一道小学奥数题思维方法研究

数学寻梦人

偶得一题，乃小学奥数题也，擦一擦眼镜，揉了揉眼睛，发现是不定方程求解问题，限制条件是三个未知数都是正整数.看问题如何求解，关键有多少个解？

问题：若1/a+1/b+1/c＝1/8，且a、b、c为不相等的正整数，求a+b+c的值.

思维突破

1.结果1/8可以化成小数0.125，利用小数结构的本质意义是加法运算的简化形式，把它拆解为三个小数，满足的条件是化成最简分数后分子为1.

2.结果1/8利用分数的基本性质分子分母都乘n，这样把n/8n拆解成三个分数的分子都是8的因数(约数)，都是n的约数或者都是8n的约数，约分可满足分子均为1.则约分后的分母就是所求的正整数解.

思维方法一：化小数拆解

1/8＝0.125＝0.1+0.02+0.005

＝1/10+1/50+1/200

则a＝10，b＝50，c＝200

应该还有更多的拆分方法！

思维方法二：分数拆解

方法一：拆解后分子均为8的约数

1.定8的因数

8的因数有1、2、4和8

2.定分子和n

三个分子为1、2和4则n为7

三个分子为1、2和8则n为11

三个分子为1、4和8则n为13

三个分子为2、4和8则n为14

3.求a、b、c的值

①当n＝7时1/8＝7/56＝1/56+2/56+4/56＝1/56+1/28+1/14

因此a＝56，b＝28，c＝14

②当n＝11时1/8＝11/88＝1/88+288+4/88＝1/88+1/44+1/22

则a＝88，b＝44，c＝22

③当n＝13时1/8＝13/104＝1/104+4/104+8/104＝1/104+1/26+1/13

则a＝104，b＝26，c＝13

④的结果同①

方法二：拆解后分子均为n的因数

当n＝6时，三个分子为1、2和3

1/8＝6/48＝1/48+2/48+3/48＝1/48+1/24+1/16

则a＝48，b＝24，c＝16

若n为6的倍数时均可以拆解成功但结果为均相同.

方法三：拆解后分子均为8n的因数

①当n＝10时，三个分子为1、4和5

1/8＝10/80＝1/80+4/80+5/80＝1/80+1/20+1/16

则a＝80，b＝20，c＝16

②当n＝15时，三个分子为1、6和8

1/8＝15/120＝1/120+6/120+8/120＝1/120+1/20+1/15

则a＝120，b＝20，c＝15

③当n＝21时三个分子为7、6和8

1/8＝21/168＝7/168+6/168+8/168＝1/24+1/28+1/21

若问题改为1/a+1/b+1/c＝1/7不定方程的正整数解会减少吗？

不定方程应该还有更多的正整数解解，还有遵循什么特点的解呢？不定方程的正整数解的求解规律是什么？问题的本质又是什么？因为不懂数论很多东西不敢妄言！