【学府杏坛】默默钻研，悄悄拔节——学府路小学“红色”备课组“万字文”

张鸿儒

教育，一段美丽的遇见。机缘巧合我们四个党员教师相遇在学府路小学六年级备课组这个温暖的大家庭。我们有了一个共同的名字：红色备课组。我们备课组现有教师4人，既有勤奋进取的教科研主任，又有业务精湛，经验丰富的省、市级名师，更有务实上进，善于钻研的骨干教师。我们是一支年轻有为、团结拼搏，敢于创新的队伍。秉承学校“各美其美，美美与共”的办学理念，我们备课组一起研读课标，深挖教材，创新教法，开启了别具一格的教研探究之路。力争成为学府路小学数学备课组的领头雁，排头兵，为学府科研改革，增质提效闯出一条创新路。 “红色”备课组成员简介 刘艳芳：从教24年，本科学历，中共党员，中小学高级教师。省级名师，市领雁人才，市优质课教师，县优秀教师、优秀班主任。教育箴言：爱就是最好的教育。个人特色：善于组织实施小组合作探究式学习，利用多维特色作业，全面提升教育教学质量。 李丽君中共党员，大学本科学历，中小学二级教师。从教12年来，始终身处教学一线，教学基本功扎实，注重课堂实效、善于反思、敢于创新，对教学目标的制定有独特的见解和研究。先后荣获平顶山市名师，市骨干教师，市教学能手等荣誉称号。教育箴言：寻梦，撑一支长篙，向青草更青处漫溯；满载一船星辉，在星辉斑斓里放歌。 陈俊华：从教16年，本科学历，中共党员，中小学一级教师。省级骨干教师，市优质课教师。教育箴言：永远用欣赏的眼光看待学生，永远用宽容的心态面对学生。个人特色：科学设计课堂教学环节，善于利用数学模型策略培养学生的模型意识，促使学生养成良好的思维习惯，发展学生数学核心素养。 金胜娟，从教10 年，本科学历，中共党员，中小学一级教师。区级优质课教师、县优质课、优秀教师。教育箴言：潜心耕耘，“育”见美好！个人特色：善于钻研教材，利用特色辅导，全面提高教育教学质量。 壹 一、纵横分析，深入研读教材（一）纵向联系，理清知识核心我们备课组在研讨教学目标时通常会先从纵向的角度，明确这节课在整个小学阶段中的地位与作用、前后联系、内容要求、学科本质等。以苏教版一年级下册《认识长方形、正方形、三角形、圆》为例进行阐述，《认识长方形、正方形、三角形、圆》是苏教版一年级下册第二单元《认识图形（二）》的第一课时内容，教材在一年级上册安排学生直观认识长方体、正方体、圆柱和球这样的简单立体图形，下册则安排学生直观认识长方形、正方形、三角形和圆等常见的平面图形，体现了“从体到面”的设计思路。学生经历由几何体到几何体上的面，再到平面图形的抽象过程，有助于培养观察、比较、分析、抽象、概括等能力，形成初步的空间观念。在2022版数学新课标中，培养学生的空间观念是重要的核心素养之一。因此，这节课要培养学生初步的空间观念，让学生感悟 “从体到面”抽象过程，显得尤为重要。在此基础上，教材在二年级下册第七单元第一课时安排了“认识角”，在三年级上册第三单元第一课时安排了“认识长方形和正方形的特征”，在四年级下册认识了“ 三角形、平行四边形和梯形”，在五年级下册第六单元第一课时认识“圆”，在六年级上册第一单元认识了“长方体和正方体”以及在六年级下册第二单元认识了“圆柱与圆锥”。这样的编排，符合学生对图形的认知过程，体现了由直观认识到要素认识，最后到特征认识的发展过程。小学阶段 “图形与几何”领域主要包括“图形的认识”“图形的测量”“图形的变换”等内容，可以看出，这一节课属于图形认识，需要我们重视并重点发展学生“由体到面”的思考方式去认识图形，初步培养学生的空间观念。（二）横向比较，理清知识关系教学目标的精确制定离不开对教材的深刻解读。因此，我们备课组在解读教材时不仅仅研读苏教版这一版本教材，我们还会对不同版本的教材进行多视角的横向比较，突出对情境选择、知识呈现方式、教学顺序及教学思路的选择和对比，发现不同版本教材编排思路的异同，为教学设计和展开提供多元视角，寻求“最大公约数”，并且在保留共性的基础上，发现并选择适合的亮点用于自己的课堂教学中。我们以苏教版、人教版、北师大版教材《小数乘法和除法》单元中《除数是小数的除法》一课为例，对三个版本教材的编排进行比较后发现：三种版本教材的编排都呈现了除数是小数除法的算理探究过程，虽各有千秋，但都有其立意的合理性、科学性。人教版教材注重转化过程的直观演示（如图1），利用箭头帮助学生直观了解被除数和除数同时扩大100倍，小数点从哪里出发，移到了哪里，移动了几位； 北师大版教材注重揭示算法背后的算理（如图2），通过直观从小数的意义角度进一步向学生展示了转化成整数除法的科学性和准确性。 苏教版教材注重形成算法后的反思（如图3），引导学生思考“怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法？”在具体教学设计时，可以取长补短，揉合各版本教材的优点，丰富算法的形成过程。 二、立足学情，精准确定目标在制定教学目标时，我们备课组还会深入了解和研究学情，一起研讨分析学情，从而帮助我们精准、科学地制定教学目标和教学重难点。（一）精准分析学情每个学生都是独立的个体，他们之间的差异性是客观存在的，我们的课堂教学应该“因学定教，因学施教”，不能书上有什么就教什么，应该了解学生原有的基础，重视学生的已有知识和生活经验。鉴于此，我们备课组会根据教学的知识内容在课前设计一份简单的前测单，利用少量且简单的说一说、选一选等题目。例如在分数的认识前，会设置：“你见过分数吗？你能写一写分数吗？”之类的题目，把握学生整体的情况；也去咨询老教师，结合自身的经验进行分析。（二）科学制定目标在目标制定上，我们备课组根据2022版数学新课标的课程目标总要求，既关注“四基”“四能”，同时，又体现“三会”即会用数学的眼光看世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界，以及数学核心素养。用简洁的语言，做连贯的表述，体现科学、具体、全面、系统、可操作的教学目标。因为我们深知只有教材解读深入，目标指向明确，才能教学任务明晰，教学思路清晰，实现学生在浓厚的数学学习氛围中快乐地学习，真正做到有效实施课堂教学。 贰 为了提高课堂效果，适应个性化教学实际，我们备课组根据课堂发现的问题，发挥团队力量深入开展集体备课和课堂改革，依据“问题即课题，教学即研究，成果即发展”的科研理念，根据我们课堂教学实践中遇到亟待解决的问题和困境为研究对象开展微专题研究，进而提高课堂效果，以点带面的引领我校教师科研水平的提升，促进我校教学质量的稳步发展。近三年来我们备课组进行以下微专题探究： 下面我就我们备课组进行的模型思想及策略的专题研究的成果展示给大家：(一)小学数学模型思想及策略研究调查分析1．学生问卷本次调查学府路小学五、六年级的学生。调查采用问卷调查的形式，从学生对模型思想的认知情况、在学习中的接触情况、理解程度、具体实践应用四个方面进行调查，并结合问卷的内容与老师进行了访谈，我们了解了小学生数学学习中渗透模型思想的现状以及教师对教学中渗透模型思想的困惑与不足。具体的问卷调查结果如下：（1）你知道什么是数学模型或者模型思想吗？ （2）你对数学模型感兴趣吗？ （3）在数学课堂上或日常的课内外阅读中，你接触过有关模型思想的内容吗？ （4）如果给你一道蕴含某种数学思想的问题，你会怎样解决？ （5）在平时的课堂上老师提到过数学模型或模型思想吗？ （6）课堂上，老师会引导你们自主探究、提炼归纳知识系统吗？ （7）看到你学过的数学模型后，你能够把模型中的信息用自己的话复述出来吗？ （8）对于植树问题、上楼梯问题、敲钟问题、锯木头问题你能意识到它们是同一种数学模型吗？ 从上述调查结果主要问题如下：（1）学生对数学模型认识不多，模型思想感知不深：（2）学生的归纳能力和构建模型的思考力欠缺：（3）学生对模型思想的实际运用能力不足。2.教师访谈数学教学的开展离不开数学老师，培养小学生数学模型思想的推进最后还是要靠老师在课堂中认真落实，所以我们随机抽取了本校的18名数学老师进行了访谈。访谈共设计了如下6个问题：（1）能谈谈您平时备课的主要依据及内容吗？（2）对于数学模型思想您了解多少？（3）在课堂上您是否经常向学生渗透模型思想？（4）根据您的教学经验来看，掌握模型思想对学生的学习帮助大吗？（5）在渗透模型思想上您有什么困惑或好的建议吗？（6）请您为下列例题设计教学思路：“植树问题”：在一条60米长的绿化带一边栽树（两端都要栽）。每隔n米栽一棵，一共要栽几棵树？从访谈获得的信息来看，教师在进行教学设计时更倾向于关注知识技能的学习，缺少探究教学内容中蕴含的规律，更缺乏对数学思想和方法的体验。终其原因是部分教师本身对教学内容中蕴含的数学模型挖掘不够，那就更不会落实在学生的建模活动中。另外，新课程实施以来，教师都更加注重数学与生活的紧密联系，大部分教师对数学知识应用于生活实际越来越重视，反而淡化了对实际问题“数学化”的处理过程。普遍存在是问题是重视学生用知识解决实际问题的能力，而忽视了引领学生体验并建立数学模型的过程。总体而言，通过对学生进行调查问卷以及对老师的访谈，能够看出学生模型思想接触不多，对数学模型的认识还停留在浅显的状态，模型意识相对欠缺。教师因目标定位缺失，价值取向偏差，对于教材中蕴含数学模型的内容把握不准，在实际教学中缺乏实际经验，对于数学模型的建构存在一定不足，如何在小学数学教学中渗透模型思想是一个亟待解决的问题。（二）小学数学模型课程内容分析及典型案例分析1.小学数学模型课程内容分析从广义的角度上说，绝大部分课程内容中的公式、性质、数量关系等都可理解为数学模型，具体来说，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种公式、性质、定理、数量关系式、结构性算法、图表以及图形等都是数学模型。简而言之，小学阶段的数学模型是指用数学的方式表达数学规律的数学结构。下面从数与代数、图形与几何、统计与概率三个知识领域对数学模型思想作具体分析。（1）数与代数①数字的认识和表示。用数字来表示事物的数量是最原始的数学模型思想。从实物中抽象出数字的过程就是数学建模的过程，其中蕴含着丰富的数学建模思想。从小学高年级开始，学生学习用字母表示数字，从认识数字到表示数字，从具体量到数学符号，用符号表示数字是代数的精髓，也是代数最基本的模型。②数的运算。十进制计数法是表示整数的基本模型。在整数运算中，加、减、乘、除这四种运算以及它们的混合运算，是数学运算中的基本模型。小学阶段的重要的运算律，比如加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，也都是运算中的基本模型。③数量关系。在小学阶段，学生需要掌握一些常见的数量关系，如：总价＝单价×数量、路程＝速度×时间等。在小学六年级，学生开始学习成正、反比例的量和正、反比例关系，它们用式子分别表示为x／y＝k和x×y=k(其中k是定值），用表格和图像可以更直观地表示数量关系，在有未知数的情况下，实际上它涉及的是一元一次函数模型和反比例函数模型。（2）图形与几何①图形的认识。点、线、面是平面几何图形的基本模型，学生由浅入深的学习了不同类型的线、角、平面图形以及立体图形，对这些几何图形由初步的感知到最后的认识研究按照由简单到复杂的顺序呈现，循序渐进，螺旋式上升。②测量。在几何图形的测量中，学生在观察、动手操作、合作探究中构建数学模型，从而掌握几何图形的周长、面积和体积公式。在计算这些几何量的同时，学生还掌握了常见的度量单位，比如长度单位、面积单位、体积单位。在学习了用字母表示数之后，这些几何量的计算公式还可以用简化的数学符号语言来表示。③图形的运动和位置。在四年级时，学生学习了用数对表示物体的位置，图形的位置模型实际上是坐标轴，在方格纸上用数对表示位置，这是初步的解析几何的模型。（3）统计与概率在小学阶段会学习数据统计和随机现象发生的可能性的知识。数据统计包括数据的收集、整理、分析和表示，同时学生认识了各种统计图表，可以更直观地表示数据。统计图表是表示数据分布情况的模型。中年级学生学习的平均数，是重要的统计量模型。2.小学数学模型的典型案例分析根据数学知识和小学生的认识特点，小学数学的课程内容很多地方都渗透了模型的思想，其中有一些典型的数学模型，如替换问题、相遇问题、间隔排列问题等，这些案例都对模型思想的教学具有指导作用。课题组选取部分案例做具体分析。案例一：替换问题例如苏教版六年级上册“假设策略”的教学，假设的方式有两种，一种是利用倍数关系假设，一种是利用相差关系假设。教学的关键点在于利用倍数关系或相差关系，将两种未知量转化为一种未知量。老师引导学生分析数量关系，并利用图示让数量关系变得更加明晰，从而理清思路，构建出数学模型。出示例题：把720升果汁全部倒入6个小杯和1个大杯，刚好倒满;一个大杯的容量相当于3个小杯的容量。小杯和大杯的容量各是多少升?在这个教学过程中，教师引导学生先分析问题中的关键信息，接着让学生画出示意图。 观察分析得出:解决这个问题需要把两种杯子假设成一种杯子(即替换)。然后把直观图形抽象成数学算式，学生把直观图形抽象成数学算式的过程，其实是把生活中的原型上升为数学模型的过程，从而让学生体验了建立数学模型的过程。案例二：简易方程方程是代数学中的重要内容，它是在学生学会用字母表示数的基础上，用等式刻画了含有未知数的相等的量之间的关系。苏教版五年级下册《简易方程》在创设情境时引入天平，天平就是表示等量关系的直观模型。 通过引导学生观察天平，猜测天平平衡的条件，引出：“如果天平两端质量是相等的，就可以用等号来连接，而用等号连接的式子，就是等式。”接着对式子： x + 50 ＞ 100，x + 50 = 150，x + 50 ＜ 200，2x = 200 和 50 + 50 = 100进行分类。在此基础上，揭示方程的概念: 形如 x + 50 = 150，2x = 200这样含有未知数的等式是方程。借助天平这个“直观模型”，学生构建出了方程的符号模型，这种符号模型逐渐内化为固定的数学结构，它为学生以后脱离具体实物求解方程及学习函数打下了坚实的基础。 案例三：相遇问题相遇问题是学生在已经掌握行程问题数量关系的基础上，理解相遇问题的运动特点、数量关系。在教学苏教版四年级上册《相遇问题》时，出示例题：小明每分钟走70米；小芳每分钟走60米；经过4分钟两人相遇，他们两家相距多少米？首先引导学生用之前学过的解决问题的策略（列表、画图）把信息整理出来。画图整理： 接着要求学生“先用不同的方法解答，再想一想两种解法有什么联系”。两种思路分别是：“两人分别运动的路程之和”以及“两人速度和的若干倍”，研究两种解法的联系，发现两种解法的综合算式可以用乘法分配律沟通，一个算式能转化成另一个算式，使学生进一步体会乘法分配律的这一运算律模型的本质。让学生在相遇情境中通过画线段图或列表理解题意，分析相遇问题的实质，感知到“乘法分配律”模型的存在，然后归纳出规律，从而建立模型，解决这类问题。案例四：间隔排列问题数学模型的构建需要对现实问题进行观察和分析，并利用数学语言或其他辅助工具表达出来，最后进行抽象、提炼。在苏教版三年级上册“间隔排列”的教学中，在呈现主题情境图后，先组织学生用生活语言描述图中的信息，学生表达出小兔与蘑菇、木桩与篱笆、手帕与夹子是一个隔着一个排列之后，要求学生用表格将信息整理起来，使学生关注数量的特点。 建模的过程中往往需要对数据进行观察、分析，学生借助表格探索规律，在这个过程中学生会用个性化的数学语言提出一些恰当的假设，在此基础上,将不同物体的间隔排列用数学符号归纳出来,分别用⚪和▲表示间隔排列的两种物体，既用其表示间隔排列的物体，又从对应的角度分析理解两种物体个数的关系。这种符号表示既符合儿童特征，比较直观，学生易于理解，又能触了间隔排列问题的本质：一一对应的数学思想。从生活语言到表格中的数据分析，再到数学符号的表示，最后发现这样的规律模型：两种物体间隔排列，如果两端物体相同，那么两端物体的个数比间隔物体的个数多1个。（三）培养学生数学模型思想的策略备课组从问题情境的创设、数学表征能力、教材内容的研究、学习方式以及评价方式这五个方面研究培养学生数学模型思想的策略。1.重视情境的创设（1）创设结构化的情景，提供模型基础数学模型具有结构性，它是客观世界数量关系和空间关系结构特性的本质反映。这样的数学模型才有普遍的适用性。在学习的过程中，某些数学模型单靠语言、公式很难表达清晰，创设结构化的情境，利用情境的隐喻功能来“立象达意”。 在教学“9加几”一课中，情境中的一个盒子有10格，10格暗示“十进制”。“凑十法”的学习在情境的暗示下成为了一种发现学习，从9个加4个到一盒（10个）加3个，抽象出从“分到合”的“凑十法”的数学算法模型。创设结构化的情境，把“教结构、用结构教”结合起来，为构建数学模型的结构关系提供感性基础。 在教学“不进位的两位数乘两位数的笔算”时，在让学生认真观察这个情境图，提出问题“这10箱菜椒是怎么放的呢？”，如果学生观察的是“地上有9箱，李叔叔手里有1箱”，会启发学生可以先算12×9，再加上一个12，将新问题转化为了之前学过的两位数乘一位数。若学生观察的是“菜椒是分了两摞进行放的”，会启发学生先算一摞12×5，一摞的算出来了，另一摞也是12×5，这也将新问题转化为了之前学过的两位数乘一位数，就出现了另一种算法。不用“言传”也可“意会”，顺其自然的构建出不同的算法模型。（2）情境中凸显矛盾，推动模型生成善于利用矛盾创设问题情境，可以唤起学生学习的内在需求，激活学生的思维。情景中的矛盾呈现后，打破了学生原有的认知结构，在教师的引导以及学生思考的过程中，矛盾不断地调和，形成新的认知结构。情境中的矛盾促进数学模型的逐步抽象，推动模型的生成。准确把握主要矛盾进行数学建模很多小学数学名课的一个共同特点。吴正宪老师在执教《除数是整数的小数除法》时，创设了买书的情境，引发学生的认知冲突，让学生经历算法模型的建构过程。吴老师将十分抽象的算理与具体的元、角、分单位结合，使算理变得形象生动，更容易被学生理解接受。分“钱”是具体的，当“要把1元平均分成4份”这个认知冲突出现后，学生的关注点已经聚焦在在“如何分”上，随着一个个“为什么”、“你是怎样想的”，具体的钱开始慢慢变成抽象的数，“具体的分钱过程”就慢慢的抽象出了“除数是整数的小数除法”的算法模型。2.注重提升学生的数学表征能力在构建数学模型的过程中都会进行数学表征，在学习数学知识、构建数学模型的过程中，需要从现实生活或问题情境中抽象出数学本质，在这个过程中数学表征就发挥了非常重要的作用。现实中的数学问题很多比较复杂，要想更好的研究其空间形式和数量关系，突出数学问题的结构，将精力聚焦在核心的问题上，都要进行必要的数学表征，在小学数学学习中常用的表征方式主要有符号表征、列表表征和图解表征。（1）符号表征学生的数学经验往往是模糊的、浅显的，让学生使用符号表征数学问题，可以将思维的阶段性成果呈现出来，学生将数量或数量关系抽象为符号，有助于简化数学问题、总结规律，有利于数学模型的构建以及迁移运用。符号表征方式是学生数学表征能力的基本体现，它标志着学生已经初步具备了数学模型思想。符号表征在小学数学的教学内容中随处可见，比如说数字、有加减乘除运算符号是数学的符号表征，还有表示数量的字母、表示数量关系的字母式、方程以及几何图形的周长、面积、体积的计算公式等也都是数学的符号表征。要想培养学生的数学符号能力，需要从以下两个方面入手：一方面是明确符号表征的时机，另一方面是引导学生经历符号表征的过程。①明确符号表征的时机（ⅰ）理解概念时。数学概念是抽象的，在描述概念时仅仅用文字，可能还是不容易理解，将文字概念辅助以符号表征，可以更简洁的表达概念，帮助学生理解和记忆。在教学正比例的概念时，先以文字描述路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程随着变化。当路程和相对应时间的比的比值总是一定（也就是谏度一定）时，行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例的量。再辅助以符号表示如果用x和y两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用下面的式子表示：。这样正比例的概念就更加清晰、易理解了。（ⅱ）表达规律时。数学规律具有高度的概括性，借助符号可以严谨、精准的描述数学规律。在表达乘法分配律时，可以用（a+b）×c=a×c+b×c来表示。教师在处理时要抓住培养学生符号意识的契机。（ⅲ）解决问题时。解决问题时为了分析数量关系往往会用到数学符号表征。比如在解决这样一个问题时：苹果树与樱桃树一共有48棵，苹果树的数量是桃树的3倍。苹果树和樱桃树各有多少棵？为了苹果树棵数和樱桃树棵数的关系，可以设樱桃树有x棵，则苹果树有3x棵，接着就可以得出这样一个数量关系x+3x=48，从而解决问题，在解决问题时要利用数学符号建立模型，这样可以找出解决一类问题的方法。总之，当需要概括或抽象数学问题时，都可以引入数学符号进行表达，学生要结合问题的情境，理解符号的含义，灵活的用符号表征数学问题，培养学生自觉运用数学符号表征的意识。②引导学生经历用符号表征的过程数学符号表征需要由浅入深的依次经历三个阶段：通俗的自然语言、简洁的个体语言、规范的统一语言。 （ⅰ）用自然语言通俗表达。教师呈现问题情景后，引导学生参与数学活动，进行数学思考，学生根据对问题的理解的，用自己的语言表达出来。在这个阶段教师要重点关注学生是否形成了正确的理解。（ⅱ）用个体语言简洁表达。在学生正确理解数学问题的基础上，教师要引导学生进行简洁的数学表达，促使学生从自然语言过渡到文字、画图以及数学符号。（ⅲ）用统一语言规范表达。教师在学生多样化、个性化表达的基础上，引出规范的表达方式，让符号表达的多样化走向优化。（2）列表表征列表表征是分析数学关系的辅助工具，是发现数学规律的重要途径。在以下两种情况下会使用到：当数学问题既有变量又有常量时以及当某个数学问题用习惯性思维容易出错时。当某个数学问题既有常量又有变量时，可用列表尝试的方法逐个变化其中的变量，求出对应的结果，进而发现数据变化的规律。比如在“单面靠墙围篱笆”问题时，篱笆总长不变，长和宽的数量不断的变化，最终找出想要的答案，并通过观察分析出其中的规律。当学生出现思维定势，习惯在某个数学问题上出错时，比如“间隔排列”问题，使用列表表征，可以更清晰的呈现出数量关系，既直观，也容易被学生理解和接受。（3）图解表征图解表征方式是指将数学问题中的对象或关系抽象化为图形或图像，以辅助分析和解决问题，是数学建模中经常会用到的一种重要的表征方式。当某个数学问题比较抽象、难以理解时，可以用图形或图像把抽象的问题变得直观、形象，使问题中的数学关系清晰、明朗。从整数的学习到分数的学习，再到小数的学习，引入新的数的分类，中间有很大的跨度，不同的数之间既有区别也有联系，学生不易理解和掌握，可以借助竖条图和方格图来帮助学生理清这些数的概念，把握好数与数之间的关系。在解决搭配问题时，可以将数学问题中的事物用一个圆点或其他简单的符号表示，用连线表示不同事物间的联系，无论是荤素菜的搭配还是衣服的穿搭，都可以用这样的图来表征，这两个问题的本质是相同的。图解表征可以帮助学生透过现象看本质。在培养学生图解表征能力的时候在注意两点：第一、要充分结合教材中的数学问题，体现出图解表征的价值；第二、提高学生图解表征能力时要循序渐进。首先，在培养学生的图像表征能力的时候要结合教材，这样既能较好地掌握数学知识，又能发展学生个人的数学能力。能力的培养是一个系统的、且需要反复巩固的过程，将图像表征能力的培养与课本的基本内容结合起来，这样学生的深入学习也才能有一个基本的保证。其次，循序渐进的培养学生的图解表征能力，一年级时让学生读非常简单、浅显易懂的线段图，二年级的学生认读一些稍复杂的线段图，三年级时学生能通过文字信息的问题补充线段图，并能解决一些简单的线段图表征的问题，四年级时学生自己会画线段图，会用线段图表征问题，五六年级时会利用线段图帮自己解决更复杂的数学问题。图解表征方式建立在空间想象能力和逻辑思维能力的基础上，图像表征能够将抽象的数学知识更加形象、直观化，能提升学生讲具体问题抽象出数学模型的能力。3.重视对教材内容的研究模型思想是数学课程标准中提出的数学十大核心概念之一，是唯一以“思想”指称的概念，这充分体现了数学建模在数学学习中的重要地位。教材内容是课程标准的理念和内容最直观的体现，是学生学习数学模型以及形成模型思想的媒介。教材内容是客观存在的，如何让学生理解、掌握并灵活应用这些知识要依靠教师的引导。因此，只有对教材内容进行透彻的研究与分析，才能有的放矢的将数学模型思想渗透到日常的数学教学中去。教师可以从以下几个方面进行努力：（1）分析教材内容是否适合模型教学。小学阶段的教材内容大部分都可以理解为数学模型，同时也渗透了相应的模型思想。教师要在对课程内容全面了解并熟悉课程标准中对相应知识的内容要求的基础上，对教材的例题，练习以及复习进行深入的研究和分析，同时总结出适合模型教学的知识和活动，为模型思想的教学做充足的准备。学生是数学活动的主体，教师还应准确把握学生的认知水平及认知方式。这样在教学过程中，才能根据学生的认知发展特点结合教材内容，因材施教，采用合适的方式进行教学。（2）分析教材中知识的呈现方式。虽然小学阶段的教材内容大部分都可理解为数学模型，但在不同领域的教学中，数学模型的呈现方式不同。即使是同一领域的教学中，数学模型的呈现方式也会有所不同。比如在“综合与实践”的教学中，数学模型就比较明显，比如锯木头，爬楼问题都属于间隔排列问题，而握手和搭配问题都属于排列组合问题。而在“图形与几何”的教学中，图形的认识和测量中体现的数学模型比较直观，很容易被学生发现。但是在位置和方向的教学中，数学模型就比较隐晦，需要教师认真分析研究教材内容进行深入的研读才能辨明，并在教学中有的放矢的引导学生，渗透模型思想。因此，在教学过程中，教师要立足“模型思想”，认真研读教材，借鉴教材中蕴含数学模型的知识呈现方式，并大胆尝试模仿。4.重视自主、探究以及合作学习方式的运用数学课程标准指出：“学生认真听讲，积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式”。因此，教师在数学模型的教学中，要注重创设学生熟悉的问题情境，引导学生主动思考问题，亲自动手操作，自主探索问题解决的方法，通过小组合作交流开展数学活动，并在此过程中自主构建数学模型。（1）引导学生自主学习。在传统的教学中，课堂教学体现为：教师讲解，教师示范，学生练习。这样的教学，忽略了学生的主体性，课堂缺乏活力，枯燥无味，教学效果显而易见。因此，在教学过程中，教师应从问题情境出发，吸引学生的注意力，为其自主学习探究创造条件，并在探究过程中主动构建数学模型。 教学过程中，教师应从问题情境出发，吸引学生的注意力，为其自主学习探究创造条件，并在探究过程中主动构建数学模型。比如，在教学“分数除以整数”时，首先创设情境：“有一杯升的果汁，平均分给两个小朋友喝，每人分得多少升？”学生很快得出：。那么，怎么计算这个算式呢？学生通过自主学习，画图获得问题的答案。方法一：拿着分子2除以2做得数的分子，分母不变。方法二：根据分数除法的意义知道，求就是的是多少，从而得到，分数除以整数（零除外）等于分数乘整数的倒数。教师继续引导：“有一杯升的果汁，平均分给3个小朋友喝，每人分得多少升？”这样学生在自主解决问题的过程中，发现问题，方法一此时不再适合，但方法二仍然可以。通过对比，发现问题解决的一般方法，从而构建了计算分数除以整数的模型。显然，学生通过自主学习构建的解决问题的数学模型比老师直接讲解更有意义，也更深刻。（2）重视学生探究学习。传统的教学以讲授为主，学生被动的接受知识并“死记硬背”，不能灵活运用，并且容易遗忘。因此，在数学模型的教学过程中，首先为学生创设生活中真实的问题情境，引导学生自主探究，在探究过程中不断发现问题，解决问题，寻求解决问题的规律，从而构建数学模型。 例如，在一年级教学“认识几十几”时。学生对“二十九添1是多少？”、“三十九添1是多少？”、“四十九添1是多少？”等的问题时，难以理解。可以引导学生通过摆小棒的方法，探究并解决问题。在探究学习中，学生明白了不管是二十九，三十九或者四十九，都是几个十和九个一组成，九个一添1又会变成一个十。这样学生就会明白解决此类问题的规律同时也会在心中建立相应的数学模型。（3）注重小组合作学习。在数学学习中，面对比较复杂的数学问题，依靠学生个人的思维能力完成对问题的解决比较困难，此时就可以采用小组合作的方式来解决问题。在问题分析阶段，小组成员通过交流可以发现每个人思考问题的角度存在的差异和不足，并综合对比，统一对问题的理解，从而共同提出问题解决的方案。在模型的建立和求解过程中，小组成员通过分工合作，共同探索解决问题的规律。在此过程中，学生不但能提高学习效率，也能共同体会成功和挫折的学习体验。例如，在解决植树问题时，就可以引导学生进行小组合作。出示题目：现在一条长50米的马路一边种树，每两棵树的间隔是5米，需要种几棵树？那么在解决这个比较复杂的问题时，就需要小组合作。首先，在问题表征阶段，在小组内交流，完善为：a.两端都种树；b.只有一端种树；c.两端都不种树。接着在求解过程中，通过分工合作，对比发现解决问题的规律以及构建数学模型。即，两端都种树，棵树=全长间隔+1；只有一端种树，棵树=全长÷间隔；两端都不种树，棵树=全长÷间隔-1。在整个过程中，学生体会到了成功的喜悦，也提高了学习效率。5.重视多元化和多样化的评价方式课程评价是课程教学的一个重要环节。从当前的教学中，课程评价的目的多倾向于甄选功能，课程评价的内容倾向于学生对知识内容的掌握情况，课程评价的形式倾向于笔试形式，评价的主体则以教师为主，整个过程忽略了学生的主体能动性。显然，在引导学生构建数学模型，培养学生模型思想的教学中，这种评价形式阻碍了学生的发展，我们需要变革传统的评价形式，使课程教学的评价形式多元化和多样化。（1）在评价目的和内容上，关注学生的学习过程、学习方法以及情感态度。数学模型教学并不是告诉学生某类知识的数学模型并机械的记忆，而是引导学生主动参与课堂教学，积极探索，发现数学知识的本质和规律，在此过程中培养学生的思维能力，渗透模型思想。因此，在教学过程中，教师更应重视学生是否主动参与，积极思考，回答问题的有效性，活动过程中是否积极克服困难的情感体验，以及活动后的收获等并对以上各个方面的表现及时给予评价，而不仅仅局限于对活动结果的评价，这样才能有效的把渗透模型思想的教学落到实处。（2）在评价形式上，侧重于过程性评价。笔试测试以及单一的总结性评价已经不适用于当前的素质教育，应采用多样化的评价方式，突出对学生学习过程的评价。过程性评价的目的是引导学生积极主动地参与到数学活动中来，强调对学生学习过程能力表现的评价，促进学生探究能力和思维能力的发展，而不仅仅是甄别性的评价。但是，过程性评价要具有科学性以及可操作性，比如，教师可以用口头测试，问卷访谈，课堂汇报，成长记录等方式检测学生在数学学习活动中表现出的建模能力。（3）在评价主体上，强调多元化参与。数学课程标准提倡评价主体的多元化，即从以教师为评价主体的单向评价，转化为以学生、家长、教师、管理者、社区等共同参与的多元化评价，让被评价者也成为评价主体中的一员。其中，以学生为主体的评价主要包括学生的自我评价和学生的相互评价。数学课程标准强调被评价者的主体作用，不仅可以调动学生的学习积极性，还能让学生发现自己的不足，借鉴别人的长处，不断完善自我。例如，在学习完一个单元后，教师可以引导学生利用画图，画思维导图等的形式对本单元内容进行“自我小结”，然后进行交流互动。在交流过程中，学生可以通过对比，发现自己存在的问题，同时在集体点评中学习别人不同的思考方法，从而丰富自己的思维方法，弥补自己不足。数学模型教学一般以探究活动为主，在活动中不但有学生的自主探究活动，还需要小组合作学习，甚至开展课外活动，因而更需要多元主体参与评价。 叁 作业是检验学生学习效果、巩固夯实学习成果的重要途径。为了贯彻落实“立德树人”的根本任务，体现新课标中培养学生核心素养的要求，落实双减政策，我们备课组积极探索多维特色作业设计，力求以少而精的高质量作业取代简单、机械、重复性的大量作业，达到“减负增效”目的。下面是我们备课组的特色作业分享：1.实践类作业——让学生在体验中感悟生活数学化实践类作业是数学课程中必不可少的作业，为了让数学作业贴近生活，让学生感受数学就在身边，能用数学的眼光观察世界，我们备课组经常设计实践类的作业。例如学习长方体和正方体知识时，布置做火柴盒这样的实践作业，让学生在制作火柴盒的过程中感悟长方体和正方体的面的特征，培养学生根据具体问题的特点灵活确定计算方法的意识。又如在学习折线统计图时，我们备课组提前两周就给学生布置种蒜的实践性作业，让学生4人一个小组，根据自己的喜好可选择水栽、盆栽两种方式，环境选择阳光下和潮湿的环境里，每天观察蒜苗生长情况，并将观察结果记录填写在统计表中，最后再依据蒜苗的生长情况绘制成折线统计图。这样的实践作业学生兴趣盎然，在体验中收获知识，在学习中感受快乐。 2.调查类作业——提高学生研究数学的兴趣调查类作业是我们备课组经常设计的一类作业，课前调查作业能够培养学生自主学习的能力，提高学生对学习的自信心。学生可以通过观察、收集资料、调查、访问，了解现状，对不合理的问题提出建议和改进措施，加强学生的社会参与意识，培养学生关心社会、服务社会的良好素质。例如学习百分数之前，我们设计了这样的课前调查作业，让学生收集生活中的百分数，并让他们解释找到的百分数表示的实际意义是什么，这样的调查性作业能让学生初步感知百分数在生活中的应用价值，为更深入学习百分数的意义做好铺垫。 3.笔记类作业——培养学生良好学习习惯数学笔记类作业是我们备课组很青睐的一项常规化作业，也是提升教学效果的一项重要作业。课堂笔记类作业旨在培养学生专注听课的良好习惯，需要学生学会一边听、一边记、一边反思、一边整理。记数学笔记要求学生使用规范的数学语言和数学符号描述数学知识，有利于培养学生的逻辑思维能力，提升学生的数学素养。我们备课组很重视学生的课堂笔记，每节课结束第一时间收交课堂笔记，并及时批改反馈，关注每一个学生的上课状态、学习习惯和知识掌握情况，收到了良好的效果。 4.错题集作业——帮学生查漏补缺学生进入高年级后具备了一定的学习能力和反思能力，为了让学生更好的查漏补缺，我们备课组在学生五年级初，就开始给学生布置错题集作业。错题集要求书写工整、规范，整洁，建议利用双色笔记，黑色笔抄写原题，也可以剪题粘贴，红笔解答，并辅助写明错因，描述正确解题过程。错题集中题目是收集关于平时课堂上、练习中、检测时典型或易错题。要求一周一上交、一反溃。对学生错题集的整理要求分层，让优等生除了整理典型易错题之外，需要改编题目，以达拔高的目的。要求中等生只收集重点的典型题目，以期巩固强化知识的作用。而对于后进生只要求整理自己的基础性易错题。这样分层设计错题集就是为了不给学生增加作业负担，帮助学生养成擅总结擅反思的好习惯。（优秀错题集图片展示） 5.分层性作业——让不同的学生得到不同的发展新课标倡导人人学有用的数学，不同的人得到不同的发展。为了满足不同学生的个性需要，我们备课组设计层次不同的作业，给学生提供丰富的作业菜单，创设了以下类型的分层作业模式如：“自助餐”形式，分为必做题，选做题，拓展题几个层面安排;“套餐型”形式，分为模仿练习、变式练习、拓展练习。为控制作业时间，提高完成作业的效率，规定作业时间。如：二十分钟能做几道题，对了几道题。把选择的权力下放给了学生，学生会更愿意完成作业。这样就实现了不同的人在数学上获得不同的发展的目标。下面给大家展示我们备课组共同设计的自助餐式作业：在学习了长方体和正方体这一单元后，我设置了下面一道解决实际问题的题目： 6.单元梳理类作业——引导学生学会系统复习从五年级上学期开始每一单元学习完或者整个一模块知识学完我们备课组都会给学生留一次单元梳理类的作业，引导学生自主梳理知识脉络，构建知识体系，培养学生的发散思维能力和创新意识，在对单元知识进行复习时，备课组的几位老师一致认为利用思维导图整理某一单元知识体系是一种很好的方法。因为利用思维导图整理单元知识点：一是“理”，能把所有的知识进行系统的整理，促进知识内化；二是“通”，能融合贯通，理清思路，弄清知识的来龙去脉，前因后果，同时，便于弥补缺漏。 我们是这样指导学生利用思维导图引导学生进行单元复习的。（1）首先引导学生自主对知识点进行梳理。可结合例题或者结合课本单元整理与复习任务单，也可以借助网络搜集相关素材，让学生把自己课前整理的结果进行展示和汇报，教师通过板书的形式，再现“本单元"的相关知识。很多时候学生的整理的知识点是自由的、零散的、不系统，知识之间缺少联系。这时,就需要我们将学生说到的知识点进行一级分支,并依据学生的发言完善细节性知识点，不断丰富学生的感知，帮助学生进行初级思维导图的制作。一个完整的整理过程，不仅仅是知识的梳理，还有方法的提升。（2）合作整理，构建网络。让学生利用老师的一级分支进行二次整理制作思维导图。这样可以使知识结构更加清晰，通过让学生对自己的思维导图进行解释，说说思维导图中各个概念的具体含义及它们之间的关系，从而加深对知识的理解和运用。运用思维导图能使数学知识之间的内在联系变得比较直观，让学生在每单元学习结束制作思维导图梳理知识点，成为单元复习课最有效的方法之一。附优秀作业 7.表达类作业——让学生学会说理费曼学习法被誉为世界上最好的学习方法之一，他能验证你是否真正掌握了知识，看你能否用简洁的语言把复杂深奥的问题和知识讲清楚，可以帮助提高知识的吸收效率，真正理解并学会运用知识。简单的来说费曼学习法就是“以教促学。“教学相长”是它的核心。费曼学习法特别适合高年级数学的学习，对提高学生的数学语言表达能力，培养学生的逻辑思维能力都有很明显的效果。于是我们将学生进行合理分组，根据学习程度将学生4人分到一个小组，组内A号和B号是个互助组，C号和D号是一个互助组。依据每天作业情况，老师会筛选典型重点题和易错题让互助组内学生相互讲解，也会根据学习内容设置拔高拓展性题目只让A、B号互助组学生完成，有时会让A、B互助组学生编写举一反三类题目，相互讲解，也会布置典型题目要求学生回家给家长讲解，拍视频提交。疫情在家表达类的数学作业成为作业的一种常态。老师会在检查这类作业时能更好的了解学生对知识的掌握情况。 8.阅读类作业—拓展学生知识面数学阅读能拓展学生知识面，激发学生对数学知识的探究欲望，发展学生的数学思维，提升学生的数学素养。我们备课组充分利用教材中编排的“你知道吗？”“生活中的数学”“数学游戏”等栏目，专门向小学生介绍有关数学家的故事、数学趣闻与发现等知识，并引导鼓励他们阅读数学类课外书籍，定时开展一次数学阅读分享交流，让学生谈谈阅读过程中的体会、收获，这样慢慢点燃了学生们热爱数学、探究数学的激情。 设计多维课内外作业，把数学的“学科知识”变成学生可以感受、操作、体验的“生活状态”。通过精心设计特色作业、及时评价与反馈作业和用心修改与完善作业等措施，在减轻学生作业负担的同时，充分挖掘特色作业的育人功能，达到激发学习兴趣，培育必备品格和关键能力，巩固课堂学习内容，提高学习效率的目的。 肆 为落实新课改精神，全面提高教育教学质量，我们需要精准制定教学目标，优化策略，有效突破重难点，除了设计多维作业之外，作业辅导也是必不可少的一环。由于学生思维水平和理解能有差别，同一节课下来，学生对知识的掌握程度也会有较大差距，做好部分学生辅导工作就显得尤为重要。我们备课组探索出了以几种有效的辅导方式：1.分层辅导：对于不同层次的学生，我们采用不同的辅导方式。比如在解决捆绑礼物盒问题这个问题时，我们采用了分层辅导。 上图中这样的问题就是生活中常见的捆扎方法，这时绳子总长度是由2条长+2条宽+4条高+打结处组成的。处理这个问题，我们进行了分层辅导： （1）要求空间感强的孩子独立解决，同时拔高要求，让他们尝试捆扎成“工”字、“米”字、“井”字，并在小组内交流核对结果的正确性。（2）对于中等水平的的孩子老师进行针对性的指导，提示思路，并让他们向组内组长请教后，尝试独立解决问题。（3）对于基础薄弱的孩子，老师带领他们一起操作，观察梳理解题思路，共同解决问题。2.学生互助式辅导 有的时候学生的互助比老师的辅导还要有效，一方面同龄人之间交流没有压力，可以大胆地说出自己的想法，同伴的语言也更容易理解。因此我们根据学生的学习基础和思维能力将学生分为4人小组，并在小组中设正、副组长，由组长负责组织交流。例如探索把一个长方体切成两个完全相同的长方体，有几种切法？以小组合作形式让孩子们探究，孩子们兴趣盎然，既能培养他们的合作意识，又能取长补短，最终学生探究出了三种切法，然后老师要求组内相互讲解具体切法，对于不理解的学生鼓励正、副组长指导他们动手操作的方法帮助学困生理解。最后教师进一步引导学生反思：切一刀多出几个面？多出的面与切法有何关联？将学生的思维引向深入。3.实践操作递进式辅导根据学生的思维水平，递进式挖掘孩子们的潜力。例如从表面涂色的正方体或表面涂色的长方体中，探究：切割成小正方体表面涂色情况：（1）先让孩子们利用同种颜色橡皮泥制作几个稍大的正方体（比如设定棱长4、6、8厘米），然后在所制作的正方体表面贴上与这个正方体颜色不同的薄薄一层的橡皮泥。（2）接着把正方体按要求切割成棱长为1厘米的小正方体，观察探讨并完成表格。（3）然后小结各种小正方体的个数与正方体的顶点、面、和棱的个数有关。（4）递进拓展：表面涂色的长方体中，怎样计算已知面涂色的小正方体的个数。这样既拓展孩子们的思维，又强化知识的迁移。4.谈话交流式的辅导 谈话交流式的辅导是最有效也是最快捷的方法之一。谈话交流式的辅导从以下两方面入手。（1）思想上进行辅导。给不同层次的学生树立不同的学习目标，帮他们树立自信心，并给予具体学习方法的指导。如对于优等生先肯定他们的学习潜力，让其确立远大的目标，然后老师再结合具体情况提出更高一层的学业要求，如典型题的收集，举一反三的训练，拔高性试题的尝试等。对于中等生则鼓励他们以优等生为榜样，养成良好学习习惯，尤其对学习中似懂非懂的题目要做到不懂就问，老师则依据平时课堂情况随时做诊断性交流辅导，及时帮他们解决疑难问题，确保他们扎实掌握课堂知识。对于学困生先帮他们树立能学好的信心，和他们一起制定短期学习计划，重点要求掌握最基础性知识，例如计算类题目，老师则定时进行追踪性辅导，努力让他们不掉队。（2）学业上的辅导。通过面对面的交流，深入了解学生的学习情况，把握学生对知识理解的程度以及学习中存在的问题，然后对不同孩子做具体的有针对性的辅导。5.家校合作，鼓励家长参与辅导学生在校学习时间是有限的，如果能调动家长积极参与孩子的教育管理，定能收到事半功倍的效果。所以我们备课组认为家长参与孩子的辅导是很重要的。经过实践发现有以下几种行之有效的家校合作方式。（1）电话随访。经常与家长们进行电话沟通，了解学生在家学习作业状态，并告知孩子在校综合表现，提出合理化建议，要求家长配合参与孩子的学习，和孩子一起成长。（2）定期开展家长开放课堂。定期邀请部分家长参与听课，关注孩子听课状态，下课后与孩子和家长沟通交流管理教育孩子的方式，让家长重视，孩子意识到父母的关注，会转变态度，开始努力学习。 （3）定期召开家长会。通过家长会让家长意识到到关注孩子的学习和生活的重要性，同时也让家长了解到孩子在学校的各种表现，需要家长如何配合学校，家校共育，促进孩子全面健康成长。（4）成立家庭讲题互助组。家长参与陪伴孩子的学习会大大激发学生的学习积极性。我们建议家长和孩子成立讲题互助组。平日里，学生不会的题可以请教家长，在学校老师讲解的典型题或者易错题，以及举一反三的改编题，则要求学生当“小老师”讲解给家长听，如果家长不明白，需要学生研究透彻后继续讲解，直到讲明白为止。如果遇到家长和孩子都不太明白的，则可以共同查找资料，一起商讨，也可以向老师请教，与孩子共同进步。这样的学习方式能充分调动孩子的学习积极性，家长既是监督者又是自己的学习伙伴，让孩子们意识到自己不是孤军奋战，而是和家长一起进步，在这样的氛围里孩子会更加喜欢学习，提高会很快！6.点对点的把脉式辅导我们每天会认真把握学生对当堂知识的掌握程度，针对当天所学知识、例题和练习题进行改编，然后对症下药式辅导。如对于分数除以分数这个知识点我们对基础性练习进行了改编，通过这样点对点的辅导夯实学生知识，形成技能。 个性化辅导所体现的正是老师在学习中充分发挥引导作用，以学生的需求和感受为主，致力于更好的为教育服务。只有以生为本，摆正“学”与“教”之间的位置，满足学生的个性发展所需，才能培养学生的主动意识，进而使其具有探究学习数学的动力。