说说“统计与概率”

姜锋

义务教育阶段数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成。 数与代数、图形与几何、统计与概率以数学核心内容和基本思想为主线循序渐进，每个学段的主题有所不同。综合与实践以培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力为目标，根据不同学段学生特点，以跨学科主题学习为主，适当采用主题式学习和项目式学习的方式，设计情境真实、较为复杂的问题，引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题。 根据学段目标的要求，四个学习领域的内容按学段逐步递进，不同学段主题有所不同。具体安排如表2。 　　(三)统计与概率 统计与概率是义务教育阶段数学学习的重要领域之一，在小学段包括“数据分类”“数据的收集、整理与表达”和“随机现象发生的可能性”三个主题。这些内容分布在三个学段，由浅入深，相互联系。学生在学习过程中，了解统计与概率的基础知识，感悟数据分析的过程，形成数据意识。 “数据分类”的本质是根据信息对事物进行分类。学生经历从事物分类到数据分类的过程，感悟如何根据事物的不同属性确定标准，依据标准区分事物，形成不同的类。在学习统计图表时，学生将进一步认识数据的分类，从中感悟对事物共性的抽象过程，不仅为统计学习，也为数学学习奠定基础。 “数据的收集、整理与表达”包括数据的收集，用统计图表、平均数、百分数表达数据。在学习过程中，让学生初步感受现实生活中存在大量数据，其中蕴含着有价值的信息，利用统计图表和统计量可以呈现和刻画这些信息，形成初步的数据意识。 “随机现象发生的可能性”是通过试验、游戏等活动，让学生了解简单的随机现象，感受并定性描述随机现象发生可能性的大小，感悟数据的随机性，形成数据意识。 内容要求 　　第一学段(1～2年级) 【内容要求】 1.数据分类 会对物体、图形或数据进行分类，初步了解分类与分类标准的关系，形成初步的数据意识。 学业要求 　　【学业要求】 1.数据分类 能依据事物特征，按照一定的标准进行分类；能发现事物的特征并制订分类标准，依据标准对事物分类；能用语言简单描述分类的过程；感知事物的共性和差异，形成初步的数据意识(例37)。 例题 　　例37 制订分类标准 选择不同的标准，把全班同学分为两类，记录并呈现调查的结果，讲述调查的过程。 【说明】分类是对数据进行的初步整理，也可以是设计数据获取方案的基础。在活动中，可以让学生感知数据蕴含着信息，为以后统计与概率的学习积累感性经验。教学中，应鼓励学生合理地提出分类标准，依据标准对调查数据进行分类。具体可作如下设计。 　　(1)鼓励学生自己制订分类标准，感悟分类标准与数据信息之间的关联。例如，按照性别分类可以知道男、女同学的多少，按照出生年月分类可以知道同学的年龄状况，等等。 (2)可以以小组为单位制订分类标准，设计调查方案，进行调查研究，收集数据，完成分类。 (3)尝试运用各种方式(如文字、图画、表格等)呈现小组的调查结果，讲述调查的过程和结论。 (4)在这样的教学过程中，要引导学生进行小组内的交流和全班内的积极配合，培养协同意识和交往能力。 教学提示 　　【教学提示】 数据分类的教学。要重视对接学生学前阶段已有的生活经验，鼓励学生在活动中学会物体的简单分类，在亲身参与的动手活动中感悟分类的价值，在分类的过程中认识事物的共性与区别，学会分类的方含义法。鼓励学生运用文字、图画或表格等方式记录并描述分类的结果，据意体会如何用数学语言表达现实世界，形成初步的数据意识(例38)，为后续学习统计中的数据分类打好基础。 例题 　　【说明】本活动适合第一学段的两个年级，可以在要求上有所区分。活动的目的是希望学生能够清楚“分类要依据分类标准”。例如，扣子的形状、颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准，而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。本活动有利于培养学生把握事物特征、抽象事物共性的能力。 此外，活动还要求学生运用文字、图画或表格等方式记录分类的结果，这有利于培养学生整理数据的能力。具体可作如下设计。 (1)教师提出问题，引导学生讨论分类标准。启发学生遵循有序的思维过程：先选择一个指标(如颜色)作为分类标准，再基于第一次分类的结果思考还可以怎样继续分类，体会还能以“形状”或“扣眼数”为标准进行第二次分类，初步了解分类是有层次的，体会层层递进的思考。 (2)根据已经讨论确定的分类标准对学生分组，引导学生实际操作，合作完成计数，各小组呈现统计结果。 (3)组织学生报告统计结果，引导学生作出评价，帮助学生整理思路。 内容要求 　　第二学段(3~4年级) 【内容要求】 1.数据的收集、整理与表达 (1)经历简单的数据收集和整理、描述和分析的过程，了解简单的收集数据的方法，会呈现数据整理的结果(例39)。 (2)通过对数据的简单分析，感受数据蕴含着信息，体会运用数据进行表达与交流的作用。 (3)认识条形统计图，会用条形统计图合理表示和分析数据。 (4)能读懂报纸、电视、互联网等媒体中的简单统计图表。 (5)探索平均数的意义，能解决有关的简单实际问题(例40)。 (6)能在简单的实际情境中，合理应用统计图表和平均数(例41)，形成初步的数据意识和应用意识。 例题 　　例39 调查研究 某班的新年联欢会准备购买水果，要调查班级同学喜欢吃的水果，设计购买方案。 【说明】经历调查班级同学喜欢吃的水果的过程，感悟数据调查的方法，知道数据分析对于决策的作用。具体可作如下设计。 (1)全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他原则，让学生感知制订原则对于调查研究的重要性。 (2)引导学生讨论收集数据的方法。例如：可以采用一名同学提议、其他同学赞同举手的方法；可以采取填写调查表的方法；等等。 (3)按照讨论后的方法收集数据、整理数据，然后按照决定的原则制订购买水果的方案。 在这样的过程中，可以根据学生讨论的实际情况灵活生成教学过程，要让学生感知：收集数据的方法没有对错之分，但要一以贯之；购买方案没有对错之分，但要符合最初制订的原则。培养学生想事情和做事情的严谨性，发展理性精神。 　　【说明】让学生在比较两个小组跳绳比赛结果的过程中，体会每个小组的平均数能够表达这个小组数据的集中趋势，理解平均数的代表性，逐步提升数据意识。具体可作如下设计。 (1)让学生认识到两个小组人数不同，不能用总数作为比较两个小组跳绳整体水平的依据，感悟引入平均数的必要性；在引导学生利用平均数进行比较的过程中，感悟平均数可以用来代表小组的整体水平；在用平均数对两个小组跳绳水平进行分析的过程中，逐步理解平均数作为一个统计量，能够刻画一组数据的集中趋势，介于“最大数”与“最小数”之间。 (2)引导学生讨论第一组中两个“92”的实际意义，通过这两个数值所表示意义的不同，进一步理解平均数的代表性。 (3)继续引导学生讨论，如果第二组再增加一名学生参加比赛，这组的平均成绩可能会发生怎样的变化？感悟每一个数据都会对平均数产生影响。 　　例41 同学身高数据的整理与分析 整理全班同学的身高数据，根据希望了解的问题，对数据进行分析，得到结论。 【说明】学校每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的数据资源，希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，可以根据不同年级学生的学习要求，分析不同的问题。在第二学段，学生可以直接发现数据提供的信息，如最高(最大值)、最矮(最小值)、最高与最矮相差多少(极差)，大部分同学的身高是多少(众数)等；在第三学段，学生可以通过数据的整理得到信息，如分别计算男生、女生身高的平均数，进行身高比较，或者用条形统计图表达几个身高段中的人数等；到六年级，学生展示自己身高的变化。在这样的过程中，让学生感悟保留数据的必要性，在现实生活中养成科学态度。 学业要求 　　【学业要求】 1.数据的收集、整理与表达 能收集、整理具体实例中的数据，并用合适的方式描述数据，分析与表达数据中蕴含的信息。能用条形统计图合理表示数据，说明数据的现实意义。 知道用平均数可以刻画一组数据的集中趋势，知道平均数的统计意义；知道平均数是介于最大数与最小数之间的数，能描述平均数的含义；能用平均数解决有关的简单实际问题(例42)，形成初步的数据意识和应用意识。 例题 　　例42 上学时间 学生记录自己一周内每天上学途中所需时间，经历通过试验获取数据的过程，感悟平均数所提供的信息。 【说明】本活动可以通过主题活动的方式进行，适用于第二、第三学段。要求学生记录每天上学途中所需的时间，经历记录试验数据的过程；计算累计数据的平均数，运用平均数表达从试验开始每天上学途中所需时间，感悟平均数的意义，建立初步的数据意识。 如果以分为单位记录上学时间，那么学生每天上学途中所需时间将会不同，感悟数据的随机性；如果记录的天数越来越多，那么累计数据的平均数会越来越稳定，让学生感悟平均数的特征。具体可作如下设计。 (1)指导学生进行试验。启发学生设计试验方案，例如：事先调整家里钟表的时间，使其与到学校时观察的钟表时间保持一致；在试验期间，保证每天上学途中的行为尽量一致；作为参照，也可记录放学回家的时间；等等。在这样的过程中，培养学生做事的严谨性，在日常生活中形成科学态度。 (2)指导学生析取信息。启发学生感知，虽然每天上学时间可能不同，但通过一周的记录可以知道大概需要多少时间，可以知道上学途中所需要的最长时间和最短时间等。在这样的过程中，让学生感悟数据蕴含着信息，信息的获得往往需要对数据进行加工。 (3)组织学生进行交流。引导学生比较自己与他人的数据加工结果，获得整体信息：同学上学途中所需的平均时间，大多数同学上学途中所需时间，上学途中所需的最长时间和最短时间；还可以将上学时间分段，统计每个时间段的人数，利用条形统计图进行表达。在这样的过程中，引发学生体会调查研究的乐趣。 教学提示 　　【教学提示】 数据的收集、整理与表达的教学。创设真实情境，引导学生经历简单的数据收集和整理，感悟收集数据的意义和方法，用数学语言表达数据所蕴含的信息，形成初步的数据意识。 条形统计图教学要通过现实背景，让学生理解条形统计图中横轴和纵轴的意义及二者之间的关联，知道条形统计图的主要功能是表达数量的多少，借助条形统计图可以直观比较不同类别事物的数量。 平均数教学要引导学生在熟悉的情境中理解平均数所具有的代表性，通过刻画一组数据的集中程度表达总体的集中状况。例如：某篮球运动员平均每场得分、某地区玉米或水稻的平均亩1产、某班级学生的平均身高等，理解平均数的意义；也可以让学生经历收集体现社会发展或科技进步数据的过程，初步体会平均数的统计意义，形成初步的数据意识(例43)。 例题 　　例 43 “三百星”的故事 通过阅读资料，知道中国空间技术研究院从1970年到2020年的50年里已经向太空成功发射了300个航天器，俗称为“三百星”。根据发射一个“百星”所用年数，体会用平均数进行表达的统计意义，同时感悟中国航天科技加速发展的趋势。 【阅读资料】摘编自《人民日报》2021年1月18日《科技视点》栏目，文字有修改。 1970年4月24日，中国发射了独立自主研制的第一颗航天器东方红一号卫星，迈出了走向太空的第一步。2020年11月24日到12 月17日，嫦娥五号完成了23 天的月球采样返回之旅，创造了中国航天史上又一个里程碑式的成就。从东方红一号到嫦娥五号，中国空间技术研究院研制并成功发射了300个航天器，俗称为“三百星”，包括第一颗人造卫星、第一艘飞船、第一颗导航卫星、第一颗月球探测器、第一个空间实验室、第一艘货运飞船……其中，发射第一个“百星”用了41年时间，完成第二个“百星”用了6年时间，而达成第三个“百星”只用了3年时间。 【说明】在引导学生阅读资料的过程中，启发学生发现并提出问题。50年发射300星，可以求出平均每年发射6颗星，即300÷50=6。还可以思考、研究、计算每一个“百星”的时间段和年平均发射星的数量。得到： 第一个“百星”：100÷41～2.4(颗)， 第二个“百星”：100÷6～16.7(颗)， 第三个“百星”：100÷3～33.3(颗)。 通过对比分析每一个“百星”在三个不同年段的平均数，特别是与“平均每年发射6颗星”比较，可以让学生更加直观地感悟到数据变化的趋势与程度，体会平均数的统计意义，感受我国航天事业的加速发展。 内容要求 　　第三学段(5～6年级) 【内容要求】 1.数据的收集、整理与表达 (1)根据实际问题需要，经历数据收集、整理和分析的过程，能合理述说数据分析的结论。 (2)认识折线统计图、扇形统计图；会用条形统计图、折线统计图呈现相关数据，解释所表达的意义。 (3)能从各种媒体中获得所需要的数据，读懂其中的简单统计图表(例44)。 (4)结合具体情境，探索百分数的意义，能解决与百分数有关的简单实际问题，感受百分数的统计意义。 (5)在简单的实际情境中，应用统计图表或百分数，形成数据意识和初步的应用意识。 例题 　　例 44 用统计图表达空气质量变化 2018年7月，国务院颁布了《打赢蓝天保卫战三年行动计划》。北京市积极响应，聚焦移动源、扬尘源、生产生活源等重点污染源，深化秋冬季大气污染防治攻坚，人们普遍感觉到雾霾天数明显减少。请用统计图表达空气质量是否得到改善。 【说明】本活动可以通过主题活动的方式进行，让学生经历设计方案、收集数据、整理和表达数据的全过程，感受数据蕴含着信息以及如何提取信息，发展数据意识。这样的活动适合第三学段学生，具体可作如下设计。 (1)自主设计方案。分组实施，启发学生广开思路，设计收集数据的方案。显然方案有多种：把2018年某月的空气质量情况，先按照污染程度分类，计算各类别的天数，然后分别计算2019年和 2020年这个月份的相应数据，进行比较，判断空气质量是否得到改善；也可以先按污染程度分类，分别计算每年中各类别的天数，然后进行比较；还可以计算一年中空气质量优良的天数并进行比较；等等。引发学生对不同方案展开讨论，最终形成小组意见。在这样的过程中，培养学生的交流能力。 (2)实施设计方案。每个小组按照自己设计的方案，收集、整理和表达数据。学生可以查阅相关图书，也可以通过网络查询，培养获取数据的能力；对获取的数据进行整理，尝试用各种统计图表达整理后的数据，在尝试的过程中体会各种统计图的功能，知道对于这类与过程有关的数据，用复式条形统计图或折线统计图表达的合理性；借助统计图对空气质量的变化进行分析。在这样的过程中，培养学生的推理意识，让学生感悟如何用数学的语言表达现实世界。 (3)组织学生进行小组汇报，分析各自小组的设计思路、数据收集过程、构建统计图的理由、最终的结论，让学生体会数据收集、整理和分析的现实意义，提升数据意识。 　　2.随机现象发生的可能性 (1)通过实例感受简单的随机现象及其结果发生的可能性。 (2)在实际情境中，对一些简单随机现象发生可能性的大小作出定性描述。 学业要求 　　【学业要求】 1.数据的收集、整理与表达 能根据问题的需要，从报纸、杂志、电视、互联网等媒体上获取数据，或者通过其他合适的方式获取数据，能把数据整理成条形统计图、折线统计图，知道条形统计图、折线统计图和扇形统计图的功能，会解释统计图表达的意义，能根据结果作出简单的判断和预测。能在真实情境中理解百分数的统计意义(例45)，解决与百分数有关的简单问题。能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据意识，发展应用意识。 2.随机现象发生的可能性 能列举生活中的随机现象，列出简单随机现象中所有可能发生的结果，判断简单随机现象发生可能性的大小。对于现实生活中的一些简单问题，能根据数据提供的信息，判断随机现象发生的可能性。 例题 　　例 45 谁的套圈水平高 为丰富学生的课外活动，学校开展套圈游戏活动。请你比一比，谁的套圈水平高？ 【说明】通过套圈活动，引导学生对数据进行分析，了解百分数可以对随机数据进行刻画与表达，认识到百分数可以帮助人们作出判断和预测，感受百分数的统计意义，培养数据意识。具体可作如下设计。 (1)如表7，先只出示1号和2号同学的套中次数。让学生经过讨论知道，只有套中次数的数据，无法比较判断。 然后出示1号和2号同学的套圈总次数，再经过讨论使学生知道关键是要找到套中次数与套圈总次数的关系(命中率)才能进行比较。 (2)出示3号和4号同学的套圈总次数和套中次数，让学生自主尝试进行比较，体会统一比较标准的重要性。再通过对不同标准的比较，感受以百分数为标准进行比较既直观又方便。 (3)深入讨论：如果这四名同学再进行一次同样的套圈比赛，排名还会是这样吗？使学生感受百分数对随机数据的刻画与表达，体会百分数的统计意义，发展数据意识。 教学提示 　　【教学提示】 数据的收集、整理与表达的教学。从实际情境和真实问题入手，引导学生在条形统计图的基础上，进一步学习统计图；在平均数的基础上，进一步学习百分数。在这样的过程中，了解数据的随机性。 折线统计图教学要引导学生理解折线统计图的主要功能是表达数据的变化趋势。例如，表达中国高速铁路运营里程的逐年增长、某学生身高的逐年增长、某地区一个月最高温度的变化等。体会折线统计图与条形统计图的区别，知道针对不同问题应选择合适的表达方式，逐步感知统计学基于合理性的价值判断准则。有条件的学校可以利用信息技术处理数据、绘制统计图。 百分数教学要引导学生知道百分数是两个数量倍数关系的表达，既可以表达确定数据，如饮料中果汁的含量，税率、利息和折扣等，也可以表达随机数据，如某篮球运动员罚球命中率、某城市雾霾天数所占比例等。建议利用现实问题中的随机数据引入百分数的学习，帮助学生了解百分数的统计意义，了解利用百分数可以认识现实世界中的随机现象，作出判断、制订标准(例46)。同时，引导学生了解扇形统计图可以更好地表达和理解百分数，体会百分数中部分与整体的关系。 随机现象发生的可能性的教学。引导学生在自然界和生活的情境中感受简单的随机现象，如下周三是否是晴天，从家到学校所需要的时间等，知道在现实世界中随机现象普遍存在；感知随机现象的基本特征，可能发生也可能不发生，可能以这样的程度也可能以那样的程度发生。让学生感知，许多随机现象发生可能性的大小是可以预测的，例如，一个袋子里装有若干不同颜色的球，学生通过有放回地摸球试验记录，感受数据的随机性，判断各种颜色球的多与少，发展数据意识。 例题 　　例46 确定五年级学生跳绳达标线 为了促进学校体育活动的开展，五年级学生决定开展跳绳活动，准备确定五年级学生跳绳达标线。请你设计一个确定达标线的方法。 【说明】可以用各种方法确定达标线，但要让学生知道，实事求是是一个重要原则。对于这个问题，实事求是就是根据五年级学生跳绳的实际情况确定达标线，因此，学生需要收集同学们在规定时间内跳绳次数的数据。例如，在体育课中开展跳绳活动，可以随机抽取100名学生，记录这些学生1分钟内的跳绳次数，然后基于这些数据进行整理、分析、讨论，确定比较合理的达标线。 在一般情况下，可以考虑百分数，就是把这100名学生的跳绳次数从少到多排列。例如，选择第25名学生所对应的跳绳次数作为达标线。引导学生理解，如果选择这个达标线，那么在现阶段，大多数学生(大于或等于75%)都能够达标，少数(小于25%)没有达标的学生经过努力也可能达标。在这样的过程中，让学生感悟百分数的统计意义，以及对于决策所起到的作用。 教学中，还可以启发学生结合语文课的学习，尝试记录“制订标准”的研究过程，写出有自己特色的“小论文”。开展将体育活动、数学研究、语文习作相结合的综合实践活动，有助于学生学会交流，提升解决问题的能力。