新定义问题二

稳心颗粒

上海市四平中学尹永林

【中考试题】

定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

(1）如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A=a ，请用含a的代数式表示∠E .

(2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O , 弧AD=弧BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F ，连结BF并延长交 CD 的延长于点E ．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．

(3）如图3，在（2）的条件下，连结 AE 、AF ，若 AC 是⊙O 的直径，

①求∠AED的度数；

②若AB=8, CD=5，求△DEF的面积．

【分析】

本题的关键就是理解遥望角的定义。遥望角本质就是内角与外角的双角平分线的夹角。

题(1)求∠A 与 ∠E 的关系，只需利用三角形外角的性质及角平分线的性质即可得到。

题(2)要证明∠E 为遥望角，那么必须证明 CE 平分∠ACB的邻补角，因此可以考虑延长 BC .

利用圆内接四边形对角互补的结论容易得到CE平分∠ACT；同样的道理, 也可利用DE平分∠ADE得到BE平分∠ABC 。

题(3)①由于∠ADE=90°,只要证DE=DA，就可得∠AED=∠DAE=45°，DA=DE，只要证△FDE ≌△FDA ，由于FD = FD ，∠FDE=∠FDA，只要证∠BEC=∠FAD ，利用第1小题得出的遥望角的性质、圆内有关角的性质和三角形外角和的性质就能求得的。

题（3）②有一定的难度，仔细观察，利用前面的已求，可得∠AEG =∠CAD，故构造 △EGA～△ADC (如图)，可得到AD/AC=4/5，利用勾股定理可得AD长⇒△DEF的㡳DE的长⇒CD+DE=CE的长⇒1/2(CE)=CM的长⇒CM-CD=DM的长⇒△DEF的㡳DE上的高FM⇒△DEF面积。

解：(1)

∵ BE平分∠ABC，CE平分∠ACD ，

∴∠EBD=∠ABC/2, ∠ ECD=∠ACD/2，∴由三角形的外角性质得

∠E =∠ECD -∠EBD

=(∠ACD -∠ABC )/2=A/2 =α/2，

即∠E =α/2；

(2）如图1，延长 BC 到点 T ,

∵四边形 FBCD 内接于⊙O ,

∴∠FDE =∠FBC ,

∵DF平分∠ADE ，∴∠ADF =∠FDE ,

∵∠ADF =∠ABF ，∴∠ABF =∠FBC ,

∴BE是∠ABC的平分线，

∵弧AD = 弧BD ，∴∠ACD =∠BFD ,

∵四边形BCDF内接于⊙O ，

∴∠DCT=∠BFD ，∴∠ACD=∠DCT ,

∴CE是△ABC的外角平分线，

∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．

(3)①如图2，连接 CF ,

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，

∴∠BAC=2∠BEC ,∵∠BFC=∠BAC ,

∴∠BFC =2∠BEC ,

∵ ∠BFC=∠BEC+∠FCE ,

∴∠BEC=∠FCE ,

∵∠FCE =∠FAD，∴∠BEC =∠FAD ,

又∵∠FDE =∠FDA , FD = FD ,

∴△FDE ≌△FDA ( AAS )，

∴DE = DA ，∴∠AED =∠DAE ,

∵AC 是 ⊙O 的直径，∴∠ADC =90°，

∴∠AED +∠DAE =90°,

∴∠AED =45°。

(3)②如图3，过点A作AG⊥BE于点 G ，

过点F作FM⊥CE 于点 M ,

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC =90°,

∵BE平分∠ABC ，

∴∠EBC =∠ABC/2 =45°，

∵∠FAC =∠EBC ，∴∠FAC =45°，

∵∠AED =45°，∴∠AED=∠FAC ，

∵∠FED=∠FAD ，

∴∠AED-∠FED=∠FAC-∠FAD ，

∴∠AEG =∠CAD ，

又∵EGA =∠ADC =90°，

∴△EGA～△ADC ，∴AE/AC=AG/CD，

在 Rt△ABG 中，AG=√2AB/2=4√2,

在 Rt△ADE 中，AE =√2AD，

∴AD/AC=4/5，∴设AD =4x，AC =5x，

在 Rt△ADC 中，AD²+DC²=AC²,

∴(4x)²+5²=(5x)²，∴x =5/3，

∴ED=AD=20/3，

∴CE=CD+DE＝35/3，

∵∠BEC=∠FCE ，∴FC=FE ,

∴FM⊥CE ,∴EM=CE/2=35/6，

∴DM=DE-EM=5/6，

∵A、C、D、F四点共圆，

∴∠FDM=∠FAC=45°， 又FM⊥CE ，

∴FM=DM =5/6，

∴△DEF面积=DE×FM/2=25/9。

【小结】

“新定义问题”考题可以出现在选择题、填充题和解答题题中，近几年越来越多的“新定义问题”出现在压轴题里，而考查的类型几乎都是“几何图形的新定义”。批阅后中发现，学生对“新定义”得分率不高，主要是个别学生对“新定义” 的规定不理解，看到压轴题也就放弃不做了，有的能理解，也能完成前面的一小部分，但后面的大部分找不到解决问题的方法。如何帮助学生解决“新定义”型问题呢？我想将它归纳整理一下三个步骤：

(一)仔细审题，理解“新定义”。遇到此类问题时，首先应做到平心静气，沉着冷静， 然后仔细阅读题目，反复推敲题干中给的“新定义”，去理解“新定义”。

(二)分析题干，化生为熟。对此类试题要做深度剖析，寻找出显性和隐性所有信息，然后按照“新定义”与已有知识脉络相联系，找出解题的着落点。

(三)探究方法， 解决问题。在获得解题灵感后整理思路， 运用“数形结合”思想将“新定义” 型问题化归为已有知识体系中常见类型进行探究， 最终去解决问题。

本题是中考的压轴题，是几何图形新定义的类型。

第(1)小题中，知∠E是△ABC中∠A的遥望角，找出∠E与∠A的关系式。只要理解遥望角的定义，就会发现它原来就是我们初一上学习了三角形后练习册上的一道证明题；

第(2)小题中，要证明∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，应该说只要搞清“遥望角”的定义，证明目标就很明确，通过我们学过有关角的一些性质就能证出。

第(3)题①猜测∠AED =∠DAE =45°，有了方向后，用分析法步步探索就能找出求∠AED度数的方法。此题有更简单的解法，由于点 E 是两个角平分线的交点，所以可以考虑往△ABC的三边作垂线。如下图所示：

此时，很容易得到两对三角形全等，从而∠AEC =90°÷2=45，实质上就是把所求的问题转化成一个正方形的半角模型问题。

第(3)题②求面积除了用直接法外，也可以用间接法，但关键要构造出一对相似三角形(或利用锐角三角比)，得出AC、CD的关系式。应该说此压轴题，压就压在(3)②上，它考查了学生敏锐的观察能力、创造性思维能力以及学生综合运用所学知识解决问题的能力 。