构造旋转模型解决最值问题思维方法研究(2)

数学寻梦人

如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D是直线AB上一动点，以线段CD为斜边在右侧作等腰Rt△CDE，连接AE，求AE的最小值.

最值基本原理

1.两点之间线段最短——点点最值；

2.垂线段最短——点线最值；

3.点圆最值；

4.三角形的三边关系.

思维突破

1.共顶点的两个等腰直角三角形，可惜一个是直角顶点一个是底角顶点，角不同不相为谋，无法构建旋转全等或放缩模型，共顶点所在角怎样转化相等的角即三角形时针方向相同；

2.结论中的AE点A是定点，点为E是动点，点E的运动轨迹是什么？直线或圆弧形？与动点D存在怎样的关系？

构造旋转全等或放缩模型确定动点轨迹采取点线最值还是选择点圆最值是我们解决问题的思维目标.围绕思维目标制定思维方法和路径.

思维路径

思维方向一：围绕等腰直角三角形构造旋转模型

方法一：补法构造旋转全等模型

1.延长DE至点F，使DE＝EF，连接CF和BF——构造旋转全等模型

证△ACD和△BCF全等——SAS

条件：AC＝BC，∠ACD＝∠BCF，CD＝CF

可得AD＝BF，∠CBF＝∠CAD＝45°，证∠ABF＝90°.

2.截取AH＝BD，作AB的中点G，连接EG和FH——构造中位线

易证BH＝AD＝BF——△BFH是等腰直角三角形

则∠BHF＝∠EGD＝45°——中位线

因此点F的运动轨迹是直线型.

3.作AM⊥EG于点M，当点E运动到与点M重合时，AE最小.

在Rt△AMG中，AM＝√2/2AG＝2.

因此AE的最小值为2.

方法二：割法构建旋转放缩模型

1.作AB的中点F，连接CF和EF——构造旋转放缩模型

证△ACD和△FCE相似

条件：AC＝√2FC，∠ACD＝∠ECF，CD＝√2CE可得∠CFE＝∠CAD＝45°.

由于AB与EF的夹角是定角，AB是定直线，因此点E的运动轨迹是直线型.

2.作AH⊥EF于点H，当点E运动到与点H重合时，AE最小.

在Rt△AHF中，AH＝√2/2AF＝2.

因此AE的最小值为2.

思维方向二：利用特殊点轨迹构造法

1.当点D与B重合(特殊点)时，以BC为斜边在右侧作等腰△BCE，连接EF——确定点D和E的特殊位置结合一般位置探寻旋转模型.

证△BCD和△FCE相似

条件：BC＝√2CF，CD＝√2CE，∠BCD＝∠FCE

可得∠CFE＝∠CBD＝45°

可证EF是垂直平分BC——三线合一

因此点E的运动轨迹是直线型.

2.作AH⊥EF于点H，易证四边形ACMH是矩形AH＝CM＝2.

当点E与H重合时AE的最小值为2.

注：①若动点D与点A重合点E在AB的中点，思维过程参考方向一的方法二；②若点D运动到AB的中点，点E到BC的中点构造旋转放缩模型，利用定角定边确定动点E的轨迹，根据垂线段最短可求AE的最小值