“底和高认识”的课堂观察

诗与远方

常常听到教师在日常交流的时候，这样说“现在的学生真笨，这么简单的问题都不会，气死人了。”某次《认识底和高》研讨课，也许就是一个生动的案例。二年级学生认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形等平面图形，四年级学习了画垂线的方法，很容易想到：过直线外一点画已知直线的垂线，其实质就是画平行四边形、三角形和梯形的高。这样理解的话，这节课的确是内容简单枯燥的了。其实如果冷思考一下，教师应该发现，许多老师认为简单的知识，往往不简单，是我们的教学教简单了。小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要的，“越是简单的往往越是本质的”，因此对小学阶段的基本数学概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观、真正使“情感、态度、价值观”目标得以落实的载体。 《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：数学课程要培养的学生核心素养，主要包括“会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界”三个方面（简称“三会”）。 　　研讨课写真：情景导入，教师课件出示教材图片后，教师先问学生“限高”的高指什么？接着将图片中的桥洞抽象出梯形，指着梯形上下底告诉学生：这是梯形的上底，这是梯形的下底，它们是一组平行线，你们知道平行线间的距离处处相等，这里的距离也就是高，平行线之间可以画无数条垂线，梯形的上下底之间可以画多少条高？（课件演示）感觉是仅仅五分钟左右的时间，教师就已经上完课。 本课创设情境后，不应该这么简单的处理，大有“我不教你也应该会”。真的这么简单吗？课程标准指出的：“会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界”，会用数学的眼光观察现实世界如何落实，就是通过教师创设真实的问题情境，鼓励引导学生自己发现并提出问题，懂得用数学眼光看现实生活中遇到的问题，学会从现实生活中遇到的问题中寻找数学问题的原型，能够自觉地把现实问题转化为数学问题，真正体验到数学之于解决实际问题的重要意义；会用数学的思维思考现实世界，就要求教师把“限高”的意思讲得明白透彻，应该说，学生虽然已经学习过高的定义和画高技能，大部分学生能掌握一定“高”的简单作图技能，但对“高”这一概念的认识仍停留在直观、模糊的层次上，学生只抓住了高的“具象特征”即“垂线段”，但是没有抓住高是“从哪里出发到哪里”的垂直线段的本质特征，通过教学要让学生由模糊到清晰，教师应该让学生上台展示，通过用手指一指，说一说，先指出情境图中“高”的实际含义，再让学生能够准确的描述出高的概念，为了避免学生发生将生活中的高和数学中的高混淆，即认为高就是垂直于地平面的线段，而教材高的定义又是描述性定义，但是，数学概念教学不能停留在“只能意会，不能言传”，而丢失了数学本身最重要的“对客观世界的定性把握和定量刻画”的意义，教师应当准确把握“高”的概念本质，寻找合理的教学方法，有效引导学生对概念的理解从“适当模糊”走向“趋向本质”。这就需要教师引导学生会用数学的语言表达现实世界，教师可以先请理解能力强学生表达自己对“高”的理解，给其他学生树立榜样，再通过组织学生的思维辨析和交流分享活动，教师根据学生认知，逐步引导学生学会用准确的数学语言表达，从而全面、深入地理解“高”的本质意义。 值得一提的是：教材所呈现的只是形式化的、冰冷的结果，教师的教学如果从这些“冰冷”的形式开始，学生就不可能经历“火热”的数学思考过程。教师在实际数学教学时，如果从“形式”开始，学生就容易出现“形式”上的理解。为了避免“形式”上的教，需要教师将“学术形态的数学转化为教育形态的数学（张奠宙）”，为此，需要教师：关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，自然地实现由“生活概念向科学概念的运动（杜威）”；关注数学概念、知识发展的历史本源，关注其形成、发展的原始动力与过程；关注现实问题向数学问题的转化过程，真正让学生经历“建模”的过程，体验到数学之于解决实际问题的重要意义；更需要关注学生的朴素问题与思维过程，真正激发学生探究的愿望，发展理智的好奇。因此，一个数学教师专业成长的核心是对数学学科本质的把握。   习近平总书记在二十大报告指出“教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑。”“我们要坚持教育优先发展、科技自立自强、人才引领驱动，加快建设教育强国、科技强国、人才强国……”对于教师的要求，习近平总书记是这样阐述的：“要给学生一碗水，教师要有一潭水。”作为教师，我们需要时时追问自己，需要对自己的学科知识保持自我监控与反省：我们还有“一潭水”吗？教师如何葆有这“一潭水”？ 　　概念教学是小学数学教学的重要组成部分。表象和定义是一个概念的两个侧面，前者表示概念的内部表征，后者是概念的外部表征，它们是概念形成过程中必须重视的方面。教学中，不少教师存在“重视定义本身，而忽视表象对本质把握的作用”或“重视表象，而未深入定义本质”等现象。那么，教师怎样才能够在概念教学中，一定要处理好表象和定义的关系，从而让概念教学更有效呢？我以数学教研组昨天的研讨课“认识底和高”为例，谈谈本课教师应该具备的教学思考。 教材与学情分析 “认识底和高”这节课是在学生学习了梯形、平行四边形和三角形的特征，初步认识平行四边形和梯形的高，学习了运用三角尺或直尺画垂线的方法的基础上，本课是学生进一步学习平行四边形面积、三角形面积和梯形面积计算的基础。几何图形的“高”是较为抽象的几何知识，小学生理解起来比较困难。 若干年前，我在教学本课之前，曾经利用问卷星就“高的认识”对学生进行了简单的前测。测试数据显示，当所给的平行四边形和梯形的平行线属于上下平行，大多数学生能画出多条高，部分认为高就是平行线之间的距离。如下图： 　　前测数据中，当所给的平行四边形和梯形的平行线属于左右平行时，发现大约有50%的学生不能正确画出高，还有的学生不能解释为什么梯形的两条腰之间不能作高。 通过学生的个别访谈，发现部分学生虽然理解了高的概念，但是只抓住了高的“具象特征”即“垂线段”，但未抓住高是“从哪里出发到哪里”的垂直线段，所以虽然学过画高技能却仍然会错。小部分学生虽然学习认识了高，但是仍然将生活中的高和数学中的高混淆，他们认为高就是垂直于地平面的线段。 由此我们可以知道，虽然学生已经学习过高的定义和画高技能，大部分学生能掌握一定“高”的简单作图技能，但是对“高”这一概念的认识仍停留在直观、模糊的层次上。 教学思考 大家都知道，小学阶段的数学，不少概念没有给出严格的定义或者只是给出模糊的描述性定义，几何图形的“高”也是如此。即便如此，数学概念的教学也不能停留在“只能意会，不能言传”，而丢失数学本身最重要的“对客观世界的定性把握和定量刻画”的意义，教师应当准确把握“高”的概念本质，寻找合理的教学方法，引导学生对概念的理解从“适当模糊”走向“趋向本质”。 　　概念是认知的基础，是数学思维的胞。而概念的内涵又是丰富的，需要学生多层次、多维度进行领悟：从直观到抽象，从具体到一般，从内涵到外延。变式教学，通过改变问题的非本质属性而进一步达成对本质的理解，促使学生在对比辨析中增强思维的逻辑性和严谨性，培养学生多角度思维的灵活性和发散性，是帮助学生理解概念本质的重要途径。认识底和高的教学需要教师把握以下三点： 1、感知原型，形成表象 概念引入是组织教学的第一步，引入的方式在很大程度上决定了概念学习的效果。小学数学中的几何概念往往有丰富的现实原型，学生的经验以及这些现实原型是构建抽象概念的源泉和基础。因此，概念引入变式就是在教学抽象概念时，先将概念还原到学生所熟悉的现实情境，再通过变式移植概念的本质属性，使现实情境数学化，以促进概念的形成。 例如，老师揭示课题“认识底和高”之后，出示教材情景图，提出问题：你知道“限高”是什么意思？“高”指的是图中的哪一条线段的长度？你能把它画出来吗？在学生同伴交流的基础上，让学生尝试在投影仪下进行画图展示，同时，教师提醒其他学生“仔细观察她是怎么摆三角板的，是从哪里画到哪里的？”。当学生经过顶点用虚线标出桥洞的“高”的时候，老师追问：只能从这一点画吗？经过观察思考，学生们发现还可以在平行线上任取一点作垂直线段。紧接着，老师用红线勾勒出桥洞的轮廓，从中抽象出一个标准的标有底和高梯形。并指出梯形中平行的两条边都是“底”，其中较长的边叫“下底”，较短的边叫“上底”“高”是指上底和下底之间的垂线线段的长…… 设计思路分析 在对梯形的“底”和“高”概念教学中，学生在对“高”的理解容易出现障碍。做为教师要基于学生思维“最近发展区”，教师可以从学生所熟悉的量身高情境入手，初步获得“高”的感性经验。为了让凸显梯形的本质属性，使干扰因素的刺激降低到最小限度，教师应该有意识地选择生活中的与梯形相似的直观材料，以亟待解决的问题为导向，先让学生找出“限高”，帮助建立能突出事物共性的清晰表象，而后再隐去直观实物，以表象为中介，从中抽象出数学模型，引出梯形的“高”，通过抽象思维达到对概念的理性理解。在这个从“感知——表象——抽象”的由浅入深的认知加工过程中，从“实物——图形——文字”，学生对概念的抽象化水平也在由表及里地梯进式发展。 2、沟通联系，聚焦本质 心理学研究表明，小学生在学习新概念时，如果对象进入大脑的信息不受前摄抑制干扰，会更容易在大脑中留下印记。因此，为了更好地促进学生对概念的内化加工，教师一方面需要对学生的首次感知进行正面的强化刺激，另一方面又要为他们寻找一个支撑点，以点带面，沟通好新旧概念之间的联系。在几何概念教学中，图形变式就是一种常见的方法,它通过借助图形变化，重复突显概念的本质属性，为学生提供有利于概括的信息，同时提高他们的类比推理能力。 在“认识底和高”的第二个教学环节，教师应该组织有效的思辨活动，三角形、梯形、平行四边形的高必须从哪里找点？找到点之后向哪里作垂直线段？三角形、梯形、平行四边形的高有什么相同和不同？  设置这样的辨析活动，很有必要，将所学的平行四边形、梯形和三角形的高联系起来，通过对比，发现高的本质其实就是点到线的垂直线段。将抽象的高认知转化为过去所学的“点到线的垂直线段”这一旧知。再进一步区分不同图形中高的不同是源于高的点的位置不同，三角形的高必须从顶点作高，只有三条高；平行四边形和梯形的高是平行边上任意一点作高，所以有无数条。让高这一概念，在学生眼里不再“飘忽不定”。。这有利于真正理解两种图形高的定义，让学生对高的理解更贴近数学本质。 教师也可以在梯形的基础上引导学生进行想象：如果梯形的下底不变，将上底逐渐向右延长，可能会变成什么图形？学生通过观察发现，当两条底的长度相等的时候，梯形会变成平行四边形。如果再按这样的趋势走又会变成梯形。在此基础上教师继续引导：如果再将上底向左缩短可能会变成什么图形？如果长度变为0呢？然后借助希沃白板的动画直观演示，呈现梯形的上底“向右”、“向左”的动态变化的图形，直观地验证同学们的想象。在此基础上，教师质疑：在这个动态变化过程中，你们发现什么变了，什么没变？这三种图形高的画法有什么相同点？引导学生通过观察和思考，概括出“从一个顶点向底引出的、与底垂直的线段就是高。”通过类比平行四边形和梯形的高的认识的经验，猜想三角形的高的样子，学生充分经历猜想、画图、辨析、思考四个数学活动，亲身经历三角形高的定义的形成过程，对于感悟概念的内涵十分重要。 教师在传授一种知识时，不仅要教会学生操作的方法，更要讲清楚操作背后的理由，这样的知识才是活的，才有可能真正变成学生自己可操作的对象。教师应该知道：教育需要不断启迪学生的“智慧”，让每个学生越学越聪明。教学生学会学习，并且具备终身学习的能力。“死记硬背”“知识填鸭”对启迪智慧有巨大的副作用，如果教师如此教学，学生的智慧会被磨损，甚至产生厌学情绪。 教会学生学习、启迪学生智慧的核心就是培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 设计思路分析 教师要注意引领学生用一种“大数学”的眼光，将新概念置于学生已掌握的数学知识体系中，通过对旧知识点进行的横向和纵向联结，让学生在对上底从左往右，又从右往左的等高变形中，进行想象与推理，在思考与交流的过程中，既感受到知识的发展（梯形、平行四边形和三角形进行了相互转化），又领悟了知识的统一（三者的底和高都互相垂直）。此外，这个环节的变式中所渗透的极限思想和转化思想，促进了学生空间想象能力的发展，还为学习梯形面积公式的转化应用作好了铺垫。教师进行教学设计的时候，让学生看到的，不应该仅仅是一个“点”，应该是一条“线”，甚至是一个“面”。 3、打破定势，突显内涵 对于小学生来说，抽象数学概念的学习需要经历一个复杂的认知过程。不仅要利用常态的标准材料，还要考虑到学生思维定势的负面影响，为学生提供典型的变式材料让他们去辨析比较，促成完整明晰的概念理解。 在学生画出“标准”图形指定的底边上的高之后，教师要注意将图形进行旋转（如图3所示），请学生指出梯形的“底”在哪里。当学生指着边AB说它是上底的时候，老师要追问学生“你为什么认为它是上底？”学生可能会回答“在上面的是上底”，学生也可能认为边BC是上底，因为“它比较短”，这时，教师应该指着边AB反问“我觉得它也比较短，为什么就不能是上底？”教师通过巧妙质疑，引导学生的积极思维和交流，产生碰撞的火花，道理不辨不明，只有这样，学生才能够深刻领悟到梯形中平行的两条边才是“底”。 　　再接着，教师通过将平行四边形旋转至如上图所示位置，让学生再在练习纸上或者事先准备好的梯形、三角形和平行四边形的纸片，让学生画出指定底所对应的高，学生正确画完高后，针对学生课堂生成的资源，教师再次质疑：“高怎么会是斜的？”根据学生的回答，教师继续追问：“你为什么觉得这样斜着画就不像是高？”学生受到量身高时都是竖直量的思维影响，可能出现下面的情况（如图4所示） 　　教师抓住问题的关键引导学生思考并交流：“什么是平行四边形的高？”，“那垂直和竖直有什么不一样？”帮助学生加深从一个顶点向底引出的、与底互相垂直的线段才是高的认知。针对学生的思维引导学生辨析：“竖直”是“从上往下”而“垂直”是指两条线“相交成直角”“那竖着量出来的难道不是我们的身高吗？如果是的话，又是什么和什么互相垂直？”于无声处听惊雷，学生通过思考辨析，会恍然大悟：原来，高可能“竖着”，也可能“斜着”，但不管怎样，都得与之相对应的“底”互相垂直。 由此学生们会很快发现不管三角形怎么转，与指定的高垂直的线段F便是它的底……思维不能就此停止，教师进一步追问：三角形的底只有这一条吗？与之对应的高又在哪里？请大家动手画一画…… 设计思路分析 “底”和“高”的教学，其实是以“关系”为本质的概念教学，把握此概念与彼概念之间的关系，对于学生来讲是难点。因为教材通常是将用以反映本质特征的图形画成“标准图形”，而学生对于“互相垂直”的认知，往往习惯于在标准图形中“竖着”理解。教师通过故意改变图形的位置和方向，让学生在思维定势的干扰下发生错误，进而，教师利用课堂的生成资源，帮助学生从对错误的认识中引发更为深刻的正面思考，明确“高”可能是“竖直”的，也可能是“斜着”的，还有可能是“横着”的，这样的组织教学，效果是不言而喻的。 　　做为一名教师，务必要学会做真学问，用真心育人，教给学生真本事。就要做到：激发学生的求知欲，启迪学生的智慧，成就学生的远大志向。希望每位教师， 在课前，多一些准备，多一些心血，多一些付出，多一些预设。在课堂里，多一些倾听，多一些交流，多一些互动，多一些期待，多一些理解，多一些欣赏，多一些宽容， 多一些“人”的视角， 多一些学生立场。