P. R. Halmos说, 学习生活需要时间------当你学会时, 时间已经过去了.<br><br>而我的感受是, 当时间过去了, 你仍然没有学会啊. <br><br>多少个白天和黑夜, 当阳光洒满书桌, 或者当雪白的台灯拧亮, 当你打开电脑, 手放在键盘上, 当你敲下一个定义、 一个命题、 一个证明, 尤其是当你写下你自己的感悟和理解的时候, 当你写下和流行的标准的叙述和证明多少有点不一样的文字的时候, 你为什么会有那么多的犹豫, 那么多的不自信：你有把握的确是这样的吗？你有必要在严格的逻辑体系之外再说点什么吗？你说得这么多不是太啰嗦了吗？你说得这么少不是跳得太快了吗？你不越雷池一步不是更安全一些吗？雷池是存在的吗？如果存在的话, 边界又在哪里呢？...... 你确定你能驾驭这个题材吗？<br><br>当我年轻时, 当我的兴趣主要集中在自己的研究工作上的时候, 很多概念没时间去细想其演化过程, 很多推理没精力去深究其背后思想, 很多理论没兴趣去了解其历史背景. 现在, 当时间已经过去, 当我已不再年轻, 我需要自问的问题是：你还有时间、精力和兴趣去学习这一切了解这一切吗？在读那些流畅的, 抑制不住的才华从笔尖奔流而出的作品的时候, 我常常发自内心地感叹：<br>那些年纪轻轻就写出了那些清新隽永别开生面的杰作的学者, 他们是怎样在做出开创性的研究工作的同时做到这一切的？是天才还是勤奋？还是又天才又勤奋？<br><br>在写作的时候, 我常想起 Wiener, Feller, Doob, Ito, ......这些响亮的名字. 他们在开辟出一块又一块新天地的时候, 可都还是二三十岁的年轻人啊, 即使Kolmogorov, 在奠基起概率论的公理体系的时候, 也才四十出头. 在建立概率论和随机过程的严格的数学理论的草创时期, 有这么多才华盖世的年轻人参与, 谁能告诉我, 这是幸运的巧合, 还是上苍的恩赐？<br><br>而我呢？我学会了吗？没有学会吗？当我写下我的心得我的体会时, 我真的理解了他们的初心------motivation------他们的技巧了吗？<br><br>我也不知道, 对你们------好奇的游客和未来的探索者------来说, 在进入一片美丽的风景区的时候, 你们认为哪个更重要：是尽情地欣赏沿途绮丽的风光, 还是殚精竭虑地规划下一段的行程, 找一条最近的路线？<br><br>而我的一点小小的期望是：当列车在峰峦叠嶂之间穿过一条条隧道, 跨越一道道桥梁的时候, 你是否可以先闭上眼睛想一想, 这样险峻的地方, 如果当初是你, 你会怎么办？你有办法过去吗？然后在挠头抓腮气急败坏, 并最终承认黔驴技穷之后, 看看先贤们是如何抽丝剥茧地分析, 怎样像董存瑞那样炸掉一个又一个的碉堡, 怎样披荆斩棘地开拓, 一砖一瓦地建设, 感受他们匠心独运的心迹, 学习他们巧夺天工的创造？<br><br>............................................................<br><br>越写越觉得力有未逮, 只能是尽力而为了.<div><br>随机过程是一门覆盖面非常广泛的学科. 按照N. V. Krylov的说法, 可以很轻易地选出十本一学年教程的材料, 各本之间少有交集. 因此, 我只能就我自己比较熟悉一点的题材写一点尽可能系统一点好懂一点的介绍, 并写出一点我个人多年来积累的感悟和理解, 希望能和未来的年轻的研究者分享. 如果能给他们的学习随机过程提供小小的帮助, 如果能给他们一丁点启发, 如果能激发他们一丝丝的最初的兴趣, 我就心满意足了. 不胜粗浅, 难免错误, 但是, 即使是粗浅的甚至是错误的感受和理解, 也可以将粗浅和错误作为引玉之砖或者反面教材, 培养他们深入思考的习惯和识错纠错的能力, 不是吗？不是也要好过只会人云亦云的鹦鹉学舌吗？<br><br>就我个人的看法, Markov过程过去是、现在是、将来也仍然是最重要的随机过程, 不知道有没有之一. 连续时间Markov过程最重要的例子是Brown运动(它同时也是历史最悠久的例子和最富于科学背景, 即热力学背景和金融学背景的例子)和随机微分方程的解, 而随机微分方程的研究须臾离不开鞅论, 且后者最重要的例子依然是Brown运动. 所以, 在引入一些基本的概念、名词和普适的结果之后, 我们将从Brown运动开始我们的旅程. 其后我们将依次介绍鞅、 Markov 过程、 随机积分、 随机微分方程及其和偏微分方程的联系. 除了最后一部分外, 这些材料都可以在已有的书中找到, 不过我仍然希望在材料的选取和叙述的方式上有自己的特色------ 当然不是为有特色而有特色; 最后一部分涉及偏微分方程粘性解的概率表示, 我个人到目前为止没有在其他书中发现过. 我希望对大部分人来说, 在掌握测度论的基础上, 这些内容基本上一学年可以学完.<br><br>本书就是在这样的想法下写作的. 我做到了我想做的十分之一了吗？或许是百分之一乃至更少？<br><br>问询南来北往的客......<br><br>在轻松地然而也是忐忑地关上电脑之前, 有很多人需要感谢.<br><br>首先是感谢科学出版社李欣编辑. 没有她的建议与耐心, 我不会想到要根据过去的讲稿写作本书, 写作过程也不可能比预定计划长那么久.<br><br>要向汪老师------汪嘉冈教授------表示无尽的感谢. 汪老师非常仔细地阅读了大部分章节, 提出了宝贵的批评和细致的建议, 同时又给予了热情的表扬和温暖的鼓励. 汪老师还给我讲了许多有趣的历史故事.<br><br>我曾多次造访姜祖恕教授和周云雄教授. 我忘不了在访问期间姜老师和周老师对我工作上的殷切教诲和生活上的亲切照顾. 在正式的和非正式的讨论与闲谈中, 我向姜老师和周老师学到了许多东西. 衷心感谢姜老师和周老师.<br><br>我也曾多次就Markov过程方面的问题向老友应坚刚教授请教, 每次都能得到他不厌其烦的释疑. 谢谢坚刚.<br><br>写作过程还得到了许多朋友的帮助和鼓励. 特别是刘继成博士和张华博士, 他们指出了许多打印的与非打印的错误, 在对材料的处理上也提出了许多有益的中肯的意见; 和巫静博士与张明波博士的讨论也使作者多受教益. 向他们以及没有提到名字的同行朋友们表示诚挚的谢意.<br><br>还要深深感谢王圣同学. 在讨论这本书稿的长长的日子里, 他非常认真地研读了正文和习题, 发现了不可数个错误, 对几乎所有的章节都提出了建议. 同时要感谢的还有徐笑颜、王首天、 黄日铖等同学, 以及2021年中山大学春季学期选修随机过程的研究生, 他们同样指出了不少错误, 提出了改进意见.<br><br>在写作期间得到了国家自然科学基金(No.11871484)的资助和中山大学研究生院研究生教育质量提升专项项目的资助, 对此表示诚挚的谢意.<br><br>最后, 感谢我的妻子为我提供了良好的环境, 使我能专心写作, 并且耐心细致地校对了全书的文字.<br><br>并谨以此书献给亲爱的奶奶. 自从自九澧女师毕业的那一天起, 奶奶就是一位普通的乡村女教师, 在平凡的岗位上和艰苦的环境中工作生活了一辈子. 奶奶没能等到我也成为教师的那一天. 今天, 我已超过她当年退休的年龄了, 那么, 就以本书作为向她的汇报吧.<br></div>