3.8圆内接正多边形

兴

顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。

这个圆叫做该正多边形的外接圆。

把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正多边形。

如图3-33,五边形 ABCDE是⊙O的内接正五边形

圆心O叫做这个正五边形的中心

注：正多边形的中心指的是其外接圆(或内切圆)的圆心。

OA是这个正五边形的半径;

注：半径指的是其外接圆的半径,

∠AOB是这个正五边形的中心角;

注：中心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心角

OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距。

注：边心距指的是其内切圆的半径。

例：如图3-34,在圆内接正六边形 ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距

分析：正n边形的有关计算均可转化为解直角三角形.这个直角三角形的构成是:斜边为半径,一直角边为边心距,另一直角边为边长的一半,顶点在中心的锐角为中心角的一半。

随堂练习

分别求出半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距

做一做

利用尺规作一个已知圆的内接正六边形

分析：由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆的半径R.所以,在半径为R的圆上,依次截取等于R的弦,就可以六等分圆,进面作出圆内接正六边形

做法：为了减少累积误差,通常像图3-35那样,作⊙O的任意一条直径FC,分别以F,C为圆心,以⊙O的半径R为半径作弧,与⊙O相交于点E,A和D,B,则A,B,C,D,E,F是⊙O的六等分点,顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,B,便得到正六边形 ABCDEF.

你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗?你是怎么做的?

1.如图,把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形 DFHKGE,求这个正六边形的面积

分析：先证明每一个三角形都是等边三角形，并求其边长为2；

利用等边三角形的面积公式求大三角形的面积为9√3，小三角形面积为√3，从而得出这个正六边形面积＝9√3－3×√3＝6√3

2.求半径为6cm的圆内接正四边形的边长、边心距和面积

分析：正方形外接圆的直径是正方形的对角线，是边长的√2倍，所以正方形的边长为6√2cm，面积是边长的平方为72cm²而根据中位线定理，边心距等于边长的一半，所以边心距等于3√2cm。

3.各边相等的圆内接四边形是正方形吗?各角相等的国内接四形呢?如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例,

第一问：是,因为同圆中等弦对等弧,所以四边形的四个顶点把圆四等分,因此相邻两边所组成的圆周角(即四边形的内角)都相等;

第二问：不一定，可以是长方形

4.⊙0半径为r,其内接正三角形、正四边形、正六边形的边长分别为a,b,c

(1)求a,b,c

(2)以a,b,c为边可否构成三角形?如果能,构成的是什么三角形?如果不能,请

说明理由(板书）

小结：本节主要认识圆内接正多边形的相关概念,研究两种圆内接正多边形的

尺规作图方法。

作业

A层作业：例题

B层作业：随堂练习

C层作业：数学理解4