可压流教学中几个基本问题的思考与讨论

张华-BUAA

　　在可压缩流动的教学中，有一些看似简单的基本问题和概念，学生却往往不易深刻理解和掌握，例如以下 8 个基本问题：

1. 为什么低马赫数流动可视为不可压缩流动？马赫数低至多少时可作为不可压缩的界限？这个界限是唯一的吗？

2. 为什么低速气流中可不必考虑热力学参数及其变化关系、而高速气流中却需要考虑？

3. 为什么低速时用速度V来描述气体流动、而高速时则用马赫数Ma来描述气体流动？

4. 什么是流体的内能？引起流体内能变化的因素是什么？

5. 什么是流体的机械能？机械能与内能u的区别与联系是什么？

6. 什么是总机械能、总能量及其影响因素？

7. 等熵（理想）可压缩流动中的温度变化范围和速度变化范围分别是多少？

8. 在闭口系统与开口系统中能量方程有何区别与联系？其中的内能、动能与压能、势能在概念上有何区别？

以下是对相关问题的思考与讨论（注：以下讨论中均不涉及化学反应问题）。

1. 为什么低马赫数流动可视为不可压缩流动？马赫数低至多少时可作为不可压的界限？这个界限是唯一的吗？

答：实际流体都具有一定可压缩性，在一定条件下流体的密度变化可能很小，以至于可以把这种流动假设为密度不变的不可压缩流体（流动）。不可压缩流体是流体力学和空气动力学的一种理想化模型，采用这一理想化模型可以简化分析。

在定常等熵的可压缩流动中，密度的相对变化 (dρ/ρ) 与马赫数 (Ma=V/c，V 是速度，c 是声速) 的关系如下。在Ma不太大的情况下，将一维等熵关系式密度比 ρo/ρ=(1+(γ-1)(Ma^2)/2)^(1/(γ-1)) 用二项式展开并略去高阶小，其中 ρo 和 ρ 分别是滞止密度和密度，γ 是比热比，可得：

dρ/ρ ≈ (Ma^2)/2

可见当 Ma=0 时 dρ/ρ=0 为不可压流动；反之当 Ma≠0 时dρ/ρ≠0 ，且Ma越大则引起的 dρ/ρ 就越大且按 Ma 平方的规律增加。因此马赫数 Ma 是代表压缩性大小的一个指标。当马赫数较低以至于密度的相对变化可以被忽略时，可将流动近似假设为不可压缩流动。例如当Ma≤0.3时密度的相对变化不大于4.5%，从工程应用角度来看这已足够小，可近似假设为密度不变化。因此人们通常把Ma = 0.3当作不可压缩的最高马赫数限制，而这与人们能接受的密度相对变化大小有关，如果认为 4.5% 的密度变化仍然偏大，则可以进一步规定比 Ma=0.3 更小的马赫数作为不可压缩假设的界限。

2. 为什么低速气流中可不必考虑热力学参数及其变化关系、而高速气流中却需要考虑？

答：由于马赫数定义为气流速度V与当地声速c之比（Ma=V/c），故低速时马赫数通常也较小，可假设为不可压流动。另外马赫数的平方还代表流动中动能与内能之比（Ma^2~V^2/u），当马赫数较小时，流动中的动能（以及其他机械能包括压能及势能等）远小于内能，尤其是在假设流动为不可压流的情况下，当流速、压强等参数发生变化时，不会引起内能或温度、密度等热力学参数发生明显的变化，因此不必考虑热力学参数及其关系。下面图1的漫画刻画了不可压流中内能与其他机械能（动能、压能、势能）的相对大小关系。

图1. 不可压流中内能相对于动能、压能等机械能而言很大，相对微小的动能、压能等变化不会对内能产生明显影响

　　反之当马赫数较大时，动能（以及其他机械能包括压能、势能等）相对于内能已不是小量，随动能等机械能的变化将会引起或伴随着内能（包括密度）相应的变化以及内能与其他机械能之间的能量转换，且这种能量转换在等熵时是可逆的，在非等熵时是不可逆的。因此可压流中必须考虑热力学参数和相应的热力学关系。

值得指出，热力学参数和热力学方程实际上无论对低速和高速气流都是适用的，只是对于低速气流而言，在马赫数足够低的情况下，采用不可压模型时用伯努利方程得到的结果与采用热力学参数和热力学方程得到的结果没有太大的差别，这就是不可压模型下不考虑热力学参数和热力学方程带来的简化好处。

　　可压流中内能与其他机械能的可逆转换在工程上也有重要应用，例如当气流高速膨胀加速时不仅压强、密度会明显降低，而且温度也会大幅度下降，利用这一原理进行降温制冷的方法称为空气膨胀制冷，是一种完全不同于冰箱或空调利用制冷剂相变来制冷的方法（相变制冷原理参见图2所示）。飞机上的空调系统就是将飞机发动机压气机的增压高温空气引出，再通过特殊设计的涡轮加速膨胀并对外输出功率而制冷，再通过调温后获得座舱空调空气（参见图3所示）。

图2. 空调或冰箱依靠制冷剂的相变循环制冷（蒸发吸热和冷凝放热）

图3. 民航机的空调依靠空调组件中的制冷装置-膨胀涡轮，将来自发动机压气机的高压高温空气加速膨胀并输出功率而降温

3. 为什么低速时用速度V来描述气体流动、而高速时则用马赫数Ma来描述气体流动？

答：几种不同物体的运动速度和马赫数可用图4示意如下。

图4. 几种不同物体的运动速度和马赫数

　　气体低速流动时可视为不可压流 (马赫数 Ma≤0.3，参见第1条），此时随流动变化的参数主要是速度与压强，并可用伯努利方程（假设定常、理想、不可压）描述流动参数（速度、压强）关系，其中气体势能可忽略，而相对较大的内能（温度）则不随流动改变（参见第2条），从而用速度来描述低速流动既直接又完备。

当气体流速较高时(马赫数 Ma≥0.3)，流体的压缩性逐渐明显，随速度变化除了压强变化之外（气体势能仍可忽略），温度和密度均会发生相应变化，其中内能大小与其他能量相当、且会参与能量的相互转换。根据马赫数的定义（Ma=V/c 速度与当地声速之比）和力学意义（惯性力与弹性力之比），说明马赫数大小不仅反映速度的相对快慢，还代表流动可压缩性的大小；根据马赫数的能量意义（动能与内能之比），说明马赫数大小还代表内能参与其他机械能转换的程度。另外，在高速可压流动中，压强、密度、温度等参数都可表为马赫数的函数。因此可压流中采用更具物理意义和更广泛代表性的马赫数而非速度来描述流动。

4. 什么是流体的内能？引起流体内能变化的因素是什么？

答：内能是流体分子间作用势能和热运动动能的总和，内能以温度为标志，不可压流与可压流中都存在内能。

在理想（无粘性）、无外功输入输出、不可压流中，既不存在机械能不可逆转化为热的机制，也不存在机械能与内能之间可逆转换的机制，则引起内能变化的因素只能是外部传热，而对不可压流体加热只会使其温度升高却不会使其膨胀做功。

在图5所示的回流式低速风洞中，风扇驱动不可压、有粘性、低速气流循环流动，除了风扇作功会使系统升温之外，流体机械能也会不可逆地耗散为热，但由于系统本身的内能相对很大，上述效应并不会使系统升温很高、很快，从而系统升温能够与风洞内外的传热达到平衡，风洞不需要布置冷却器等降温装置。

图5. 回路式低速风洞结构，运行时系统升温并不十分严重且易与外界达到热平衡

　　对绝热、无外功、可压缩高速气流，内能（温度）变化的因素主要是两个：第一，理想无黏时内能与其他机械能发生可逆转化；第二，有黏时除了上述可逆转化机制仍然存在之外，机械能还会不可逆地转换成内能，且由于几种能量的量级相当，上述转换将引起系统中温度的明显变化，这包括可逆与不可逆情况。例如：高速空气加速膨胀制冷是内能与机械能之间的可逆转换造成的，高速空气摩擦生热则是机械能与内能之间的不可逆转换造成的。

图 6 所示的回流式超声速风洞中同时存在着流体加速降温（喷管下游及实验段），减速升温（第二喉道及扩压段），以及气流与管壁摩擦生热的现象，前二者为可逆转换，后者属不可逆转换。由于速度高，局部降温和大部分管路的升温都比较明显，另外压气机对系统作功也造成系统升温。为防止系统管路升温过高须设置冷却器，为防止局部低温造成湿空气凝结须设置干燥器。

图6. 某回路式超声速风洞结构，为防止喷管下游和实验段水汽凝结以及避免系统温度过高，设置了干燥器和冷却器

5.什么是流体的机械能？机械能与内能u的区别与联系是什么？

答：机械能是一种全部可用于对外做机械功的高级能量，在开口系统中流体机械能包含了动能、势能与压能，它们都可以在流经控制面进出口时相互转换，也可以全部对外输出做机械功。例如，单位重量流体的势能 y 代表了在高度y 处的单位重量流体，在重力场的作用下具有从y高度至势能零点0高度做功的能力。同理，由于流体中蕴含着压能 pν (单位质量的压能，其中 ν=1/ρ ，ν 是比容，ρ 是密度）或 p/(ρg)（单位重量的压能，g是重力加速度），因此当在流体中插入一根真空玻璃管时，该处流体将在压强推动下沿真空管爬升p/(ρg)高度，说明它的确是一种特殊的势能，称为单位重量流体的压力势能，而 pν 可称为单位质量流体的压力势能简称压能。

下面从做功的角度来考察 pν。在流动过程中 pν 的变化可表为：

d(pν)=pdν+νdp

其中 pdν 即膨胀功，而 νdp 则是流动中由压强差引起的压强功，二者之和 d(pν) 称为流动功，流动功是为了推动流体进出控制体界面而传递的机械功，如果规定推动流体流入控制体作功为正、流出为负，则流动功表为 - d(pν) 。流动功与压能 pν 在物理本质上没有区别，机械功与机械能也没有本质的区别。

下面讨论内能 u 与机械能（例如压能 pν）的区别与联系。u 与 pν 二者均为单位质量流体的能量但地位却不相同。如前所述 pν 是一种机械能，可以全部对外输出做功，因此是一种高级形式的能量。而内能 u 在非等熵时不能全部用于对外输出做机械功，因此内能只是一种低级形式的能量，在可压缩且等熵情况下能够与机械能之间可逆转换时内能才可被视为机械能。在可压缩、绝热、非等熵情况下，由机械能不可逆转化为热的一部分内能是低级能，能够与机械能之间相互可逆转化的部分内能可暂时被视为机械能，这两种情况可以同时在系统中存在，正如图 6 显示的回流式超声速风洞中同时存在着膨胀加速降温、压缩减速升温以及摩擦升温现象一样。根据非等熵流的熵增原理，内能中“有用”的部分将越来越少，暂时“有用”的内能终究都会全部变成“无用的低级能”。因此图 6 的风洞结构中需要配置冷却器来吸走高温却无用的“低级能”，同时压气机不断地为系统输入机械能以维持风洞运转，否则系统就无法正常工作。

6. 什么是流体的总机械能、总能量及其影响因素？

答：流体的总机械能是流体所有机械能的总和，包含高级的动能、压能、势能以及部分可利用（或可与其他机械能发生可逆转换）的内能等。而流体的总能量则除了上述高级的机械能之外，还包括低级的（或不可再利用的）内能。

定常、绝热、无外功输入输出、可压缩、有摩擦、不计势能的一维能量方程可表为：

u+p/ρ+V*V/2=h+V*V/2=ho

或 CpT+ V*V/2=CpTo= const

上式简称绝热一维流能量方程（其中h是焓，ho是总焓，Cp是等压比热，T是静温，To是总温），该方程与伯努利方程最大的区别在于内能 u 参与了与其他机械能的相互转换（包含可逆与不可逆转换），此外伯努利方程适用于理想、不可压流，而上述绝热能量方程则适用于绝热、有粘性、可压流（这里仅列写二者条件不同之处）。上方程右端是以总温为特征的总焓，代表流体的总能量，可见绝热时总焓、总温或总能量不变，因此总温代表了流体的总能量。

上述能量方程表明了绝热可压流的能量守恒关系，但它不能表明能量转换的方向，能够表明能量转换方向的是热力学第二定律或熵增原理。根据熵增公式和熵增原理(热力学第二定理)，从状态1流到状态2的熵增量 △S 可表为：

△S = S2-S1 = -R ln Po2/Po1 ≥ 0

可见流动的熵增与总压 Po 损失有关，当 △S=0 时 Po2=Po1，即等熵时总压不变；当 △S>0 时 Po2<Po1，即非等熵时总压减小，因此总压代表了流体的总机械能。

7. 等熵（理想）可压缩流动中的温度变化范围和速度变化范围分别是多少？

答：根据定常一维绝热流能量方程：

CpT+ V*V/2=CpTo

设想用膨胀加速的方法能使静温无损失（等熵）地降为绝对 0 K，由上述绝热能量方程，流动能达到的理想最大速度取决于总温Vmax=√ (2 CpTo)，由于实际流动为非等熵，根据熵增原理实际上这是不可能完全实现的，因为在膨胀加速的过程中总有一部分机械能不可逆地转化为不可再利用的热，使得温度不可能降至绝对 0 K，同时也不可能使气流膨胀加速到上述最大速度。

另一方面，如果流动速度绝热地滞止为零，则流体温度（静温）将升高为与总温相同。

综上，等熵流动中温度的变化范围是绝对0 K至总温To之间，速度的变化范围是滞止速度0至理想最大速度Vmax=√ (2 CpTo)之间（均与总温有关）。由于实际流动非等熵，温度不可能真正降到绝对0 K，速度也不可能真正达到上述理想的最大速度。

8. 在闭口系统与开口系统中能量方程有何区别与联系？其中的内能、动能与压能、势能在概念上有何区别？

答：热力学、流体力学和空气动力学通常有闭口系统与开口系统（控制体）两种研究对象（或方法）。原始的力学定理或方程往往都是针对闭口系统给出的，然而在许多流动问题中常用开口系统（控制体）方法。闭口系统与开口系统（控制体）的几何关系如图7所示，其中闭口系统为实线和模型所围的流体空间，系统可变形可移动、内外无质量交换；开口系统（控制体）是初时刻系统占据的固定空间、并允许流体穿过。

　　图7. 闭口系统与开口系统（控制体）的几何关系

针对闭口系统，能量方程可表为：

表明：外界对闭口系统的加热（率）+ 外功（率）= 闭口系统中的能量增加(率)，其中外功（率）包括外界输入(出)的轴功(率)、外界表面力作功(率)以及外界彻体力作功(率)，右端闭口系统的能量仅指系统蕴含的微观热能（内能u）和宏观动能(V*V/2)。

其中外表面法向力（压强）作功可表为压强势能（压能）的流量：

此外，表面力中的切向力作功总可以通过适当选取控制面使其为零。

彻体力作功可表为彻体力（或重力）势能的当地变化量及其流量：

其中 p/ρ 是单位质量的压强势能（压能），f 是单位质量彻体力向量，Ω 是彻体力势函数，重力场下 Ω = gy，因此重力场下 gy 即单位质量的重力势能。

当将上述方程从闭口系统转换到开口系统时（应用雷诺输运方程），则方程可表为：

表明：外界对开口系统的加热率+轴功率=开口系统中内能、动能与彻体力势能随时间的变化率+净流出开口系统的能量流量，其中能量流量不仅含有内能和动能，还包括法向表面力（压强）作功（压强功或推动功）对应的压能以及彻体力作功对应的势能。

上述两个能量方程没有本质不同，区别只是在于：前者适用于闭口系统后者适用于开口系统。

而其中的四项能量：内能、动能与压强（力）势能和重力势能在概念上有些许区别，前二项是系统中流体由于微观热运动和宏观运动而具有的能量即内能和动能；而后二项则是由外力（法向力和彻体力）对系统所作的压强功和彻体力功转化形成的压力势能和彻体力（重力）势能。在关于控制体的能量方程中右端第一项当地能量增加率中不含压能，第二项能量流量则含有上述四项能量。当定常时上式右端仅含有流过控制面的能量流量，这为许多定常工程问题的求解带来了方便。