生占总人数的3/5可变为女生占男生的3/2”。15名女生的对应分率就3/2-7/5，只所以对应分率出现这个差距，是因为转入了15名女生的原因，这个理由和变通是理解本题的关键。

4.本题还可用“最初女生数+15=最终女生数”做为相等关系，由未知数设法的不同列出不同的方程求解。

详解过程:

1.用分率基本思路列式计算。

2.由“原女生数+15=最终女生数”为相等关系由不同的未知数设法列出不同方程求解。

三种解法:

解后反思:

1.在“女生数占总人数的7/12”这个关系句子中，“占”字后面的总人数是单位“1”(标准量)，“占”字前面的女生数是几分之几(比较量)，可用等式表示为:女生数=7/12总人数，这其中，分子上的7就代表前面女生的份数，分母上的12就代表后面总人数的份数。

2.有了份数的思想，句子“女生数占总人数的7/12”这个句子又可变为6个关系式:①女生数=7/12总人数;②男生数=5/12总人数;③总人数=12/7女生数;④男生数=5/7女生数；⑤总人数=12/5男生数;⑥女生数=7/5男生数。

3.可用口诀表示各关系式为:谁是谁的几分几，可用份数直写出，前者份数做分子，后者份数做分母，后者若是不变量，可做本题单位“1”。在反思2的分析中，其中①②表示总人数为单位“1”; ③④表示女生数为单位“1”; ⑤⑥表示男生数为单位“1”; 本题解法(一)就是以男生数为单位“1”解题的，因为男生人数始终不变，可以做为单位“1”。其它只是表像上的单位“1”。

4.高度概括的说，此类问题中含有女生数、男生数、总人数三个基本量，从排列组合角度他们两两之间共有3×(3-1)=6种关系，上述反思中1、2、3，就是在由一种关系可挖掘出所有的关系。

5.本题解法(二)和(三)是分别设男生数和原有总人数为未知数列方程求解的，都用的是“最初女生数+15=最终女生数”这个相等关系，所以用于做相等关系的这个量一般不能再用于设为未知数。

　　2024年1月10日题

3.“5.3天天练”六年级上册第三单元“观察物体”第1课时“搭积木赛”中“智慧加油站”一题。

题意分析:

1.本题是“观察物体”这一单元难度够大的一个题目，主要用来进行空间想象力的强化训练，由正面和左面看到的形状想象和思索从上面可能看到的各种形状。我经反复琢磨应该有16种，可惜的是原资料上参考答案也有误，少想了5种。

2.容易想象出最多应该是7个小正方体(1种)，可以尝试着思考去掉1个小正方体的情况(5种)，去掉2个小正方体的情况(8种)，去掉3个小正方体的情况(2种)，所以最少应该是4个小正方体。

3.本题完全可以借助实物演示理解其实质。

详解过程:

(1).可画出16种情况。

(2).最多应该是7个小正方体,最少应该是4个小正方体。

解后反思:

1.从上面看到的形状应该有6个位置，可叙述为后排左中右和前排左中右，其中前右位置是两个小正方体重叠在一起，这时最多有7个小正方体(有1种情况)。

2.若去掉1个正方体时，还有6个正方体(有5种情况)，去的方法可以是后排左、中、右或前排左、中去掉任何1个都可以。

3.若去掉2个小正方体时，还有5个小正方体(有8中情况)，去的方法可以是:后排左中、后排中右、后排左右、前排左中、前左后中、前左后右、前中后左、前中后右。

4.若去掉3个小正方体时，还有4个小正方体(2种情况)，去的方法可以是:前左后中右，前中后左右。

　　2024年1月15日题

4.有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的质量占两筐苹果总质量的25％。甲筐苹果卖出20kg后剩下的质量占现在两筐苹果总质量的10％。甲、乙两筐苹果原来各有多少千克？(“5.3天天练”六年级上册第四单元完整理复习第3课时作业中“智慧加油站一题)



解析:

第①、②两步是把原题中甲筐在卖出前后的质量与甲、乙两筐总质量的两个关系先变通为甲筐与乙筐的关系；把始终不变的乙筐质量做为单位“1”再考虑问题。变通后可叙述为“原来甲占乙的1/3，现在甲占乙的1/9”。

第③步是用比较量20除以它的对应分率(1/3-1/9)求出乙筐苹果质量(单位“1”或标准量)。

第④步是由乙筐苹果质量以及甲、乙两筐质量关系求出甲筐苹果的质量。

解析:

解法(二)、(三)列方程所用相等关系均为甲筐原有量-20=甲筐剩余量，不同之处是未知数的设法不同，一个是设乙筐的质量、一个是设两筐质量的总和做为直接未知数，而甲筐质量做为相等关系要用于列方程。

解后反思:

1.解法(一)的25℅÷(1-25℅)中，25℅表示甲筐的质量，(1-25℅)则表示乙筐的质量，25℅÷(1-25℅)就表示甲占乙的百分之几。这是变通部分与整体的关系为部分与另一部分的关系的常用方法。

2.本题又一次的先变通原题中的关系句，然后找到它的对应分率，关键还是对把“甲筐占两筐质量和的25％”要变成“甲筐质量占乙质量的25/75”和“现在甲筐质量占两筐苹果总质量的10％”要变成现在甲筐质量占乙筐质量的10/90”的深刻理解。

　　2024年1月20日题

5.兄弟三人合资给年迈的父母买了一套房，让老人安享晚年。老二出了其余兄弟钱数和的½，老三出了其余兄弟钱数和的1/3，剩下的钱由老大出。已知老二比老三多出了10万元，老大出了多少万元？(“5.3天天练”六年级上册第四单元“百分数”完“整理与复习”第2课时第4题)。

题意分析:

1.要求老大出了多少万元？有两个思路:①先求三人共出多少万元和老大的对应分率；②先求三人共出多少万元和老二、老三各出多少万元，下面先考虑第一个思路。

2.要求三人共出多少万元即本题的单位“1”，这自然要想到用10万除以10万的对应分率，这又自然的想到先求老二、老三的对应分率，这已经与已知条件接近了。要求老大的对应分率也需先求老二、老三的对应分率。

3.以老二为例分析怎样由已知条件得出需要的对应分率。在原题中“老二出了其余兄弟钱数和的½”，这可理解为其他两兄弟占2份，老二占1份，那么三兄弟共占2+1=3份，这就是说老二的对应分率是(1/3)即1/(1+2)，同样的方法可得老三的对应分率是1/4即1/(1+3)，问题到此已显而易见了。

4.若用方程求解自然要设这套房子总钱数为x,相等关系是题中唯一能看出的。

详解过程:

解法(一):

①10÷[1/(2+1)-1/(3+1)]

=10÷(1/3-1/4)=10÷1/12

=10×12=120(万)

②1-(1/3+1/4)=1-7/12=5/12

③120×5/12=50(万)

答:老大要出50万元。

解法(二):

设这套房子总钱数为X万元，则老二要出好(1/3)X万元，老三要出(1/4)X万元，由题意得

(1/3)X-(1/4)X=10

(1/12)X=10. X=120

(1/3)X=40. 40-10=30

120-40-30=50

答:老大要出50万元。

解后反思:

1.本题首先应想到的是单位“1”应是什么。自然就是三弟兄一共要出的钱数。

2，本题其实从已知条件中“老二比老三多出了10万元”马上就能想到个八九不离十，因为只有这唯一可以做为比较量的条件。

3.本题中看见1/2和1/3这两个分数条件应该不陌生，凭经验应该知道它能得到什么。

4.本题用方程求解也是显而易见的。

　　2024年1月25日题

6.水库管理员想估计一下水库里共有多少条鱼，他先捕了100条全部做上标记，然后全部放回。一天后，他又捕了500条鱼，发现其中只有5条做过标记。请你帮管理员估计一下，水库中大约有多少条鱼？(“5.3天天练”六年级上册第四单元“百分数”第7课时“智慧加油站”题。)

解法一:

①5÷500×100℅=0.01×100℅=1℅。

②100÷1℅=100×100=10000(条)

答:水库中大约有10000条鱼。

解析:

1.第①步可看作是在求标记鱼占所有鱼的百分之几，也可看作是在求标记鱼的对应分率。

2.第②步可看作统计学中“用样本估计总体”的方法，也可看作由比较量求单位“1”的方法。

3.先捕的100条鱼是一个比较量，后捕的500条鱼是总体的一个样本。

解法二:

设水库中大约有X条鱼，由题意得 (100/5)=(X/500)

20=X/500

X=20×500=10000

答:水库中大约有10000条鱼。

解析:

1.上面解法叫列比例，但所列方程会有多种形式，比如(100/X)=(5/500)或(500/5)=(X/100)等都可以。细观这几个形式，上下位置的可随意变成左右位置，左右位置的也可随意变成上下位置，但绝不能把同上下或同左右的两个量变为交叉位置。

2.以“(100/5)=(X/500)”为例说明所列方程的正确性，方程的左边表示100条标记鱼是5条标记鱼的多少倍，右边表示水库中所有鱼是500条鱼的多少倍，这两个倍数应该相等，这就是所列比例方程的根据。

3.解比例方程常采用交叉相乘的两个结果相等变形原方程。比如:解方程(100/5)=X/500可用5X=100×500，5X=50000，X=10000。

解后反思:

1.本题中列比例解方程解决实际问题的方法应牢固掌握，在列式计算中的“倍比问题”、“归一问题”、一部分“分率问题”和“用样本估计总体问题”都可用列比例简单明了的解决。

2.上述所有问题都有一个共同特点是题目涉及“两类四量知其三个求第四个”。所列比例特点是同类二量必须在同上、同下、同左、同右位置上，决不可在交叉位置上。

　　2024年1月30日题

6.甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出25％到乙仓库后，又从乙仓库运出25％到甲仓库，这时甲、乙两个仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的百分之几？(“5.3天天练”六年级上册第四单元“百分数”完整理复习第3课时“智慧加油站”一题)。

解法(一):把甲、乙两仓库粮食总和看作单位“1”分步列式计算。

①50％÷(1-25％)=2/3.

②1-2/3=1/3.

③1/3÷(1-25％)=4/9.

④1-4/9=5/9

⑤4/9÷5/9×100％=80％

答:原来甲仓库粮食是乙仓库的80％。

解析:

第①步“50％÷(1-25％)=2/3”意思是当乙仓库运出25％到甲仓库后，甲、乙两仓库粮食储量相等，即乙仓库还剩总储量(单位“1”)的50％，它的对应分率为“1-25％”，所以50÷(1-25％)=2/3就是乙还没有运出时的粮食储量，也就是甲、乙总储量和的2/3，即单位“1”的2/3。

第②步“1-2/3=1/3”意思是第一次从甲运出25％到乙仓库后，甲仓库还剩甲、乙总储量的1/3。

第③步“1/3÷(1-25％)=4/9”意思是1/3是第一次运出后甲仓库剩下的，1-25％是它的对应分率，4/9是甲仓原有的储量。

第④步“1-4/9=5/9”意思是总储量减去甲原有的储量等于乙原有的储量。

第⑤步是在求4/9是5/9的百分之几。

解法(二):

解析:

本题用列方程的方法很好理解，但一减一加过程重复进行时，在表达形式上就增加了难度，为了突破这个难点，我特意采取上面的方法，即把第一次运出和运进过程先做一个提前准备工作，只把第二次运出运进过程再在方程中体现出来就清晰多了。

解后反思:

1.本题是一个典型的关于单位“1”的题目，在这个题目中，首先要把甲、乙两个仓库的总储量看作单位“1”，这是从变与不变的角度着眼的，因为无论甲、乙两仓库储量怎样变化，但总储量都不会改变。

2.在计算过程中，我们又把乙仓库运出前的储量和甲仓库运出前的储量也看作单位“1”(标准量)，而把每次运出后的剩余量看作几分之几量(比较量)，进行了计算，这里的4/9相对于第一次运出它是单位“1”，而相对于甲、乙两仓总储量它又是单位“1”的一部分，同样的2/3相对于第二次运出它是单位“1”，而相对于甲、乙两仓库总储量它也是单位“1”的一部分。

3.无论是从哪个角度看，要求单位“1”(标准量)，比较量(几分之几量)÷对应分率=标准量(单位“1”)这个关系式非常重要，在本题解法(一)中应用了两次，通过这样的题目可以深刻理解怎样寻找比较量及其对应分率从而用除法求出单位“1”。

4.通过本题我对单位“1”又一次加深了理解，单位“1”就是指标准量的对应分率是100％，不能大于也不能小于，而比较量的对应分率绝不是100％，可以小于也可以大于。本题中两次运出量都是比较量，对应分率都是25％，两次剩余量也都是比较量，对应分率也都是1-25％，那么运出前的量就是标准量，对应分率自然就是100％即单位“1”。显然2/3和4/9都是标准量，但习惯上也称单位“1”，因为100％=1，实质上指的是对应分率为100％的量，是相对于运出多少而言的，未运时自然是100％。

　　2024年2月5日题

7.放学后甲、乙两个学生步行回家，甲比乙走的路程多1/4，而甲走的时间比乙少1/10。甲、乙两个学生回家时步行的速度比是多少？(“五.三天天练”六年级下册第六单元“比的认识”达标练习题中“附加题”)

题意分析：

1.要求甲、乙两个学生速度的比，甲的速度等于甲的路程除以甲的时间、乙的速度等于乙的路程除以乙的时间，两个学生所走路程和所用时间需要先求出来再列式计算，由原题中关系句可知“比”字后面乙的路程和乙的速度均为单位“1”，所以甲所走路程可表示为1×(1+1/4)，甲所用时间可表示为1×(1-1/10)。乙的速度自然为1÷1。这是本题基本思路，列综合算式及计算见下面解法㈠。

2.本题若用份数思想考虑问题会更简单。即本题中乙所走路程和所用时间分别看作4份、10份，则甲所走路程和所用时间应是4+1=5份、10-1=9份。然后利用份数可求甲乙两学生速度的比，综合列式及计算见下面解法㈡。

两种综合列式解答如下：

解法㈠:

  [1×(1+1/4)]÷[1×(1-1/10)] :1÷1

=[(5/4)÷(9/10)]:1=(5/4)×(10/9)

=50/36=25/18=25:18。

解法㈡:

[(1+4)÷(10-1)]:(4÷10)=(5÷9)/(4÷10)

=(5/9)×(10/4)=50/36=25/18=25:18。

答:甲、乙两个学生步行速度比是25:18。

解后反思:

1.一般地，要求两种量的比，比的前项和后项均可用份数来列式计算会把问题简单化，解法㈡中甲、乙的所走路程和所用时间都是用它们所占的份数参与列式和计算的。

2.虽然“分数线”、“÷”、“:”所表示的意义不同，但在计算进行时可以互化，只是要注意分数线变“÷”或“:”有时需要添上括号；“÷”或“:”变“分数线”有时需要去掉括号。

3.会从各种角度理解一个关系句，比如在“甲比乙走的路程多1/4”中，①“比”字后面的“乙”是标准量(单位“1”)，“比”字前面的“甲”是比较量(几分之几)；②乙的对应分率为单位“1”，即1=4/4，甲的对应分率为1+1/4=5/4；③乙占4份，甲占4+1=5份，甲、乙总占5+4=9份；④若把关系句中“比”字改为“是”字可很快得出“甲是乙的5/4”或“乙是甲的4/5”。

4.甲所走的路程可表示为1+1/4.也可表示为1×(1+1/4)，在这里括号前面的1表示标准量乙，括号里面的1表示标准量乙的对应分率，括号里面的1+1/4又表示比较量甲的对应分率，这就是对不同表达方式的透彻理解。

　　2024年2月10日题

8.如下图所示，两个圆只有一个公共点A，大圆直径为48㎝，小圆直径30㎝。甲、乙两只虫同时从A点出发，按箭头指的方向以相同的速度分别沿小圆和大圆爬行。当小圆上的虫爬了几圈时，甲、乙两只虫第一次相距最远？(“5.3天天练”六年级上册“期末试卷”附加题)。

题意分析:

1.由图可知，过点A做直径交大圆于点B，当第一次一虫在点A、一虫在点B时，即为甲、乙两虫第一次相距最远。也就是说，首先要找到一个数既能被小圆周长整除，又能被大圆半周长整除，换句话说就是要找到小圆周长和大圆半周长的最小公倍数，再用这个数除以小圆周长即为所求。

2.要找这个最小公倍数需先求出小圆周长和大圆半周长，求两个数的最小公倍数应着重掌握两种基本方法。

3.如果原题中问题改为:当小圆上的甲虫爬了几圈时，甲、乙两只小虫第二次距离最近或说第二次相遇(视爬行前甲乙两虫为第一次相距最近或说第一次相遇)，那么就用同样方法思考显然要先求小圆周长和大圆周长的最小公倍数。

详解过程: (分步进行)

⑴小圆周长=2×π× r=2π×(30÷2)=30π.

⑵大圆半周长=2×π×r÷2=2π×(48÷2)÷2=24π.

⑶30π与24π的最小公倍数求法提供两种方法如下:

㈠因为 ①30π=2×3×5×π ②24π=2×3×2×2×π，所以30π与24π的最小公倍数是2×3×2×2×5×π=120π。

注: 2、3、π是①、②两式中的质因数中都有的因数，在组成最小公倍数时，2、3、π各取一个，只在一个式子中有的因数都要乘进去，如2×2只在②式中出现，5只在①式中出现，这都要乘到最小公倍数中去。

　　(二)

⑷120π÷30π=4(圈). 120π÷24π=5(半圈).

答:当小圆上的甲虫爬了4圈时，甲、乙两只小虫第一次相距最远。

解后反思:

1.本题重点首先是要理解为什么两小虫各自爬行的路程是小圆周长和大圆半周长的最小公倍数，其次是最小公倍数的求法的熟练程度和必须掌握的两种方法。

2.由本题解的结果及图形可以思考得出:当甲虫爬行1×4=4个小圆周长时，乙虫可爬行1×5=5个大圆半周长，此时甲、乙两小虫第一次距离最远；当甲虫爬2×4=8个小圆周长时，乙虫可爬2×5=10个大圆半周长，此时甲、乙两虫第二次相距最近；(把爬行前的初始状态看作甲、乙两虫第一次相距最近)。当甲虫爬行3×4=12个小圆周长时，乙虫可爬行3×5=15个大圆半周长，此时甲、乙两虫第二次相距最远。依次类推可以推算出第几次两虫相距最近或最远两虫各自爬行的小圆周长数及大圆半周长数。可以发现，甲、乙两虫各自爬行4个小圆周长和5个大圆半周长的奇数倍时相距最远，偶数倍时相距最近(重合或说相遇，0也是偶然，0×4=0圈表示爬行前甲、乙两虫都在一起，视为相距最近)。

3.有了第2点的分析和理解，无论题目怎样变化，都能由本题解法进行推想，得到解的结果！

　　2024年2月15日题

9.某商品按20℅的利润定价，然后按定价的80℅出售，结果这件商品亏损了64元，这件商品的成本价是多少？(“5.3天天练”六年级上册第四单元“百分数”第8课时“智慧加油站”一题)。

题意分析:

1.本题仍是一个分率问题，商品制造商的出厂价也就是经销商的进货价可称为某商品的成本价；商家为了获得一定利润，要按一定的利润率从新进行第一次定价；商家为了促进销售，又会在定价基础上打折或说降价，这实质上就是第二次定价。如果二次定价高于成本价就会赚钱，低于成本价就会亏损，本题就属于这里的第二种情况。

2.第一次定价是以成本价为单位“1”的，第二次定价又是以第一次定价为单位“1”的，最终可求出成本价的对应分率与第二次定价的对应分率的差，这个差就是亏损的64元的对应分率，再用64除以这个对应分率就等于成本价(单位“1”)。

3.也可用“成本价-二次定价=64”做为相等关系列方程求解，但这不是本题应达的主要目的。

详解过程:

㈠列分步式计算:

①1+20℅=120℅

(第一次定价是以成本价为单位“1”的，所定价格是成本价的120℅，或说1.2倍。)

②120℅×80℅=1.2×(1-20℅)=96℅

(第二次定价是以第一次所定价格为单位“1”的，所定价格是成本价的96℅或说0.96倍。)

③64÷(1-96℅)=64÷4℅=1600(元)

(1-96℅表示成本价与第二次定价的差，这正是亏损的64元的对应分率，64元称比较量。)

答:这件商品的成本价是1600元。

㈡列综合式计算:

64÷[1-(1+20℅)×80℅]

=64÷[1-(1+20℅)×(1-20℅)] (A)

=64÷[1-1.2×0.8]

=64÷[1-96℅]

=64÷4℅

=1600(元)

答:这件商品的成本价为1600元。

注:上面综合列式中的(A)式中，共有三个1，前两个1都是以成本价为标准量的对应分率，第三个1是以第二次定价为标准量的对应分率，都是单位“1”，但所指不同。在方括号中，第一个圆括号表示第一次定价情况，第二个圆括号表示第二次定价情况，整个方括号表示成本价与第二次所定价的差，即亏损64元的对应分率。

㈢ 用列方程求解:

解:设成本价为X，则第二次定价为1.2×0.8X，由题意得

X-1.2×0.8X=64

0.04X=64. X=1600

答:这件商品的成本价是1600元。

解后反思:

1.在这个商品经销过程中，以商品成本价为基础，经第一次长价，第二次降价，涉及到两个单位“1”，第一次定价是以成本价为单位“1”的，第二次定价是以第一次定价为单位“1”的，应当结合综合算式精心思考，认真理解。

2.计算过程主要涉及到20℅、120℅、20℅、96℅、4℅这五个百分数。前一个20℅是把“按20℅的利润定价”中20℅称为“利润率”，120℅可说成第一次定价是成本价的120℅，后一个20℅是把“按定价的80℅出售”可理解为把原定价降低20℅，可称为“降价率”，96℅可说成第二次定价是成本价的96℅”，4℅表示第二次定价与成本价的差，即4℅=1-96℅可称为“亏损率”。

3.在本题中，若第二次定价大于成本价，就会盈利，成本价是标准量(单位“1”)，亏损多少或盈利多少都属于比较量，只不过盈利时比较量大于标准量。

2024年2月20日题

10.下面是范老师U盘中储存各类资料的统计图，已知图片资料、视频资料和文档资料一共有76.8GB。请你根据已提供的信息，将统计表和统计图补充完整。(“5.3天天练”六年级上册第五单元“数据处理”第一课时“扇形统计图”中“智慧加油站”一题)。

题意分析:

1.本题是由扇形统计图和统计表已有的信息通过观察思考和计算把图表中未知信息补充完整，首先要反复读题让题图表对号入座个个击破。

2.首先应看出表中的25就是25℅，在观察图中的扇形圆心角的大小，可以发现应在图右上面括号里填上“图片资料”在下面括号里填上25。再由图形可以进一步想到左边上面的括号里自然应填“剩余空间”下面的括号里要填的数为:100-12.5-25-22.5=40，到此扇形统计算已补充完整。

3.对照图和表，可在表格最下一栏里依次填上22.5、12.5、40。

4.最后在对照表格的同时再次读题，应该发现76.8GB就是三种资料所占空间，而这三种资料所占空间百分率就是1-40℅=60℅，到此可以知道76.8的对应分率就应是60℅。所以76.8÷60℅=128(GB)，这就是本U盘全部内存空间。(这是最关键的一步)

5.有了全部空间的大小，再由每种资料所占百分比乘以128，依次可得32、28.8、16、51.2可依次填入表格上栏的从左到右每一格里，到此图、表已全部补充完整。

统计图、表补充完整如下:

解后反思:

1.本题猛然一看，还没有明显条件可利用，但是结合图、表反复细读题目就会漫漫发现突破点。因为表格里，唯有一个25，可以就从这个信息入手的。

2.本题中最重要的一步还是发现比较量及它的对应分率，先计算出U盘总的储存空间，再依次求出几种资料所占空间的大小。

3.此类题目特点是零敲碎打，要求面面俱到，不能遗漏，也不能重复，对人的思维力，观察力，计算力都有一定的要求。

五日一题⑴(1--10)解法与解析集锦到此结束，后续(11--20)另文发布，欢迎光临！